§2.3 初等函数 将一元实变初等函数 u f x = ( ) 推广为初等复变 函数 = f z( ) 的要求： ① 当 z x = 为实数时，有 = = = f z u f x ( ) ( ) 完全与原实变函数相同。 ② 尽量使推广后的复变初等函数仍保留原实变初等函 数的某些重要性质(如连续性、可导性等等)
一 、指数函数 初等实指数函数 e x 的一些重要性质： ① 处处可导且有 (e e ; ) x x = ② 对任意的实数 1 2 x x, , 有 1 2 1 2 e e e ; x x x x + = ③ 对任意的实数 x R , 有 e 0 x 。 现在我们将指数函数的定义域推广到整个复 数集中，使其尽可能将这些特性保持下来。即新 的指数函数应满足 ① 处处可导且有 (e e ; ) z z = ② 当 Im 0 z = 即 z 为实数时有 e e z x = ( ) (cos sin ) x f z e y i y = +
定义1 o 1 对于复数 z x y = + i , 称 exp cos sin ( ) z x = = = + e z e y i y 为复指数函数。 性质 指数函数 ( ) z = = f z e 在整个 z 平面上都有定义， 且处处解析，导函数为 ( ) ;z f z e = o 2 对任意的复数 1 2 z z, , 有 1 2 1 2 e e e ; z z z z + = o 3 当 Im 0 z = 即 z 为实数时有 e e ; z x = o 4 z = e 是以 2πi 为周期的周期函数，即有 2 π i e e 0, 1, 2, z k z k + = = o 5 e e ,Arg 2 , 0, 1, 2, z x = = = + = y k k
比较 o 1 e 0, z 但 e 0 z 一般不成立。 例1 3 πi e 求 + 和 π 1 i 2 e − 解 ( ) 3 π 3 e e cosπ+isinπ + i = 3 = −e π 1 2 1 π π e =e cos +isin 2 2 − i − − = −ie
二、对数函数 定义2 指数函数 z z e ( 0) = 的反函数，称为对数 函数，记为 = Ln z。 的所有解。 注1 这里 = Ln z 实际上是关于 的方程 z e = 注2 对数函数的定义域 z z z | C, 0 设 i z r e e , = = = = + Ln i z u v 则有 i i i e e e e , u v u v z r + = = = 于是有 e , 2 π Arg u r v k z = = + = 从而 = = + = + + Ln i ln i( 2 z u v r kπ) = + ln | | i Arg z z= + + ln | | i(arg 2 z z kπ) k = 0, 1, 2
对 数 函 数 的 主 值 与 主 值 = = + Ln ln | | i Arg z z z = + + ln | | i(arg 2 z z kπ) k = 0, 1, 2, 对数函数 注意： ① 对数函数是一个多值函数，同一个z的任意两 个函数值之间相差 2kπi; ② 对每一个固定的k值，可得一个单值函数，称为 = Ln z 的一个单值分支；特别地称k=0对应的 分支为对数函数的主值分支，记为 = ln z = + ln | | iarg z z ③ 负数也有对数，如 ln( 1) ln | 1| iarg(-1) − = − + = iπ 不是周期函数
例2 求下列各式的值。 ln ie ( ) Ln 1 3 ( + i) 解 (1) ln ie ln | ie | iarg(ie) ( ) = + (1) (2) π 1 i 2 = + (2) Ln 1 3i ln |1 3i|+i arg(1 3i)+2k ( + = + + ) ( π) π ln 2 i( 2kπ) 3 = + + 例3 解下列方程 π (1) ln i ; 2 z = − (2) ln 1 i z = + π 解 (1) π ln i 2 由 z = − ,得 π i 2 z e − = = −i (2) 由ln 1 i z = + π得 1 iπ z + = e = −e k = 0, 1, 2
对数函数的性质 ① ② ③ 当 z z x = = Re 0 时， ln ln ,arg 0, z x z = = 这时对 数函数的主值 ln z 就是原实变数对数函数 ln x。 Ln ln 2 z z k k = + = πi, 0, 1, 2, Ln Ln Ln (z z z z 1 2 1 2 ) = + 1 1 2 2 Ln Ln Ln z z z z = − 注意，这些等式 右端必须取适当 的分支才能等于 左端某一分支。 若仅对某一分支 结论是不一定成 立的。 例如 5πi 6 − = 7πi 6 = 2 1 πi πi 3 2 ln(e ) e 2 1 πi πi 3 2 ln(e ) ln( ) + e
类似可得：Lnz的各个单值分支在除去原点及负实 ④ 在除去原点及负实轴的平面内主值支和其他 分支处处连续、处处解析;且有 ( ) 1 ln z z = ( ) 1 Ln z z = 仅就主值支 ln ln | | arg z z z = + 而言， ln | | z 在除去原点外的复平面内处处连续， 说明： 而 arg z 在原 点及负实轴上不连续。所以，函数 ln z 在除去原点 及负实轴的复平面上处处连续。又因为 z e = 在 区域 − arg z 内的反函数 = ln z 是单值的， 由反函数的求导法则可知 1 1 1 (ln ) ( ) z e e z = = = 所以，函数 ln z 在除去原点及负实轴的平面内解析。 轴的平面内也是解析的，并且有相同的导数值
例4 验证下列式子并不成立。 2 Ln 2 Ln z z = 证明 i z re , 设 = 2 2 2i z r e , 则 = ( ) 2 2 Ln ln i 2 2 1 z z k = + + π = + + 2ln i 2 2 r k ( 1π) 2Ln 2ln 2i 2 z z k = + + ( 2 π)= + + 2ln i 2 4 z k ( 2 π) k = 0, 1, 2, 可见， 2Ln z 的值是 2 Ln z 的值的值每隔一个取一个， 故任取 一个分支所给的值， 2 Ln z 2Ln z 不一定有对 应的值与之相等