§3.2 柯西积分定理与原函数 一、柯西定理及其推论 1825年柯西证明了解析函数的积分与路径无关。 定理3.2 （Cauchy定理）设 f (z)在单连通域E内解 析, C为E内任一简单闭曲线，则 ( )d 0 C f z z = 证明：只就 f z ( ) “在E内连续”的条件下进行证明。 令 z x iy = + , f z u x y v x y ( ) ( , ) i ( , ), = + 则 ( )d d d i d d C C C f z z u x v y v x u y = − + +
由 f z ( ) 在E内连续有 u x y v x y ( , ) ( , ) 、 的偏导数在E 内连续，并适合C－R条件： , u v u v x y y x = = − 所以由格林公式得 d d 0 d d 0 C C u x v y v x u y − = + = 即 ( )d 0 C f z z =
定理3.3 如果函数 f (z)在单连通域E内解析， 那么 c f z z ( )d 只与起点与终点有关，而与 C的路径无关
例1 设C是正向圆周 z =1, 则以下积分都等于0。 (1) e dz C z z (2) 1 d C 2 z z − (3) 2 1 d C 2 4 z z z + +
二、原函数与不定积分 若在E内固定点 0 z , 而让终点 z 在E内变化， ( ) ( ) 0 ( ) d d z C z F z f z z f = 连接 0 z 与 z 的任意曲线， 则 ( )d C f z z 就定义了 一个单值函数， 记为： 定理3.4 设 f (z)在单连通域E内解析， 0 点 z E , 则 ( ) 0 ( ) d z z F z f = 且 F z f z ( ) ( ) = C为 在E内解析
证 0 ( ) ( )d z z F z f z z = 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) d d i d d x y x y x y x y = − + + u x v y v x u y = + P x y Q x y ( , ) i ( , ) 因 f (z)在E内解析，由定理2 ，F (z) 与路径无关， 从而P (x , y)与Q (x , y)路径无关，所以P (x , y)与 Q (x , y)在E内可微，并且有 d d d , P u x v y = − d d d Q v x u y = + 从而有 , P Q u x y = = = , P Q v y x − = − 所以 F (z)为解析函数， 且 ( ) i i ( ) P Q F z u v f z x x = + = + =
= ( ) ( ), z f z f (z)的任两个原函数只相差一个常数。 若函数 f (z)在区域D内解析， f (z)在D内的一个原函数， 原函数与不定积分 定义3.2 设函数 f (z)在区域D内连续，若D内的函 数 ( )z 满足条件 则称 ( )z 为 f (z) 在D内的一个原函数， 的不定积分。 f (z)的全体原函数称为 f (z) 定理3.5 G z( ) 是 0 1 z z D , , 则 1 0 1 0 ( )d ( ) ( ) z z f z z G z G z = −
0 ( ) ( )d z z F z f z z = 0 ( )d ( ) z z = + f z z G z C 0 z z = 0 C G z = − ( ) 0 0 ( )d ( ) ( ) z z = − f z z G z G z 1 z z = 1 0 1 0 ( )d ( ) ( ) z z f z z G z G z = − 为 f (z) 的一个原函数 令 得 令 得 证明：
例2 计算下列积分 π 2i 0 1) cos( )d 2 z z + 1 i 1 2) e dz z z + 解：1） π 2 i π 2 i 0 0 cos( )d 2sin( ) 2 2 z z z + + = 1 e e− = + 2） 1 i 1 i 1 i 1 1 1 e d e e d z z z z z z z z + + + = = − 1 i 1 i 1 (1 i)e e ez z + + = = + − − 1 i ie + =
三、复合闭路定理（柯西定理的推广） 复合闭路c区域D内一条正向 简单闭曲线 0 c 与 0 c 内部的有 限条互不包含互不相交的负 向闭曲线 1 2 , , , n c c c − − − 组成， 即有 − − − = + + + + n c c c c c 0 1 2 0 c 1 c 2 c n c D 定理3.6 （复合闭路定理）如果 f (z)在多连通域 D内解析， − − − = + + + + n c c c c c 复合闭路 0 1 2 所围成的区域全包含于D中，那么 ( )d 0 c f z z = 即 0 1 ( )d ( )d k n c c k f z z f z z = =