§3.3 Cauchy积分公式 设 f (z)在单连域D内解析， 0 z D , 则函数 ( ) 0 f z z z − 在 z0 处不解析。由复合闭路定理，设C 0 是以 z 为中心， 为半径的正向圆周，则对任 意的 0, ( ) 0 d C f z z z z − 积分 取相同的积分值。 若让 → 0, 0 则 z z → ， 形式地有 ( ) 0 d c f z z z z − ( 0 ) 0 d c f z z z z → − ( 0 ) 0 1 d c f z z z z = − = f z( 0 ) 2πi
D 0 0 1 ( ) ( ) d (3.3.1) 2πi ( ) C f z f z z z z = − 一 、柯西积分公式 定理3.7 设 f (z)在区域D内处处解析，C为D内的 任何一条正向简单曲线，它的内部完全含于D, z0为C内的任一点，则： 证明 K 0 z R z 由于 f (z)在z0 连续， 给定 0, 任意 必存在一个 0, 当 0 z z − 时，有 f z f z ( ) − ( 0 ) 现以z0为中心， 0 R 为半径作圆周K：z z R − = , 全部包含在C的内部， 使其 且 R , 则有 C
( ) ( ) 0 0 d d c K f z f z z z z z z z = − − ( ) ( ) ( 0 ) 0 0 2πi d K f z f z f z z z z − = + − ( 0 0 ) ( ) ( ) 0 0 d d K K f z f z f z z z z z z z − = + − − ( ) ( ) ( ) ( 0 ) 0 0 0 d d K K f z f z f z f z z s z z z z − − − − 2 K ds R = 而 ( ) ( 0 ) 0 d 0 K f z f z z z z − = − 所以 ( ) 0 0 d 2πi ( ) c f z z f z z z = − 由 的任意性，有
说明 ① 设区域D是简单闭曲线C的内部，f (z)在 D内解析，在闭区域 D D C = + 上连续， 则Cauchy积分公式(3.3.1)仍然成立。 ② 即D不必是单连域。 上述简单闭曲线可以是一个复合闭路， ③ Cauchy积分公式(3.3.1)表明，解析函数 f (z)在C内部任意一点的值， 在其边界上的值所确定。 完全由它
例1 计算积分 d ( 1)( 2) C z I z z = − − 其中： 1）C是正向圆周 | z|=1 2 2）C是正向圆周 | z −1|=1 4 3）C是正向圆周 | z|= 3 解：1） I = 0 (Cauchy积分定理) 2） | 1| 1 4 1 d z ( 1)( 2) I z − = z z = − − | 1| 1 4 1 ( 2) d z 1 z z − = z − = − 1 1 2πi 2πi 2 z z = = = − −
1 1 1 ( 1)( 2) 2 1 z z z z = − − − − − | | 3 | | 3 1 1 d d z z 2 1 z z z z = = = − − − 3) | | 3 1 d ( 1)( 2) z z z z = − − =−= 2πi 2πi 0
例2 求下列积分的值： 2 sin z z dz z = (1) ( )( ) 2 2 9 z z dz z z i = − + (2) 解 (1) 2 sin d z z z z = 0 2 sin 0 z i z = = = (2) ( )( ) 2 2 9 z z dz z z i = − + ( ) 2 2 9 z z z dz z i = − = − − 2 2 9 5 z i z i z = = = − −
例3 设 2 | | 2 ( 1)sin f z( ) d , z = + = − 解：由Cauchy积分公式和Cauchy积分定理，有 2 2πi( 1)sin 2 ( ) 0 2 z z z f z z + = 2 i (i) 4πi sin 2πi( 1)cos z f z z z z = = + + 求 f (i) 和 f (2 3i) + f (2 3i) 0 + = = -4 sin1