运城学院2022一2023学年第二学期常微分方程试题及答案（A）、填空题（每空3分，共30分）(dyx-3=0的阶为_1、方程dxdx2、方程y+x(y)?-y=0的形如y=ax+b的解为y=0和y=x+1xy+o(y)时，方程xydx+N(x,y)dy=0是全微分方程。3、当 N(x,y)=24、方程业_66y1--x?可通过变量代换化为线性方程。dxxydty可将方程-ldy兴=0降低4阶。u(x)=5、通过变量代换dxtdrsx dx6、已知方程y0)崇+g(x)y= (1)有三个解 y=x、y=e、y=e*， 则此方程+ p(x)dx?dr满足初始条件y(0)=1,y(0)=1的特解为y=ex7、方程yy=3xe+2x2具有形如x(Ax+B)e*+Cx2+Dx+F的特解。dx?8、当n阶矩阵A、B满足条件AB=BA时，有eA+B=eAeB。[110]9、设Φ(t)是方程组x=Ax的基解矩阵，而11a1Φ(t)不是方程组x'=Ax的[011基解矩阵，则a=2。[x'= x-y(y-x+1)10、微分方程组的平衡点为(0.0)、(0.-1)、(-2.-2)(y' = x(y+2)二、简答题（每小题10分，共40分）11、解方程-=x。dxx解：相应的齐次方程※-二=0 的解为y=ex。令原方程的解为y=c(x)x,，代入到原dxx
运城学院 2022—2023 学年第二学期 常微分方程试题及答案（A） 一、填空题（每空 3 分，共 30 分） 1、方程 2 2 3 0 dy dy x y dx dx + −= 的阶为 1 。 2、方程 2 y xy y ′ ′ + −= () 0 的形如 y=ax+b 的解为 y=0 和 y=x+1 。 3、当 N(x, y)= 1 4 ( ) 2 xy y +ϕ 时，方程 x 3 y 2 dx+N(x, y)dy=0 是全微分方程。 4、方程 dy y 6 2 xy dx x = − 可通过变量代换 1 z y = 化为线性方程。 5、通过变量代换 4 4 ( ) d y u x dx = 可将方程 5 4 5 4 1 0 dy dy dx x dx − = 降低 4 阶。 6、已知方程 2 2 () () () d y dy px qxy f x dx dx + += 有三个解 y=x、y=ex 、y=e2x，则此方程 满足初始条件 y y (0) 1, (0) 1 = = ′ 的特解为 y=ex 。 7、方程 2 2 2 3 2 d y x y xe x dx −= + 具有形如 2 ( ) x x Ax B e Cx Dx F + + ++ 的特解。 8、当 n 阶矩阵 A、B 满足条件 AB=BA 时，有 e A+B=eAe B 。 9、设Φ( )t 是方程组 x Ax ′ = 的基解矩阵，而 110 1 1 () 011 a t Φ 不是方程组 x Ax ′ = 的 基解矩阵，则 a= 2 。 10、微分方程组 ( 1) ( 2) x x yy x y xy ′ =− −+ ′ = + 的平衡点为 (0, 0)、(0, -1)、(-2, -2) 。 二、简答题（每小题 10 分，共 40 分） 11、解方程 dy y 3 x dx x − = 。 解：相应的齐次方程 0 dy y dx x − = 的解为 y=cx。令原方程的解为 y=c(x)x，代入到原
xx4方程得c(x)=x2，所以c(x)=所以原方程的解为y=+y+yx3312、解方程崇=(x+J)。dxdz解：令z=x+y，则原方程变为三=1+2，所以arctan2=x+c，所以原方程的解dx为y=tan(x+c)-x。13、解方程(y+y2)dx-xdy=0。解：方程两边同乘一得二d+dx-dy=0，所以d(x+=)=0，所以解为yy山yx+==C。714、解方程岁+禁=0。dx4dx?解：特征方程为24+2=22(22+1)=0，所以有2重特征根0和1对单复特征根±i，所以1，X，cosx，sinx是原方程的基本解组，所以通解为y=ci+c2x+c3cosx+c4sinx。三、解答题（每小题10分，共20分）[2 -1 115、解方程组x=Ax，其中A=21-1 2[1[2-α-11解：由A-元E=12-元-1-(2-1)(元-2)(元-3)=0得三个单特征根1、2-元1-12、3。01特征根1、2、3所对应的特征向量分别为10所以方程组的通解为x=ce'U1116、设p(t)是方程组x=Ax满足初始条件p(t)=n的解，证明p(t)=e4(t-)n
方程得 2 cx x ′( ) = ，所以 3 ( ) 3 x c x = + γ ，所以原方程的解为 4 3 x y x = + γ 。 12、解方程 2 ( ) dy x y dx = + 。 解：令 z=x+y，则原方程变为 2 1 dz z dx = + ，所以arctan z xc = + ，所以原方程的解 为 y xc x = +− tan( ) 。 13、解方程(y+y2 )dx-xdy=0。 解：方程两边同乘 2 1 y 得 2 1 0 x dx dx dy y y +− = ，所以 0 x d x y （ + =） ，所以解为 x x C y + = 。 14、解方程 4 2 4 2 0 dy dy dx dx + = 。 解：特征方程为 4 2 22 λ λ λλ + = += ( 1) 0 ，所以有 2 重特征根 0 和 1 对单复特征根 ±i，所以 1，x，cosx，sinx 是原方程的基本解组，所以通解为 y=c1+c2x+c3cosx+c4sinx。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 15、解方程组 x Ax ′ = ，其中 2 11 12 1 1 12 − = − − A 。 解：由 2 11 1 2 1 ( 1)( 2)( 3) 0 1 12 A E λ λ λ λλ λ λ − − − = − − =− − − − = − − 得三个单特征根 1、 2、3。 特征根 1、2、3 所对应的特征向量分别为 0 1 1 、 1 1 1 、 1 0 1 ， 所以方程组的通解为 2 3 12 3 011 110 111 t tt x ce ce ce =+ + 。 16、设ϕ( )t 是方程组 x Ax ′ = 满足初始条件 0 ϕ η ( ) t = 的解，证明 0 ( ) () e t t t − ϕ η = A
证明：方程组的通解为(1)=e"c，将初始条件带入得"=ec，所以e-4n=,所以p(t)=e"e-A n=eA(t-%)n。四、应用题（每小题10分，共10分）17、种群指占据一定空间的同种生物的所有个体。个体间的主要差别是性别和年龄。设在时刻t，种群中雄性个体数为m(t)，雌性个体数为f(t)。雄性和雌性个体的死亡率分别为正的常数d,和d2。雄性和雌性幼患的出生率分别为正的常数b,和b2。假设雌性个体不会因没有配偶而不能生育，假设没有迁入和迁出。可以建立如下具有性别结构的种群动态模型[m'=bf-d,m(f'=(b, -d,)f种群的性比是指种群中雄性与雌性个体数的比例，在时刻t，种群的性比记为s(t)，则s(l)=。利用上面的模型可以得到s=m=m=b -(d, +b, -d,)s 。f2f(t)问若d,+b,-d,>0，则在什么条件下lims(t)=1。解：可以求解得s(1)=-ce(+-)d, +b,-d,b,所以1= lim s(t)=，所以b,-d,=b,-d,。d, +b, -d
证明：方程组的通解为 () eAt xt c = ，将初始条件带入得 0 eAt η = c，所以 0 e At η c − = ， 所以 0 0 ( ) () e e e t t tt t − ϕ ηη = = A -A A 。 四、应用题（每小题 10 分，共 10 分） 17、种群指占据一定空间的同种生物的所有个体。个体间的主要差别是性别和年 龄。设在时刻 t，种群中雄性个体数为 m(t)，雌性个体数为 f(t)。雄性和雌性个体的死亡 率分别为正的常数 d1和 d2。雄性和雌性幼崽的出生率分别为正的常数 b1 和 b2。假设雌 性个体不会因没有配偶而不能生育，假设没有迁入和迁出。可以建立如下具有性别结构 的种群动态模型 1 1 2 2 ( ) m bf dm f b df ′ = − ′ = − 种群的性比是指种群中雄性与雌性个体数的比例，在时刻 t，种群的性比记为 s(t)， 则 ( ) ( ) ( ) m t s t f t = 。利用上面的模型可以得到 2 1 12 2 ( ) m f mf s b d b ds f ′ ′ − ′ = =− +− 。 问若 12 2 dbd +− > 0，则在什么条件下 lim ( ) 1 t s t →+∞ = 。 解：可以求解得 12 2 ( ) 1 12 2 ( ) dbdt b ce s t dbd − +− − = + − ， 所以 1 12 2 1 lim ( ) t b s t →+∞ dbd = = + − ，所以 112 2 bd bd −=−
运城学院2022一2023学年第二学期常微分方程试题及答案（B）一、填空题（每空3分，共30分）(dy)+-3x=0的阶为11、方程dxdx2、方程y+x(y)?+y-2x=0的形如y=ax+b的解为y=x-1和y=-2x+23、当N(x,y)=ry2+p(y)时，方程xydx+N(x,y)dy=0是全微分方程。4、方程1=ysinx+yInx可通过变量代换化为线性方程。dxy5、通过变量代换二u(x)=兴dyardy可将方程x=0降低4阶。dxdxtdxd’ym)类+g(t)y= (a)有三个解 y=X、y-e、y=e*， 则此方程6、已知方程dx?dx满足初始条件y(0)=1,y(0)=2的特解为y=e2x7、方程yy=(x-1)e-(x-1)具有形如x(Ax+B)e*+Cx2+Dx+F的特d2解。8、当n阶矩阵A、B满足条件AB=BA时，有eA+B=e^eB。[1119、设Φ(t)是方程组x'=Ax的基解矩阵，而1a1Φ(t)不是方程组x'=Ax的[420]基解矩阵，则a=10、微分方程组=-x-y+1的平衡点为(1.0)、(3.-2)y'=y(x-y-5)二、简答题（每小题10分，共40分）11、解方程崇+y=e。dx解：相应的齐次方程少+y=0的解为y=ce。令原方程的解为y=c(x)e，代入到dx
运城学院 2022—2023 学年第二学期 常微分方程试题及答案（B） 一、填空题（每空 3 分，共 30 分） 1、方程 3 2 3 0 dy dy y x dx dx + −= 的阶为 1 。 2、方程 2 y xy y x ′ ′ + +− = () 2 0 的形如 y=ax+b 的解为 y=x-1 和 y=-2x+2 。 3、当 N(x, y)= 3 2 xy y +ϕ( ) 时，方程 x 2 y 3 dx+N(x, y)dy=0 是全微分方程。 4、方程 2 sin ln dy y xy x dx = + 可通过变量代换 1 z y = 化为线性方程。 5、通过变量代换 4 4 ( ) d y u x dx = 可将方程 6 4 6 4 e 0 dy dy x x dx dx − = 降低 4 阶。 6、已知方程 2 2 () () () d y dy px qxy f x dx dx + += 有三个解 y=x、y=ex 、y=e2x，则此方程 满足初始条件 y y (0) 1, (0) 2 = = ′ 的特解为 y=e2x 。 7、方程 2 2 2 ( 1) ( 1) d y x yx e x dx −= − − − 具有形如 2 ( ) x x Ax B e Cx Dx F + + ++ 的特 解。 8、当 n 阶矩阵 A、B 满足条件 AB=BA 时，有 e A+B=eAe B 。 9、设Φ( )t 是方程组 x Ax ′ = 的基解矩阵，而 111 1 1 () 420 a t Φ 不是方程组 x Ax ′ = 的 基解矩阵，则 a= 1 。 10、微分方程组 1 ( 5) x xy y yx y ′ =− − + ′ = −− 的平衡点为 (1, 0)、(3, -2) 。 二、简答题（每小题 10 分，共 40 分） 11、解方程 e dy x y dx − + = 。 解：相应的齐次方程 0 dy y dx + = 的解为 y=ce -x 。令原方程的解为 y=c(x)e -x ，代入到
原方程得c(x)=1，所以c(x)=x+，所以原方程的解为y=(x+y)e-12、解方程_+5dxx-y-2解：令z=x-y-2，则原方程变为坐_二7，，所以=2=-14x+c，所以原方程的解为dx(x-y-2)2 =-14x+c。13、解方程ydx+(x-yx)dy=01得yd+xdy_！解：方程两边同乘，-dy=0，所以-d(二二+1ny)=0，所以解xy?xy?yxy为二+1n以=C。xy14、解方程dy-2dy+y=0。d2dx4解：特征方程为24-2a2+1=(a2-1)2=0，所以有2重复特征根±1，所以e，exxe，xe是原方程的基本解组，所以通解为y=Cie"+ce+csxe"+c4xex三、解答题（每小题10分，共20分）TO01X15、解方程组x=Ax，其中A=-42/2-1 [o-a014-12解：由A-E-4-(元-1)(2-2)=0得三个单特征根0、1、2-1-1-元2。1特征根0、1、2所对应的特征向量分别为2012所以方程组的通解为x=022Cf1201]16、设p(t)是方程组x=Ax满足初始条件p(t)=n的解，证明p(t)=e4(t-)n
原方程得c x ′() 1 = ，所以cx x ( ) = + γ ，所以原方程的解为 ( )e x y x γ − = + 。 12、解方程 5 2 dy x y dx x y − + = − − 。 解：令 z=x-y-2，则原方程变为 dz 7 dx z − = ，所以 2 z xc =− + 14 ，所以原方程的解为 2 ( 2) 14 xy xc − − =− + 。 13、解方程 ydx+(x-yx 2 )dy=0。 解：方程两边同乘 2 2 1 x y 得 2 2 1 0 ydx xdy dy xy y + − = ，所以 1 d y 0 xy − = （ +ln ） ，所以解 为 1 y C xy +ln = 。 14、解方程 4 2 4 2 2 0 dy dy y dx dx − += 。 解：特征方程为 4 2 22 λλ λ − += − = 2 1 ( 1) 0，所以有 2 重复特征根±1，所以 e x ，e -x ， xe x ，xe -x是原方程的基本解组，所以通解为 y=c1e x +c2e -x +c3xe x +c4xe -x 。 三、解答题（每小题 10 分，共 20 分） 15、解方程组 x Ax ′ = ，其中 010 44 2 2 11 = − − − A 。 解：由 0 10 4 4 2 ( 1)( 2) 0 2 11 A E λ λ λ λλ λ λ − − = − − =− − − = − −− 得三个单特征根 0、1、 2。 特征根 0、1、2 所对应的特征向量分别为 1 0 2 、 2 2 1 、 1 2 0 ， 所以方程组的通解为 2 12 3 12 1 02 2 21 0 t t x c ce ce =+ + 。 16、设ϕ( )t 是方程组 x Ax ′ = 满足初始条件 0 ϕ η ( ) t = 的解，证明 0 ( ) () e t t t − ϕ η = A
证明：方程组的通解为x(t)=e"c，将初始条件带入得n=e4c，所以e-4lon=c，所以p(t)=e"e-4" n=e4(-) n 。四、应用题（每小题10分，共10分）17、种群指占据一定空间的同种生物的所有个体。个体间的主要差别是性别和年龄。设在时刻t，种群中雄性个体数为m(t)，雌性个体数为f(t)。雄性和雌性个体的死亡率分别为正的常数d,和d2。雄性和雌性幼患的出生率分别为正的常数b,和b2。假设雌性个体不会因没有配偶而不能生育，假设没有迁入和迁出。可以建立如下具有性别结构的种群动态模型[m'=bf-d,m(f'=(b, -d,)f种群的性比是指种群中雄性与雌性个体数的比例，在时刻t，种群的性比记为s(t)，则s(1)=。利用上面的模型可以得到s=m=m= b, -(d, +b, -d,)s 。f2f(t)问若d,+b,-d,>0，则在什么条件下lims(t)=1。解：可以求解得s(1)=b-ce-(++-b)d, +b,-d,b所以1= lim s(t)=，所以b,-d,=b,-d,。d, +b, -d,+o
证明：方程组的通解为 () eAt xt c = ，将初始条件带入得 0 eAt η = c，所以 0 e At η c − = ， 所以 0 0 ( ) () e e e t t tt t − ϕ ηη = = A -A A 。 四、应用题（每小题 10 分，共 10 分） 17、种群指占据一定空间的同种生物的所有个体。个体间的主要差别是性别和年 龄。设在时刻 t，种群中雄性个体数为 m(t)，雌性个体数为 f(t)。雄性和雌性个体的死亡 率分别为正的常数 d1和 d2。雄性和雌性幼崽的出生率分别为正的常数 b1 和 b2。假设雌 性个体不会因没有配偶而不能生育，假设没有迁入和迁出。可以建立如下具有性别结构 的种群动态模型 1 1 2 2 ( ) m bf dm f b df ′ = − ′ = − 种群的性比是指种群中雄性与雌性个体数的比例，在时刻 t，种群的性比记为 s(t)， 则 ( ) ( ) ( ) m t s t f t = 。利用上面的模型可以得到 2 1 12 2 ( ) m f mf s b d b ds f ′ ′ − ′ = =− +− 。 问若 12 2 dbd +− > 0，则在什么条件下 lim ( ) 1 t s t →+∞ = 。 解：可以求解得 12 2 ( ) 1 12 2 ( ) dbdt b ce s t dbd − +− − = + − ， 所以 1 12 2 1 lim ( ) t b s t →+∞ dbd = = + − ，所以 112 2 bd bd −=−