复变函数论
第一章 复数与复变函数 （Complex number and function of the complex variable） §1.1 复数 §1.2 复数的三角表示 §1.3 平面点集的一般概念 §1.4 无穷大与复球面 §1. 5 复变函数
一、复数的概念 §1.1 复数 (Complex number) 二、复数的四则运算 三、复平面
一、 复数的概念 （1）对任意两实数x、y ,称 z=x+iy为复数。 其中 i 2 = −1,或i = −1, i称为虚单位。 复数z 的实部（real part） Re(z) = x ; 虚部 （imaginary part ）Im(z) = y . （2）当 y = 0 时， z x = （实数）； 当 x = 0 时， z iy = （纯虚数）； 当 x y = = 0 0 , 时， z = 0 （实数）；
, . 1 2 1 2 1 2 则 z = z x = x y = y （3）设复数 , 1 1 1 z = x + iy . 2 2 2 z = x +iy 注意：任意两个虚数不能比较大小！！ 例如，设 i 0 ,则 ii 0i ,即−1 0 ,矛盾。 z = 0 Re(z) = Im(z) = 0
显然, z=x+iy 是 x-yi 的共轭复数, 即 zzz = = ( ) . 共轭复数 复数 x-iy 称为复数 x+yi 的 (其中x, y 均为实数), 并记做 z . 复数的共轭可用conj()来实现. 例如 >> syms x y real; >> z=x+y*i; >> conj(z) ans = x-i*y 共轭复数
设 z1 =x1+iy1与z2 =x2+iy2，则 （1）z1±z2=(x1±x2 )+i(y1±y2 ) （2）z1 z2=(x1+iy1 )(x2+iy2 )=(x1x2 -y1 y2 )+i(x2 y1+x1 y2 ) 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 3 0 | | | | z z z x x y y x y x y z i z z z z z z + − = = = + 二、复数的四则运算
, . 1 2 5 , 3 2 , 2 1 1 2 求 的实部 虚部 例 设 z z z = + i z = + i , 1 3 1 1 1 3 1 6 1 3 1 6 1 1 3 2 2 5 2 1 i i i i z z = + + = + + 解 = . 1 3 1 1 , Im 1 3 1 6 Re 2 1 2 1 = = z z z z 所 以
9 例 2 将下列复数表示为 x +iy的形式. 1 1 ; (2) 11 (1) 7 i i i i ii − + − +− 解 ii +− 11 ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 ) 2 i i i + − − = 2 ( 1 ) 2 − i = = − i , 7 7 ( ) 11 i ii = − +− = i . i i i i − + − 1 1 ( 2 ) i i i i ( 1 ) ( 1 ) 2 2 − + − = i i + − − = 11 2 2 ( − 1 − 2 i)( 1 − i ) = . 21 23 = − − i
复数的运算满足如下交换律、结合律、 分配律。 全体复数并引进上述运算后称为复数域， 用C表示。 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 (1) ; (2) ( ) ( ) ( ) ( ) ; (3) ( ) ; z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z + = + = + + = + + = + = + 在复数域中，我们熟知一切代数恒等式，如 2 2 3 3 2 2 a b a b a b a b a b a ab b − = + − − = − + + ( )( ), ( )( ) 仍成立