《数学分析》教素第十九章含参量积分教学目的：1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含参量反常积分的概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分的形式及有关计算。教学重点难点：本章的重点是含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛性的判定；难点是一致收敛性的判定。教学时数：10学时81含参量正常积分一．含参积分：以实例（2yy和（2yy引入.定义含参积分[()-(x,)和G()-(x,)含参积分提供了表达函数的又一手段.我们称由含参积分表达的函数为含参积分1.含参积分的连续性：Th19.5若函数J(x,J)在矩形域D=[α,b]x[c,d]上连续，则函数I(x) = [（证）P172f(x,y)ay在[a,b]上连续.Th19.8若函数f(x,y)在矩形域D=[a,b]x[c,d]上连续，函数yi(x)"(xay在【a,b]上连续和y2(x)在【a,b]上连续，则函数G(x)=（证）P1732．含参积分的可微性及其应用：-1
《数学分析》教案 - 1 - 第十九章 含参量积分 教学目的：1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含 参量反常积分的概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分的形式及有关计 算。 教学重点难点：本章的重点是含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛 性的判定；难点是一致收敛性的判定。 教学时数：10 学时 § 1 含参量正常积分 一. 含参积分: 以实例 和 引入. 定义含参积分 和 . 含参积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参积分表达的函数为 含参积分. 1. 含参积分的连续性: Th19.5 若函数 在矩形域 上连续 , 则函数 在 上连续 . ( 证 ) P172 Th19.8 若函数 在矩形域 上连续, 函数 和 在 上连续 , 则函数 在 上连续. ( 证 ) P173 2. 含参积分的可微性及其应用:
《数学分析》教素Th19.10若函数(x,y)及其偏导数J,都在矩形域D=[a,b]×[c,d]上连续，则函数1(x)=【(x,y)dy在【a,b]上可导，且(-Is(（即积分和求导次序可换），（证）P174Th19.11设函数f(x,y)及其偏导数,都在矩形域D=[a,b][c,d]上连续，函数(x)和y2(x)定义在【α,b]，值域在【c,d]上，且可微，则含参积分G()=f(x,j)ay在【α,b]上可微，且() - ( (w ()( - ( (0)()。 (（ P174m(1+ dx例1计算积分1=0P176.b 1+x?例 2设函数f(x)在点x=0的某邻域内连续．验证当|x充分小时，函数(x) =f(t)d(n-1)1b的n-1阶导数存在，且(")(x)=f(x)P177.82含参反常积分含参无穷积分：-2 -
《数学分析》教案 - 2 - Th 19.10 若函数 及其偏导数 都在矩形域 上连续, 则函数 在 上可导 , 且 . ( 即积分和求导次序可换 ) . ( 证 ) P174 Th 19.11 设函数 及其偏导数 都在矩形域 上连续,函数 和 定义在 , 值域在 上 , 且可微 , 则 含参积分 在 上可微 , 且 . ( 证 )P174 例 1 计算积分 . P176. 例 2 设函数 在点 的某邻域内连续 . 验证当 充 分小时 , 函数 的 阶导数存在 , 且 . P177. § 2 含参反常积分 一. 含参无穷积分:
《数学分析》教素1．含参无穷积分：函数f(x,)定义在【α,b]×[c，+）上（【a,b]可以是无穷区间）。以I()=[（(x,)dy为例介绍含参无穷积分表示的函数1(x).2.含参无穷积分的一致收敛性：逐点收敛（或称点态收敛）的定义：xE【a，b]使Vs>0,3M>c,引出一致收敛问题定义（一致收敛性）设函数f(x,y)定义在【a,b]×[c,+）上：若对Vg>0,3M>e，使(x,)a0,3M>0,VA,A>M,=(x,y)a0.但在区间（0,+）内非一致收敛，P1803.含参无穷积分与函数项级数的关系：- 3 -
《数学分析》教案 - 3 - 1. 含参无穷积分: 函数 定义在 上 ( 可以是无穷区间 ) . 以 为例介绍含参无穷积 分表示的函数 . 2. 含参无穷积分的一致收敛性: 逐点收敛( 或称点态收敛 ) 的定义: , , 使 . 引出一致收敛问题 . 定义 (一致收敛性 ) 设函数 定义在 上 . 若对 , 使 对 成立, 则称含参无穷积 分 在 ( 关于 )一致收敛. Th 19.5 ( Cauchy 收敛准则 ) 积分 在 上一 致收敛, 对 成立 . 例 1 证明含参量非正常积分 在 上一致收敛 , 其中 . 但在区间 内非一致收敛 . P180 3. 含参无穷积分与函数项级数的关系:
《数学分析》教素Th19.6积分l(x)=[(x,y)dy在【αa,b]上一致收敛，台对任一数"(x)-()在列（A)（A=c)，A+，函数项级数1[α,b]上一致收敛.（证略）二，含参无穷积分一致收敛判别法：1．WeierstrassM判别法：设有函数g(y)，使在【a,b]x[c,+）上有1(x,)g().若积分g(v)y<+，则积分(f(x,)ay在【a,b]一致收敛."cos双dx在-<<+内一致收敛.例 2 证明含参无穷积分1+ x2P1822.Dirichlet判别法和Abel判别法：P182三含参无穷积分的解析性质：含参无穷积分的解析性质实指由其所表达的函数的解析性质.1.连续性：积分号下取极限定理Th19.7设函数(x,y)在【a,b]×[c,+）上连续：若积分1(x)=[(x,)dy在【α,b]上一致收敛，则函数I(x)在【a,b]上连续。（化为级数进行证明或直接证明）推论在Th.7的条件下，对VxE[a,b]，有m"(x)y-"(.-"[m (x)]2.可微性：积分号下求导定理。- 4 -
《数学分析》教案 - 4 - Th 19.6 积分 在 上一致收敛, 对任一数 列 , ↗ , 函数项级数 在 上一致收敛. ( 证略 ) 二. 含参无穷积分一致收敛判别法: 1. Weierstrass M 判别法: 设有函数 , 使在 上 有 . 若积分 , 则积分 在 一致收敛. 例 2 证明含参无穷积分 在 内一致收敛. P182 2. Dirichlet 判别法和 Abel 判别法: P182 三. 含参无穷积分的解析性质: 含参无穷积分的解析性质实指由其所表达 的函数的解析性质. 1. 连续性: 积分号下取极限定理. Th 19.7 设函数 在 上连续 . 若积分 在 上一致收敛, 则函数 在 上连续. ( 化 为级数进行证明或直接证明 ) 推论 在 Th.7 的条件下 , 对 , 有 2. 可微性: 积分号下求导定理
《数学分析》教素Th19.8设函数f和f,在【a,b]×[c,+）上连续．若积分(x) =(x,)ay在【a,b]上收敛，积分(x,v)y在【a,b]一致收敛则函数I()在【α,]上可微，且I()=.(x,J)3．可积性：积分换序定理。Th19.9设函数f(x,y)在【a,b]×[c,+）上连续．若积分I(x) = (x,y)dy在【a,b]上一致收敛，则函数I(x)在【a,b]上可积，且有(ax1"(x.ay-af(x)ay例3计算积分1- l"e-x sin bx-sim ax dx, (p >0, b >a) P186x四.含参瑕积分简介：$3Euler积分本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数，即「(s)和B(p,g).它们统称为Euler积分．在积分计算等方面，它们是很有用的两个特殊函数Gamma函数「(s)——Euler第二型积分：1.Gamma函数：考虑无穷限含参积分x"-le"dx,(s >0)-5
《数学分析》教案 - 5 - Th 19.8 设函数 和 在 上连续. 若积分 在 上收敛, 积分 在 一致收敛. 则函数 在 上可微,且 . 3. 可积性: 积分换序定理. Th 19.9 设函数 在 上连续. 若积分 在 上一致收敛, 则函数 在 上可积 , 且 有 . 例 3 计算积分 P186 四.含参瑕积分简介: § 3 Euler 积分 本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数 , 即 和 . 它 们统称为 Euler 积分. 在积分计算等方面, 它们是很有用的两个特殊函数. 一. Gamma 函数 —— Euler 第二型积分： 1. Gamma 函数: 考虑无穷限含参积分
《数学分析》教素当00.利用非负函数积的Cauchy判别法，注意到mx（xle）-1，1-s0时积分收敛。：×*x-xe→0,（x→+）对VseR成立,.因此积分对VsER收敛.s-le-"dx收敛，称该积分为Euler第二型积分综上，s>0时积分Euler第二型积分定义了sE（0,+）内的一个函数，称该函数为Gamma函数，记为「(s)，即r(s) =x-le-"dx,(s >0).「一函数是一个很有用的特殊函数：2.「-函数的连续性和可导性r(s)在区间（0,+）内非一致收敛。这是因为s=0时积分发散。这里利用了下面的结果：若含参广义积分在E（a,b]内收敛，但在点=α发散则积分在（a,b)内非一致收敛.-6
《数学分析》教案 - 6 - 当 时, 点 还是该积分的瑕点 . 因此我们把该积分分为 来讨论其敛散性 . : 时为正常积分 . 时, .利用非负函数积的 Cauchy 判别法, 注意到 时积分 收敛 . (易见 时, 仍用 Cauchy 判别法判得积分发散 ). 因此, 时积 分 收敛 . : 对 R 成立,.因此积分 对 R 收敛. 综上 , 时积分 收敛 . 称该积分为 Euler 第二型积分. Euler 第二型积分定义了 内的一个函数, 称该函数为 Gamma 函数, 记为 , 即 = , . 函数是一个很有用的特殊函数 . 2. 函数的连续性和可导性: 在区间 内非一致收敛 . 这是因为 时积分发散. 这里利 用了下面的结果: 若含参广义积分在 内收敛, 但在点 发散, 则积分在 内非一致收敛
《数学分析》教素但「(s)在区间（0,+）内闭一致收敛.即在任何[a,b]c（0,+）上，T(s)一致收敛．因为00，T(s)在区间(0,+)内严格下凸r(1)=r(2)=1（参下段），=(s)在区间（0,+）内唯一的极限小值点（亦为最小值点）介于1与2之间：4.「(s)的递推公式「-函数表：-7
《数学分析》教案 - 7 - 但 在区间 内闭一致收敛 .即在任何 上 , 一致收敛 . 因为 时, 对积分 , 有 , 而积分 收敛. 对积分 , , 而积分 收敛. 由 M—判法, 它 们都一致收敛, 积分 在区间 上一致收敛 . 作类似地讨论, 可得积分 也在区间 内闭一致收 敛. 于是可得如下结论: 的连续性: 在区间 内连续 . 的可导性: 在区间 内可导, 且 . 同理可得: 在区间 内任意阶可导, 且 . 3. 凸性与极值: , 在区间 内严格下凸. ( 参下段 ), 在区间 内唯一的极限小 值点( 亦为最小值点 ) 介于 1 与 2 之间 . 4. 的递推公式 函数表:
《数学分析》教紫r(s)的递推公式：「(s +1) =sr(s)，(s>0).证[(s+1)=fxe-"dx=-fx(e-")'dx =--xe+sf"*ledx-sf*-ledx- (s).r(1) - " xe"dx= [e-*dx=1.于是，利用递推公式得：r(2) = (1 + 1) = 1r(I) =1 ,r(3) = r(2 + 1) = 2r(2) = 2·1 = 21,T(4) = T(3 +1) = 3(3) = 3. 2I= 31 ,一般地有(n+1) =nr(n)=n(n-1)r(n-1)=..=nl.可见，在z+上，「(s)正是正整数阶乘的表达式：倘定义s!=「(s+1)，易见对s>-1,该定义是有意义的。因此，可视T(s+1)为（-1,+co）内实数的阶乘这样一来，我们很自然地把正整数的阶乘延拓到了（-1，+）内的所有实数上，于是，自然就有0I=T(0+1)=「(1)=1，可见在初等数学中规定01=1是很合理的.「-函数表：很多繁杂的积分计算问题可化为「-函数来处理。人们仿三角函数表、对数表等函数表，制订了「-函数表供查。由「-函数的递推公式可见，有了「-函数在0<s<1内的值，即可对Vs0，求得「(s)的值通常把1.00s2.00内-函数的某些近似值制成表，称这样的表为「-函数表也有在0<s1.00内编制的「-函数表.）-8
《数学分析》教案 - 8 - 的递推公式 : . 证 . . 于是, 利用递推公式得: , , , ., , 一般地有 . 可见 , 在 上, 正是正整数阶乘的表达式 . 倘定义 , 易见对 ,该定义是有意义的. 因此, 可视 为 内实数 的阶乘. 这样一来, 我们很自然地把正整数的阶乘延拓到了 内的所 有实数上, 于是, 自然就有 , 可见在初等数学中规定 是很合理的. 函数表: 很多繁杂的积分计算问题可化为 函数来处理. 人们仿三 角函数表、对数表等函数表, 制订了 函数表供查. 由 函数的递推公 式可见, 有了 函数在 内的值, 即可对 , 求得 的值. 通常把 内 函数的某些近似值制成表, 称这样的表为 函 数表 也有在 内编制的 函数表.)
《数学分析》教素5.「-函数的延拓：s >0时, T(s +1) = sr(s), = (s) - I(s+),.该式右端在-1<s<0时也S有意义：用其作为-1<s<0时T(s)的定义，即把T(s)延拓到了T(s + )(-1,0)U(0,+)内. -2<s<-1时, 依式 r(s)=利用延拓后的sr(s)，又可把(s)延拓到(-2,-1)U(-1,0)U(0,+)内：依此，可把r(s)延拓到（-,+c）内除去x=-n（n=0,1,2,.)的所有点。经过如此延拓后的「(s)的图象如P192图表19—2.例1求「(4.85)，「(0.85)，「(-2.15).（查表得「(1.85)=0.94561.)解T(4.85)=3.85r(3.85)=3.85×2.85F(2.85)=3.85×2.85×1.85(1.85)==3.85×2.85×1.85×0.94561=19.19506F(1.85) = 0.85F(0.85),VT(1.85)0.94561r(0.85) ==1.11248.0.850.851r(-1.15)1r(-0.15)r(0.85)r(- 2.15) =2.152.151.152.15×1.150.150.94561-2.549672.15×115×0156.「一函数的其他形式和一个特殊值：某些积分可通过换元或分部积分若干次后化为「一函数．倘能如此，，可查「一函数表求得该积分的值常见变形有：-9-
《数学分析》教案 - 9 - 5. 函数的延拓: 时, 该式右端在 时也 有意义 . 用其作为 时 的定义, 即把 延拓到了 内. 时, 依式 , 利用延拓后的 , 又可把 延拓到 内 . 依此 , 可把 延拓到 内除去 的所有 点. 经过如此延拓后的 的图象如 P192 图表 19—2. 例 1 求 , , . ( 查表得 .) 解 . ), . 6. 函数的其他形式和一个特殊值: 某些积分可通过换元或分部积分若干次后化为 函数 . 倘能如此, 可 查 函数表求得该积分的值. 常见变形有:
《数学分析》教素i>令 x=pt(p>0),有r(s)=xle"dx=p"tle-"dt,因此,"x-le-dx =p"r(s),(p>0, s>0)f-ledti> 令 x=t2, = r(s)=2(fe-dx-注意到P7的结果得r(s)的一个特殊值2d-2 1772454.2）令x=-mt(a>0)，得r(s)-t-lat. 取=1,得r(e) - (n )((-nt)"-datIdt=x"e"dx，其中nez例2计算积分(n+(2nn解-tdt =28+12″2b2222Beta函数B(p,g)一一Euler第一型积分：一1.Beta函数及其连续性：称（含有两个参数的）含参积分x"-l(1-x)e-dx(p>0, g>0)为Euler第一型积分．当p和4中至少有一个小于1时，该积分为瑕积分。下证对10
《数学分析》教案 - 10 - ⅰ> 令 , 有 = , 因此, , . ⅱ> 令 . 注意到 P7 的结果 , 得 的一个特殊值 . ⅲ> 令 , 得 . 取 , 得 . 例 2 计算积分 , 其中 . 解 I . 二. Beta 函数 ——Euler 第一型积分： 1． Beta 函数及其连续性： 称( 含有两个参数的 )含参积分 为 Euler 第一型积分. 当 和 中至少有一个小于 1 时, 该积分为瑕积分. 下证对