第二章矩阵及其运算
第二章 矩阵及其运算
2.1线性方程组和矩阵2.2矩阵的运算2.3逆矩阵2.4克拉姆法则2.5矩阵分块法
2.1 线性方程组和矩阵 2.2 矩阵的运算 2.3 逆矩阵 2.4 克拉姆法则 2.5 矩阵分块法
$1线性方程组和矩阵矩阵概念的引入三四矩阵的定义特殊的矩阵矩阵与线性变换
§1 线性方程组和矩阵 一、矩阵概念的引入 二、矩阵的定义 三、特殊的矩阵 四、矩阵与线性变换
一、线性方程组定义1设有n个未知数m个方程的线性方程组aix,+aix,+...+anx,=b,a2ix,+a22x2+..+a2nx,=b2,(1)am,+am2x,+..+amx,=bm其中ai表示第i个方程第j个未知数的系数(coefficient)b，是第i个方程的常数项(constant），l,2,""，m，j=1,2,, n
定义1 设有 n 个未知数 m 个方程的线性方 程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 , , . n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 一、线性方程组 其中aij 表示第i个方程第j个未知数的系数(coefficient), bi 是第i个方程的常数项(constant)，i=1,2,.，m， j =1,2,., n. （1）
b1，bz.，bm不全为零时，方程组（1）称为n元非齐次线性方程组（systemofnon-homogeneouslinearequations)bi=b2==bm=0时，方程组（1）成为aiix +ai2x2 +...+ainx, =0,a21 +a22x2 +...+a2n, =0,(2)[amxi +am2X2 +...+amx, =0,称为n元齐次线性方程组（systemofhomogeneouslinearequations)
b1 , b2, . ,bm 不全为零时，方程组（1）称 为n 元非齐次线性方程组(system of non-homogeneous linear equations). b1=b2= . =bm=0 时，方程组（1）成为 0, 0, 0, 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 + + + = + + + = + + + = m m m n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x （2） 称为n 元齐次线性方程组(system of homogeneous linear equations).
n元线性方程组通常简称为线性方程组或方程组对于齐次线性方程组（2），xi=x2==x,=0定是它的解，称为方程组（2）的零解（nullsolution）如果存在不全为零的数是（2）的解，则称为其非零解(non-zerousolution)非齐次方程组可能有解可能无解例如[x-y=0,[X-X2=0,x-y=0,(1)(2)x+y=1, (3)2x -2x, = 0,[x+y=2;x+y=2;[3x -3x2 = 0;（1）有唯一解，（2）无解，（3）有无穷多解
对于齐次线性方程组（2）, x1=x2= . =xn=0 一 定是它的解，称为方程组（2）的零解(null solution)； 如果存在不全为零的数是（2）的解，则称为其非零 解(non-zerou solution). n 元线性方程组通常简称为线性方程组或方程组. 2; 0, (1) + = − = x y x y 2; 1 0, (2) + = + = − = x y x y x y ， 3 3 0; 2 2 0 0, (3) 1 2 1 2 1 2 − = − = − = x x x x x x ， （1）有唯一解，（2）无解，（3）有无穷多解. 例如 非齐次方程组可能有解可能无解
线性方程组的研究内容：是否有解？有解时它的解是否唯一？如果有多个解，如何求出其所有解？问题的答案都取决与方程组（1）的mxn个系数ai;(i-1,2,"，m，j=1,2,"，n)与常数项b1，b2.，bm所构成的m行n+1列的矩形数表
线性方程组的研究内容： ◼ 是否有解？ ◼ 有解时它的解是否唯一？ ◼ 如果有多个解，如何求出其所有解？ 问题的答案都取决与方程组（1）的 m×n 个系数aij (i=1,2,. ，m，j =1,2,., n) 与常数项 b1 , b2, . ,bm 所构成的m 行 n+1列的矩形数表
baaina125(21122a2nbaaamlm2mm齐次方程组（2）的相应问题取决于m行n列数表ala2a1n(2)22a2n........amlam2amH
齐次方程组（2）的相应问题取决于m 行n列数表 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a b1 b2 . . . bm 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a
二、矩阵(Matrix)的定义由mxn个数a(i=1,2,…,n排的2m行m列的数表aa12aina21an2a2n.......amlam2am称为m行n列矩阵简称mxn矩阵.记作ana12aina21a22a2nA=...:：amlamam2
由 m×n 个数 a i m j n ij ( 1,2, , ; 1,2, , ) = = 排成的 m 行 n 列的数表 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a 称为 m 行 n 列矩阵，简称 m×n 矩阵． 记作 二、矩阵(Matrix)的定义 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a A=
anai2anazna21a22A=:::amlam2amn简记为 A= Amxn =(a,)mn =(a,)这mxn个数称为矩阵A的元素，简称为元元素是实数的矩阵称为实矩阵元素是复数的矩阵称为复矩阵
简记为 ( ) ( ) A A a a = = = m n ij m n ij 元素是实数的矩阵称为实矩阵， 元素是复数的矩阵称为复矩阵. 这 m×n 个数称为矩阵A的元素，简称为元. 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a A=