《数学分析》教案第十五章傅里叶级数教学目的：1、会叙述三角函数系其及正交性。能求出函数的傅里叶系数及其傅里叶级数，会叙述收敛性定理并会证明。2、能熟练的将定义在区间[一元，元]及[一1,上的函数开拓成周期函数并将其展成傅里叶级数。3、能熟练的将定义在区间[0,元]及[0,上的函数进行奇偶开拓并将其展成正弦级数或余弦级数。教学重点难点：重点是将函数展为傅里叶级数，难点是收敛性定理的证明。教学时数：10学时815.1傅单叶级数教学目的：理解三角函数系及其正交性、三角级数、函数f（x）的傅里叶级数、按段光滑等概念；掌握收敛性定理；会求函数f(x)的傅里叶级数展开式。重点难点：重点掌握收敛性定理，求函数f（x）的傅里叶级数展开式。难点按段光滑概念的理解，求函数f(x）的傅里叶级数展开式。教学方法：讲授法学时安排：4学时教学过程如下：一，三角级数三角函数系的正交性1.三角级数%+Z(a,cosmx+b,sinnx)的引入和定理15.1(三角级数的一致收敛定理),2 n=02．三角函数系(1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,,cosnx,sinnx,的正交性,其中任意二函数在[-元,元]上的积分等于零.另外,其中每一个函数的平方在[一元,元]上的积分不等于零二。以2元为周期的函数的Fourier级数1．设f(x)以2元为周期的函数,将它展开为三角级数.如果该函数一致收敛,则系数1f(x)cosnxdx(n=0,1,2,.)a.=-(1)1,()si nxdx (n=0,12..)br =（稍改定理15.2的说法，以重点突出"展开”）
《数学分析》教案 1 第十五章 傅里叶级数 教学目的：1、会叙述三角函数系其及正交性。能求出函数的傅里叶系数及其傅里叶级数，会叙述收敛 性定理并会证明。 2、能熟练的将定义在区间 [−, ] 及 [−, ] 上的函数开拓成周期函数并将其展成 傅里叶级数。 3、能熟练的将定义在区间 [0, ] 及 [0, ] 上的函数进行奇偶开拓并将其展成正弦级数或余弦级数。 教学重点难点：重点是将函数展为傅里叶级数，难点是收敛性定理的证明。 教学时数：10 学时 §15.1 傅里叶级数 教学目的：理解三角函数系及其正交性、三角级数、函数 f x( ) 的傅里叶级数、按段光滑等概念；掌握收敛性 定理；会求函数 f x( ) 的傅里叶级数展开式。 重点难点：重点掌握收敛性定理，求函数 f x( ) 的傅里叶级数展开式。 难点按段光滑概念的理解，求函数 f x( ) 的傅里叶级数展开式。 教学方法：讲授法 学时安排：4 学时 教学过程如下： 一. 三角级数 三角函数系的正交性 1. 三角级数 = + + 0 0 ( cos sin ) 2 n an nx bn nx a 的引入和定理 15.1(三角级数的一致收敛定理). 2. 三角函数系 {1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x, ,cos nx,sin nx, } 的正交性,其中任意二函数在 [−, ] 上的 积分等于零.另外,其中每一个函数的平方在 [−, ] 上的积分不等于零. 二. 以 2 为周期的函数的 Fourier 级数 1. 设 f (x) 以 2 为周期的函数,将它展开为三角级数.如果该函数一致收敛,则系数 (1) ( )sin ( 0,1,2, ) 1 ( ) cos ( 0,1,2, ) 1 = = = = − − b f x nxdx n a f x nxdx n n n (稍改定理 15.2 的说法,以重点突出”展开”)
《数学分析》教案2．补充定义：设f(x)以2元为周期的函数,在[-元,元]上可积,称(1)式中的an,b,为f(x)的Fourier级数的系数，根据这些系数作出三角级数，称为f（x）的Fourier级数记作：J()~号+2(a.cosmx+b,sin m)2n=l三.收敛定理：定理15.3及几点注解：定理15.3若以2元为周期的函数f在[-元，元]上按段光滑，则在每一点xE[-元元]，f的傅里叶级数收敛于f在点x的左、右极限的算术平均值，即f(x+0)+f(x-0)_ ++E(a.cosnx +b, sin nx)22n=l其中an，b,为f的傅里叶系数按段光滑：1．f(x)在[a,b]上有定义2．f(x)在[a，b]上至多有有限个第一类间断点3.f(x)在[a，b]上除有限个点外都存在且连续4.f(x)在[a，b]上在这有限个点处左、右极限都存在按段光滑的性质：1.f(x)在[a，b]上可积.2．在[a，b]上每一点都存在f(x±0)且有(x+1)- I(x+0) = f(x+ 0)lim :-0tf(x-1)- (x-0) = f'(x-0)lim10~-t3.在补充定义f'在[a，b]上那些至多人限个不存在点上的值后(仍记为f')，f'在[a，b]上可积注意：1.在f(x）的连续点情形；2.在[一元，元|的端点情形；3.积分区间可改为[c,c+2元]：3．常只给f在（一元，元|或[一元，元)的表达式，但应理解为f为（一0,+0）上的函数推论若f是以2元为周期的连续函数,且在[一元，元]上按段光滑，则f的傅里叶级数在(00，+0)收敛于f.2
《数学分析》教案 2 2. 补充定义: 设 f (x) 以 2 为周期的函数,在 [−, ] 上可积,称(1)式中的 an bn , 为 f (x) 的 Fourier 级数的系 数,根据这些系数作出三角级数,称为 f (x) 的 Fourier 级数, 记作: = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) ~ n an nx bn nx a f x . 三. 收敛定理:定理 15.3 及几点注解: 定理 15.3 若以 2 为周期的函数 f 在 [− , ] 上按段光滑，则在每一点 x [− ] ， f 的傅里叶级数收 敛于 f 在点 x 的左、右极限的算术平均值，即 = = + + + + − 1 0 ( cos sin ) 2 2 ( 0) ( 0) n an nx bn nx f x f x a 其中 n a ， n b 为 f 的傅里叶系数. 按段光滑: 1. f x( ) 在 [a, b] 上有定义. 2. f x( ) 在 [a, b] 上至多有有限个第一类间断点. 3. f (x) 在 [a, b] 上除有限个点外都存在且连续. 4. f (x) 在 [a, b] 上在这有限个点处左、右极限都存在. 按段光滑的性质: 1. f x( ) 在 [a, b] 上可积. 2. 在 [a, b] 上每一点都存在 f (x 0) 且有 ( 0) ( ) ( 0) lim 0 = + + − + → + f x t f x t f x t ( 0) ( ) ( 0) lim 0 = − − − − − → −+ f x t f x t f x t 3. 在补充定义 f 在 [a, b] 上那些至多人限个不存在点上的值后(仍记为 f ), f 在 [a, b] 上可积. 注意: 1. 在 f (x) 的连续点情形;2. 在 [−, ] 的端点情形;3.积分区间可改为 [c,c + 2 ] ; 3. 常只给 f 在 (− , ] 或 [−, ) 的表达式,但应理解为 f 为 (−,+) 上的函数. 推论 若 f 是以 2 为周期的连续函数,且在 [− , ] 上按段光滑，则 f 的傅里叶级数在 (−, + ) 收敛于 f
《数学分析》教案四举例例 1,2课后记：1.按段光滑的性质2°(x+1)-(x+0) = f(x+0)lim30t(x-1)-f(x-0) = f(x-0)lim→0-t中的f(x+O)，与f(x-O)让同学从几何的角度去理解效果较好2.比较f(x）与f(x）的傅里叶级数的和函数的图像帮助同学们理解收敛性定理效果较好815.2以21为周期的函数的展开式授课题目：$15.2以21为周期的函数的展开式教学目的：使学生掌握以21为周期的函数的傅里叶级数展开法(运用系数公式与收敛定理)：偶函数与奇函数的傅里叶级数展开法。重点难点：重点以21为周期的函数、偶函数与奇函数的傅里叶级数展开法。难点把函数f(x）的展开成正弦级数、余弦级数。教学方法：讲授法学时安排：4学时教学过程如下：一，复习收敛定理并讲述该定理中的按段光滑函数的定义与性质1.复习收敛定理：若以2元为周期的函数f(x)在[-元,元]上按段光滑,则f(x)在该点的Fourier级数在点x[-元,元]收敛于f(x)在该点的左,右极限的算术平均值2.[a,b上按段光滑的定义与性质(课本上的定义欠妥,稍改,性质(3条)亦稍改)3.展开的例题：例1,2二，以2l为周期的函数的Fourier级数L, (x)cos"dx (n=0,12.)a.=11.系数公式：(x)sin ndx (n = ,1,..)+Z(a,cosn+b,sinn(a)~ 2=11收敛定理同以2元为周期的函数的3
《数学分析》教案 3 四.举例 例 1,2 课后记： 1． 按段光滑的性质 0 2 0 ( ) ( 0) lim ( 0) t f x t f x f x t → + + − + = + 0 ( ) ( 0) lim ( 0) t f x t f x f x t → − − − − = − − 中的 f x( 0) + ，与 f x( 0) − 让同学从几何的角度去理解效果较好. 2． 比较 f x( ) 与 f x( ) 的傅里叶级数的和函数的图像帮助同学们理解收敛性定理效果较好. §15.2 以 2l 为周期的函数的展开式 授课题目：§15.2 以 2l 为周期的函数的展开式 教学目的：使学生掌握以 2l 为周期的函数的傅里叶级数展开法(运用系数公式与收敛定理)；偶函数与奇函数 的傅里叶级数展开法。 重点难点：重点以 2l 为周期的函数、偶函数与奇函数的傅里叶级数展开法。 难点把函数 f x( ) 的展开成正弦级数、余弦级数。 教学方法：讲授法 学时安排：4 学时 教学过程如下： 一. 复习收敛定理并讲述该定理中的按段光滑函数的定义与性质 1. 复习收敛定理: 若以 2 为周期的函数 f (x) 在 [−, ] 上按段光滑,则 f (x) 在该点的 Fourier 级数在点 x [−, ] 收敛于 f (x) 在该点的左,右极限的算术平均值. 2. [a,b] 上按段光滑的定义与性质(课本上的定义欠妥,稍改,性质(3 条)亦稍改); 3.展开的例题:例 1,2 二. 以 2l 为周期的函数的 Fourier 级数 1. 系数公式: = = = = − − l l n l l n dx n l n x f x l b dx n l n x f x l a ( )sin ( 0,1,2, ) 1 ( ) cos ( 0,1,2, ) 1 = + + 0 0 ( cos sin ) 2 ( ) ~ n n n l n x b l n x a a f x 收敛定理同以 2 为周期的函数的
《数学分析》教案[0, -5<x<0展开成Fourier级数2. 例1.将函数 f(x)=[3, 0≤x<5三.偶函数与奇函数的Fourier级数，例2.3.4课后记：1．以21为周期的函数的傅里叶级数关键要强调变换"X，12．对函数进行奇、偶延拓时要主意区间端点及不连续点的情况求系数a,b,时需主意观察,正确总结规律815.3收敛性定理的证明授课题目：$15.3收敛性定理的证明教学目的：使学生理解收敛定理的证明过程。重点难点：收敛定理的证明。教学方法：讲授法学时安排：1学时教学过程如下：一、三个预备定理及其推论预备定理1.若f(x）在[一元，元]上可积,则成立Bessel不等式+(a +b)s[" f2(x)dx2[" f(x)cosnxdx→0, [ (x)sin nxdx -→0,(n -→o0)推论1.1[()sin(n+)xdx→0. (x)si(n+)xdx0,(n→0)推论2.（f(x)分别在[-元,0]，[0,元]上可积）1.sim n+ )x+2k=1预备定理2:x E(-00,+00)12x2sin 2-sinn+xsin(n+)x2推论补充dxdx22sin2sin122预备定理3.设f(x)以2元为周期,且在[-元,元]上可积,则其Fourier级数的部分和S,(x)sin( n+n可用积分表示为S,(x)=f(x+t)dtt2sin2二、收敛定理：若以2元为周期的函数f在[一元，元上按段光滑，则在每一点xE[-元元]，f的傅里叶级4
《数学分析》教案 4 2. 例 1.将函数 − = 3, 0 5 0, 5 0 ( ) x x f x 展开成 Fourier 级数. 三.偶函数与奇函数的 Fourier 级数. 例 2,3,4. 课后记： 1． 以 2l 为周期的函数的傅里叶级数关键要强调变换 x t l = . 2． 对函数进行奇、偶延拓时要主意区间端点及不连续点的情况, 求系数 , n n a b 时需主意观察,正确总结规律. §15.3 收敛性定理的证明 授课题目：§15.3 收敛性定理的证明 教学目的：使学生理解收敛定理的证明过程。 重点难点：收敛定理的证明。 教学方法：讲授法 学时安排：1 学时 教学过程如下： 一、三个预备定理及其推论 预备定理 1. 若 f (x) 在 [−, ] 上可积,则成立 Bessel 不等式 a b f x dx a n n n ( ) 1 ( ) 2 2 1 2 2 2 0 − = + + 推论 1. ( )cos → 0, − f x nxdx ( )sin → 0,( → ) − f x nxdx n . 推论 2. ) 0, 2 1 ( )sin( 0 f x n + xdx → ) 0,( ). 2 1 ( )sin( 0 + → → − f x n xdx n ( f (x) 分别在 [−,0], [0, ] 上可积.) 预备定理 2: . ( , ) 2 2sin ) 2 1 sin( 2 1 1 − + + + = = x x n x k x k 推论(补充) = + dx x n x 0 2 2sin ) 2 1 sin( 1 : 2 1 2 2sin ) 2 1 sin( 1 0 = + − dx x n x ; 预备定理 3. 设 f (x) 以 2 为周期,且在 [−, ] 上可积,则其 Fourier 级数的部分和 S (x) n 可用积分表示为 S (x) n dt t n t f x t − + = + 2 2sin ) 2 1 sin( ( ) 1 . 二、收敛定理: 若以 2 为周期的函数 f 在 [− , ] 上按段光滑，则在每一点 x [− ] ， f 的傅里叶级
《数学分析》教案数收敛于f在点x的左、右极限的算术平均值，即f(x+0)+f(x-)_a0+(a,cosnx+b,sin nx)22n=其中a，b,为f的傅里叶系数证只需证Vx极限[f(x+0)+ f(x-0)-s,(x)lim=2成立即snln+2f(x+0)+ f(x-0)limf(x+t)dt=022sin 10元2也就是sinn+2f(x+ 0)limf(x+t)=0dt(10)2n->0t元2sin-2与sinn+2f(x-0)limf(x+t)at=0(11)21元2sin 12又/sinn+82+Zcoskx220mk=两边积分2dx:coskxdx=2sink=l2由于左边为偶函数,因此两边乘以f(x+O)后得5
《数学分析》教案 5 数收敛于 f 在点 x 的左、右极限的算术平均值，即 = = + + + + − 1 0 ( cos sin ) 2 2 ( 0) ( 0) n an nx bn nx f x f x a 其中 n a ， n b 为 f 的傅里叶系数. 证 只需证 x 极限 ( ) 0 2 ( 0) ( 0) lim = − + + − → s x f x f x n n 成立. 即 0 2 2sin 2 1 sin ( ) 1 2 ( 0) ( 0) lim = + − + + + − → − dt t n t f x t f x f x n 也就是 0 2 2sin 2 1 sin ( ) 1 2 ( 0) lim 0 = + − + + → dt t n t f x t f x n (10) 与 0 2 2sin 2 1 sin ( ) 1 2 ( 0) lim 0 = + − + − → − dt t n t f x t f x n (11) 又 2 2sin 2 1 sin cos 2 1 1 x n x kx n k + + = = 两边积分 cos 1 2 1 2 2sin 2 1 sin 1 1 = = + + − = − dx k x dx x n x n k 由于左边为偶函数,因此两边乘以 f (x + 0) 后得
《数学分析》教案sinn+f(x+0)2f(x+0)O22sin2从而(10)式为sn2(12)lim-[f(x+0)-f(x+t)]dt=02sin！2令(1) =- (x+1)- (++0) = [(x+1) - (x+0))2te(0, 元)12sin！tin22则lim o(t)=-f'(x+0)-1=-f(x+0)再令p(0) =-f'(x+ 0)则函数β(x)在点t=0右连续,因为β(x)在(0，元1上至多有有限个第一类间断点,所以在(0，元1上可积.由预备性定理1的推论2sinn+2lim-"[f(x+0)-f(x+)tdt=0=limo(tsnt07D72sin!2即（12）式成立从而（10）式成立.同法可得（11）式成立证毕课后记：1.这一节定理从结果到证明过程都比较抽象，在讲解时就主意知识的前后逻辑关系让学生从整体上把握这节的内容2.在讲定理证明时注重强调所用到的关键的新技巧、新方法效果较好，3。本章的作业题特点是技巧性少，计算比较复杂，强调同学要细心，注意提高计算能力习题课Chap15的复习与练习教学目的：1.使学生熟记Fourier级数系数公式及收敛定理；2.使学生熟练掌握解题方法重点：Fourier级数的基本结论及解题方法；教学方法：提问与练习学时安排：2学时教学过程一、f(x)的Fourier级数系数公式及收敛定理6
《数学分析》教案 6 + = + + 0 2 2sin 2 1 sin ( 0) 1 2 ( 0) dt t n t f x f x 从而(10)式为 0 2 2sin 2 1 sin ( 0) ( ) 1 lim 0 = + + − + → dt t n t f x f x t n (12) 令 , (0, ] 2 sin ( ) ( 0) 2 2 2sin ( ) ( 0) ( ) + − + = − + − + = − t t t t f x t f x t f x t f x t 则 lim ( ) ( 0) 1 ( 0) 0 = − + = − + → + t f x f x t 再令 (0) = − f (x + 0) 则函数 (x) 在点 t = 0 右连续,因为 (x) 在 (0, ] 上至多有有限个第一类间断点,所以在 (0, ] 上可积.由 预备性定理 1 的推论 2, 0 2 1 ( )sin 1 lim 2 2sin 2 1 sin ( 0) ( ) 1 lim 0 0 = = + + + − + → → dt t n tdt t n t f x f x t n n 即(12)式成立从而(10) 式成立.同法可得(11)式成立. 证毕. 课后记： 1． 这一节定理从结果到证明过程都比较抽象,在讲解时就主意知识的前后逻辑关系让学生从整体上把握这节 的内容. 2． 在讲定理证明时注重强调所用到的关键的新技巧、新方法效果较好. 3． 本章的作业题特点是技巧性少,计算比较复杂,强调同学要细心,注意提高计算能力. 习题课 Chap15 的复习与练习 教学目的：1.使学生熟记 Fourier 级数系数公式及收敛定理;2.使学生熟练掌握解题方法. 重点： Fourier 级数的基本结论及解题方法; 教学方法: 提问与练习 学时安排：2 学时 教学过程 一、 f (x) 的 Fourier 级数系数公式及收敛定理
《数学分析》教案1.若f(x)以2元为周期,且在[-元,元]上可积,a,=一(x)cosnxdx(n=0,1,2.)[ (x)sindx (=,,.),()~+(a, co+b, sin)b,=-2n=lL, (x)cos n dx (n = ,12.)2.若f(x)以21为周期,且在[-1,1]上可积,a,=, (x)sin n dx (n =0,1,2.) ()~ +Z(a, cos"+b,sin ")1112n=1收敛定理：若以2元为周期的函数f(x)在[-元,元]上按段光滑,则对每一点xe[-元,对]都有 I(x+0)+ /(x-0) _% +)(a, cos nx + b, sin nx).22n=l2．注意f(x)奇,偶时的计算公式以及在f(x)连续点的收敛情况二、练习P%题 2,4,51
《数学分析》教案 7 1.若 f (x) 以 2 为周期,且在 [−, ] 上可积, ( ) cos ( 0,1,2 ) 1 = = − an f x nxdx n ( )sin ( 0,1,2 ), 1 = = − bn f x nxdx n = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) ~ n an nx bn nx a f x 2. 若 f (x) 以 2l 为周期,且在 [−l,l] 上可积, ( ) cos ( 0,1,2 ) 1 = = − dx n l n x f x l a l l n ( )sin ( 0,1,2 ) 1 = = − dx n l n x f x l b l l n = + + 1 0 ( cos sin ) 2 ( ) ~ n n n l n x b l n x a a f x 1. 收敛定理: 若以 2 为周期的函数 f (x) 在 [−, ] 上按段光滑,则对每一点 x [−, ] 都有 = = + + + + − 1 0 ( cos sin ) 2 2 ( 0) ( 0) n an nx bn nx f x f x a . 2. 注意 f (x) 奇,偶时的计算公式以及在 f (x) 连续点的收敛情况. 二、练习 P70 题 2,4,5