第五章相似矩阵及二次型
第五章 相似矩阵及二次型
5.1向量的内积、长度及正交性5.2方阵的特征值与特征向量5.3相似矩阵5.4对称矩阵的对角化5.5二次型及其标准形5.6用配方法化二次型成标准形
5.1 向量的内积、长度及正交性 5.2 方阵的特征值与特征向量 5.3 相似矩阵 5.4 对称矩阵的对角化 5.5 二次型及其标准形 5.6 用配方法化二次型成标准形
s1向量的内积、长度及正交性
§1 向量的内积、长度及正交性
向量的内积(Innerproductofvectorsxiy1X2y2定义：设有 n维向量X=，=...:x1Xyi+XJ2+...+Xny.则称[x川为向量x和的内积
定义：设有 n 维向量 令 则称 [x, y] 为向量 x 和 y 的内积． 1 1 2 2 [ , ] n n x y = + + + x y x y x y 向量的内积(Inner product of vectors) 1 1 2 2 , , n n x y x y x y x y = =
※内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数，※内积可用矩阵乘法表示：当x和y都是列向量时yiV2[x,J =(x,x2,..(yn)(-4)12的内积。例：求向量X=o,y=3-2解：[x,y]=1×(-4) +0×2 +(-2)×3=-10
※内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一个实数． ※内积可用矩阵乘法表示：当x 和 y 都是列向量时， [x, y] 例：求向量 的内积。 − = − = 3 2 4 , 2 0 1 x y 解：[x, y] =1(−4) +02 + (−2)3 = −10. ( ) 1 2 1 2 , , , n n y y x x x y = T = x y
[x, yl =xiyi +x2y2 +... +x,y,=xT y内积具有下列性质（其中x.V.z为n维向量2为实数）：。对称性: [x,J=[y,X] .[x,y]=xJ+x2J,+...+x.y
1 1 2 2 1 1 2 2 [ , ] [ , ] n n n n x y x y x y x y y x y x y x y x = + + + = + + + = [x, y] = x1 y1 + x2 y2 + . + xn yn = x T y． 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）： ⚫ 对称性： [x, y] = [y, x]．
[x, yl =xiyi +x2y2 + ... +x,yn=xT y内积具有下列性质（其中xVz为n维向量a为实数）：对称性：[x,]=[y,X] ·线性性质【x,=[x,[x + y, z] = [x, z] + [y, z][ax,y][x+y,z]
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + . + xn yn = x T y． 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）： ⚫ 对称性： [x, y] = [y, x]． ⚫ 线性性质： [l x, y] = l[x, y]． [x + y, z] = [x, z] + [y, z] [ , ] ( ) ( ) [ , ] T T T l l l l l x y x y x y x y x y = = = = [ , ] ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ] [ , ] T T T T T x y z x y z x y z x z y z x z y z + = + = + = + = +
[x, yl =xiyi +x2y2 + ... +x,yn=xT y内积具有下列性质（其中xVz为n维向量a为实数）：对称性：[x,] =[y,X] .线性性质：【x,=[x,·[x +y, z] = [x, z] + [y, z]当x=0（零向量）时，[x,x=0；当x±0（零向量）时，[x,>0.[x,x] =x2 +x2 + ... +x2 ≥0
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + . + xn yn = x T y． 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）： ⚫ 对称性： [x, y] = [y, x]． ⚫ 线性性质： [l x, y] = l[x, y]． [x + y, z] = [x, z] + [y, z] ⚫ 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0； 当 x ≠ 0（零向量） 时， [x, x] > 0． [x, x] = x1 2 + x2 2 + . + xn 2 ≥ 0
[x, yl =xiyi +x2y2 + ... +x,yn=xT y内积具有下列性质（其中xVz为n维向量a为实数）：对称性：[x,] =[y,x] .线性性质：【x,=[x,[x+y, z] = [x, z] + [y, z]当x=0（零向量）时，[x,x=0当x±0（零向量）时，[xx>0，施瓦兹（Schwarz）不等式[x,y]≤[x, x] [y, y]
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + . + xn yn = x T y． 内积具有下列性质（其中 x, y, z 为 n 维向量，l 为实数）： ⚫ 对称性： [x, y] = [y, x]． ⚫ 线性性质： [l x, y] = l[x, y]． [x + y, z] = [x, z] + [y, z] ⚫ 当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0； 当 x ≠ 0（零向量） 时， [x, x] > 0． ⚫ 施瓦兹（Schwarz）不等式 [x, y] 2 ≤ [x, x] [y, y]．
人物简介H.A.施瓦茨（HermannAmandusSchwarz1843.1.25-1921.11.30），法国数学家，生于西里西业的赫姆斯多夫，卒于柏林。1860年进入柏林工业学院学习化学，后来受库默尔和魏尔斯特拉斯影响转而攻读数学。施瓦茨的数学成就，主要涉及分析学、微分方程、几何学等领域。在《纪念文集》（Festschrift,1885）中论证了所谓范数的“施瓦茨不等式”，该式已成为函数论的重要工具。施瓦茨是继克罗内克、库默尔和魏尔斯特拉斯等人之后德国数学界的领导人之一，对20世纪初期的数学发展做出了重要贡献
人物简介 H.A.施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz， 1843.1.25-1921.11.30）,法国数学家，生于西里西亚 的赫姆斯多夫，卒于柏林。1860年进入柏林工业学院 学习化学，后来受库默尔和魏尔斯特拉斯影响转而攻 读数学。 施瓦茨的数学成就，主要涉及分析学、微分方程、 几何学等领域。在《纪念文集》（Festschrift,1885） 中论证了所谓范数的“施瓦茨不等式”，该式已成为 函数论的重要工具。 施瓦茨是继克罗内克、库默尔和魏尔斯特拉斯等 人之后德国数学界的领导人之一，对20世纪初期的数 学发展做出了重要贡献