《数学分析》教素第十一章反常积分(8学时）$1反常积分概念教学目的要求：深刻理解反常积分的概念。教学重点难点：反常积分的含义与性质2学时学时安排：教学方法：讲授法.教学过程：问题的提出：例（P264）.二两类反常积分的定义定义 1. 设函数于定义在无穷区间[a,+）上，且在任何有限区间[a,u］上可积，如果存在极限(x)dx=J(1)irr则称此极限J为函数f在【α,+）上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作7=1f(x)dx,并称f（x)dx收敛.如果极限（1）不存在，为方便起见，亦(x)dx发散.称Ia定义2.设函数定义在（α,b)上，在点α的任一右邻域内无界，但在任何内闭区J(x)dx=J[u,b]c(a,句]上有界且可积，如果存在极lim间2→0+则称此极限为无界函数于在（α,句)上的反常积分，记作J-f(x)dx，并称反常积分af(x)dx发散f(x)dx收敛，如果极限不存在，这时也说反常积分0Hdxdxdx的敛散性例1(1）讨论积分1+x2J.1+x1+-1
《数学分析》教案 - 1 - 第十一章 反 常 积 分 (8 学时 ) § 1 反常积分概念 教学目的要求：深刻理解反常积分的概念。 教学重点难点：反常积分的含义与性质 学时安排: 2 学时 教学方法: 讲授法. 教学过程: 一 问题的提出: 例（P264）. 二 两类反常积分的定义 定义 1. 设函数 定义在无穷区间 上，且在任何有限区间 上可积，如 果存在极限 （1） 则称此极限 J 为函数 在 上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作 ,并称 收敛.如果极限（1）不存在，为方便起见，亦 称 发散. 定义 2. 设函数 定义在 上，在点 的任一右邻域内无界，但在任何内闭区 间 上有界且可积，如果存在极 则称此极限为无界函数 在 上的反常积分，记作 ，并称反常积分 收敛，如果极限不存在，这时也说反常积分 发散. 例 1 ⑴ 讨论积分 , , 的敛散性
《数学分析》教素dx(2)计算积分8x+2x+5例2讨论以下积分的敛散性：todxdx(1)(2)中3 x(ln x)例3讨论积分cosxdx的敛散性2dx例4判断积分的敛散性，dxdx（g>0）的敛散性，并讨论积分例5讨论瑕积分的敛散性三瑕积分与无穷积分的关系：设函数（x）连续，b为瑕点．有[36-[f(x)dx=dt，把瑕积分化成了无穷积分：设α>0，有-62[ex-- )- (),把无穷积分化成了瑕积分，15可见，瑕积分与无穷积分可以互化。因此，它们有平行的理论和结果，82.无穷积分的性质与收敛判定教学目的：深刻理解反常积分敛散性的含义。教学重点难点：反常积分敛散性的判别。学时安排：3学时教学方法：讲授法.教学过程：无穷积分的性质(1)f(x)在区间【a,+co）上可积，k一Const，则函数f(x)在区间【a，+）上kf(x)dx =k[f(x)dx可积，且-2 -
《数学分析》教案 - 2 - ⑵ 计算积分 . 例 2 讨论以下积分的敛散性 : ⑴ ; ⑵ . 例 3 讨论积分 的敛散性 . 例 4 判断积分 的敛散性 . 例 5 讨论瑕积分 的敛散性 ,并讨论积分 的敛散性 . 三 瑕积分与无穷积分的关系: 设函数 连续 , 为瑕点. 有 , 把瑕积分化成了无穷积分;设 , 有 ，把无穷积分化成了瑕积分. 可见 , 瑕积分与无穷积分可以互化. 因此 ,它们有平行的理论和结果 . §2. 无穷积分的性质与收敛判定 教学目的： 深刻理解反常积分敛散性的含义。 教学重点难点：反常积分敛散性的判别。 学时安排: 3 学时 教学方法: 讲授法. 教学过程: 一 无穷积分的性质 ⑴ 在区间 上可积 , — Const , 则函数 在区间 上 可积 , 且
《数学分析》教素(2)f(x)和g(x)在区间【a,+c）上可积，=(x)±g(x)在区间【a,+)ko(f+g)= [f+ [g.上可积，且S(3) 无穷积分收敛的Cauchy准则：te积分「F(x)dx收敛台 V>0,A,VA,A">A,定理 11.1f(x)d)a(4)绝对收敛与条件收敛：定义概念绝对收敛一收敛，（证）但反之不确.绝对型积分与非绝对型积分一比较判别法非负函数无穷积分判敛法：对非负函数，有F（A）非负函数无穷积分敛散性记法.(1)比较判敛法：设在区间【α，+o）上函数f(x)和g(x)非负且f(x)a，(x)和g(x)在区间α,A]上可If0，0，Tlim则x-+o gto0=与共敛散gii>C=0,=+8时f+时，+ C0(证)C=+8dx推论2（Cauchy判敛法）：（以为比较对象，即取Y- 3 -
《数学分析》教案 - 3 - ⑵ 和 在区间 上可积 , 在区间 上可积 , 且 . ⑶ 无穷积分收敛的 Cauchy 准则: 定理 11.1 积分 收敛 . ⑷ 绝对收敛与条件收敛: 定义概念. 绝对收敛 收敛, ( 证 )但反之不确.绝对型积分与非绝对型积分 . 二 比较判别法 非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有 ↗. 非负函数无穷 积分敛散性记法. ⑴ 比较判敛法: 设在区间 上函数 和 非负且 ，又对任何 > , 和 在区间 上可 积 . 则 , , 时, . ( 证 ) 推论 2 （Cauchy 判敛法）: ( 以 为比较对象, 即取
《数学分析》教素1.以下a>0)设对任何 A>a，f(x)C[a,A]，0}p>1. 1fxPECauchy判敛法的极限形式：设f（x）是在任何有限区间【a，A】可积的正值函数。且lim xf(x)=2.则p>1,0≤1,0+0（证）例2讨论以下无穷积分的敛散性：1i>x"e"dx,dxi>(α >0);Vx5+17三狄利克雷判别法与阿贝尔判别法：1.Abel判敛法：若f(x)在区间【a，+o）上可积，g(x)单调有界，则积分f(x)g(x)dx收敛.2.Dirichlet判敛法：设F(A)=f在区间【α,+）上有界，g(x)在【a，+）上单调，且当x→+o时，g(x)→>0.则积分J(x)g(x)dx收敛sinxcosax（>0)的敏散性。例3讨论无穷积分dx与xP例4证明下列无穷积分收敛，且为条件收敛：Isin x'dx,cosx"dx,Ixsin xtdx.sin x设f(x)=例5（乘积不可积的例）xe[1,+c]由例6的结果，积分2快Vxsin"x(x)dx收敛：但积分T(x)f(x)dx -dx却发散.xs3瑕积分的性质与收敛判别- 4 -
《数学分析》教案 - 4 - .以下 > 0 )设对任何 > , , 且 , . ( 证 ) 例 2 讨论以下无穷积分的敛散性 : ⅰ> ⅱ> 三 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法: 1.Abel 判敛法: 若 在区间 上可积 , 单调有界 , 则积分 收敛. 2.Dirichlet 判敛法: 设 在区间 上有界 ， 在 上单调，且当 时， .则积分 收敛. 例 3 讨论无穷积分 与 的敛散性. 例 4 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 : , , . 例 5 ( 乘积不可积的例 ) 设 , 。 由例 6 的结果, 积分 收敛 . 但积分 却发散. §3 瑕积分的性质与收敛判别
《数学分析》教素教学目的：熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别。教学重点难点：无穷积分和瑕积分敛散性的判别。学时安排：1 学时讲授法教学方法：教学过程：类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后的三个性质，瑕积分同样可由函数极限limf(x)dx=f(x)dx的原意写出相应的命题u→a+a定理11.2（比较原则）P277Th11.6.系1（Cauchy判别法）P277推论2.系2（Cauchy判别法的极限形式）P277推论3.例1判别下列瑕积分的敛散性：3xinx(1)(2)ddx，（注意被积函数非正）.J7xInx0x2-1例2讨论非正常积分-dx的敛散性.81 + x注记．C一R积分与R积分的差异：1.f(x)ER[a,bl=在[a.bl上f(x)=0(1)：但f(x)在区间「a+）上可积，书(x)在区间【α，+）上有界，In, x=n,例如函数J(x)=[0，x≥1但x严n.2.(x)ER[a,b]，=|(x)|ER[a,b],但反之不正确。R积分是绝对型积分1(x)|在区间【α，+）上可积，(x)在区间【α，+）上可积，但反之不正确。C一R积分是非绝对型积分.3.f(x)，g(x)R[a,b],=f(x) g(x)ER[a,b];但f(x)和g(x)在区间[α，+）上可积，书(x)g(x)在区间[α，+）上可积。可见，f(x)在区间【α，+）上可积，书f(x)在区间[α，+）上可积-5
《数学分析》教案 - 5 - 教学目的： 熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别。 教学重点难点：无穷积分和瑕积分敛散性的判别。 学时安排: 1 学时 教学方法: 讲授法. 教学过程: 类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后的三个性质，瑕积分同样可由函数极限 的原意写出相应的命题. 定理 11.2 ( 比较原则 ) P277 Th11.6. 系 1 ( Cauchy 判别法 ) P277 推论 2. 系 2 ( Cauchy 判别法的极限形式 ) P277 推论 3. 例 1 判别下列瑕积分的敛散性 : ⑴ ( 注意被积函数非正 ). ⑵ . 例 2 讨论非正常积分 的敛散性. 注记. C—R 积分与 R 积分的差异: 1. R , 在 上 ; 但 在区间 上可 积 , 在区间 上有界 . 例如函数 2. R , | | R ,但反之不正确. R 积分是绝对型积分. | |在区间 上可积 , 在区间 上可积 , 但反之不 正确. C—R 积分是非绝对型积分. 3. , R , R ; 但 和 在区间 上可积 , 在区间 上可积. 可见, 在区间 上可积 , 在区间 上可积