复变函数与积分变换
第一章 复数与复变函数 第二章 解析函数 第三章 复变函数的积分 第四章 级数 第五章 留数 第六章 保角映射 第七章 Fourier变换 第八章 Laplace变换
第一章 复数与复变函数 复数及其代数运算 复数的表示 复数的乘幂与方根 复平面点集与区域 复变函数 复变函数的极限与连续
i为虚数单位， 复数：形为 z=x+ i y的数称为复数。 x, y 为实数， 1 2 i = − 1）实部Rez=x；虚部Imz=y 2）复数无大小 3）复数相等：设 则： 1 1 1 2 2 2 z = x +iy ,z = x +iy 1 2 1 2 1 2 z = z x = x , y = y 4）复数、实数、虚数的关系
复平面 一对有序实 数（x，y） 平面上一点P，向量 复数 z = x + i y x y z = x + i y O 实轴、 虚轴、复平面 Z 平面、 w 平面 → op
复数的 模 r = z 复数的 幅角 = Arg z 1）z=0的辐角不定 2）主辐角 3）辐角 4) 辐角有无穷多个 - rctan y A x =
复数的三角形式与指数形式 利用极坐标来表示复数z， = = sin cos y r x r 2 2 rctan r x y y A x = + = 则复数 z 可表示为： 三角式： z = r(cos + isin ) i 指数式： z = re
复数的四则运算 规定： ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 z + z = x + x +i y + y ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 z z = x x − y y +i x y + y x 2 2 1 1 2 1 x iy x iy z z + + = 2 2 2 2 2 2 1 1 x iy x iy x iy x iy − − + + = ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2 x y x x y y i x y x y + + + − = b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律 乘法交换律、结合律和分配律均成立
几何意义：平面上一矢量与一复数z构成一一对应，复 数的加减与矢量的加减一致。 x y O 1 2 z + z 1 z 2 z 1 2 1 2 加法运算 z + z z + z
x y O 1 2 z − z 1 z 2 z 2 − z 1 2 1 2 z − z z − z 减法运算