运城学院2020一2021学年第一学期常微分方程试题及答案（A）、填空题（每空3分，共30分）2 d'y(dy)"1、方程dy+sin2x=0是4阶微分方程。dx+dx2 (dx)2+a)是方程_+/+y2的解，则常数a=-12、若V=(x2dxx3、方程业V+V-2的常数解为y=1和y=-2dx(d2x)?dx d'xu=dx4、方程3降低1阶。=0可通过变量代换dt?dt dt3dt5、方程-7+6y=e°+sinx具有形如_Axe*+Bcosx+Csinx_的特解。dx2dx6、方程xydx+(2x?+3y2-20)dy=0的一个积分因子为7、伯努利方程+2.xy=3y可通过变量代换化为线性方程。14y2dx8、方程dy-16v=0的基本解组为e2xe-2x,cos2x,sin2xdx9、若方程(3x2+axy2)dx+(x2y+4y2)dy=0为全微分方程，则常数a=y=7er+er、y=Se+er-e-r是方程10、设y=3e+e、y"+a(x)y+a,(x)y=f(x)的3个解，则此方程满足条件y(O)=1、y(O)=2的解为y=2e' - 2e-r +e+?二、简答题（每小题10分，共40分）1l、求解方程e+y-e)dx+(e+y+e")dy=0
运城学院 2020—2021 学年第一学期 常微分方程试题及答案（A） 一、填空题（每空 3 分，共 30 分） 1、方程 3 4 2 2 4 2 2 sin 2 0 d y d y dy x x dx dx dx − += 是 4 阶微分方程。 2、若 1 2 ( ) 2 y xa = + 是方程 2 2 dy y xy dx x + + = 的解，则常数 a= -1 。 3、方程 2 2 dy y y dx = +− 的常数解为 y=1 和 y=-2 。 4、方程 2 2 3 2 3 3 0 d x dx d x dt dt dt −⋅ = 可通过变量代换 dx u dt = 降低 1 阶。 5、方程 2 2 7 6 e sin d y dy x y x dx dx − + =+ 具有形如 Axex +Bcosx+Csinx 的特解。 6、方程 xydx+(2x2 +3y2 -20)dy=0 的一个积分因子为 y 3 。 7、伯努利方程 3 2 3 dy xy y dx + = 可通过变量代换 2 1 u y = 化为线性方程。 8、方程 4 4 16 0 d y y dx − = 的基本解组为 e 2x, e-2x, cos2x, sin2x 。 9、若方程 22 2 2 (3 ) ( 4 ) 0 x axy dx x y y dy + ++ = 为全微分方程，则常数 a= 1 。 10 、 设 2 3e e x x y = + 、 2 7e e x x y = + 、 2 2 5e e e xx x y − = +− 是方程 1 2 y a xy a xy f x ′′ ′ ++= () () () 的 3 个解，则此方程满足条件 y(0) 1 = 、 y′(0) 2 = 的解为 2 2 2e 2e +e x xx y − = − 。 二、简答题（每小题 10 分，共 40 分） 11、求解方程(e e ) (e e ) 0 xy x xy y dx dy + + − ++ =
解：方程变形为e(e"-1)dx+e(e'+1)dy=0，所以d=，所以e'+11-eyedx{d，所以+1)。.10分1-eJex +112、求解方程[x+(x2+y2)x]dx+ydy=0。解：方程两边同除x+y得+尊+x°d=0.…5分x? + y2Idin(+y)+d=,所以n(+y)+=.5分所以！322C113、求解方程虫(x+y)?dx解：令u=x+y，则原方程化为_+1.....分dxu?所以u-arctanu=x+c，所以y-arctan(x+y)=c。..4分y-20y+-014、求解方程dx3dx?"dx解：特征方程为23-222+入=0，所以有单特征根0和2重特征根1，所以1，exxe*是原方程的基本解组，所以通解为y=Ci+(c2+c3x)e。..10分三、应用题、推理题、探索题（每小题10分，共30分）[21]15（应用题）、求解方程组x=Ax，其中A=[34]2-元解：矩阵A的特征方程为A-E22-6元+5=0，所以特征值为4-231和5。..4分
解 ： 方程变形为 e (e 1) e (e 1) 0 x y y y −+ += dx dy ，所以 e e e 1 1-e x y x y dx dy = + ，所以 e e e 1 1-e x y x y dx dy = + ∫ ∫ ，所以(1+ex )(1-e y )=c。.10 分 12、求解方程 2 22 [ ( )] 0 x x y x dx ydy ++ + = 。 解：方程两边同除 x 2 +y2 得 2 2 2 0 xdx ydy x dx x y + + = + ，.5 分 所以 1 1 22 3 ln( ) 0 2 3 d x y dx ++ = ，所以 1 1 22 3 ln( ) 2 3 xy xc ++ = 。.5 分 13、求解方程 2 1 ( ) dy dx x y = + 。 解：令 u=x+y，则原方程化为 2 2 du u 1 dx u + = ，.6 分 所以u u xc − =+ arctan ，所以 y xy c − += arctan( ) 。.4 分 14、求解方程 3 2 3 2 2 0 d y d y dy dx dx dx − += 。 解：特征方程为 3 2 λ λλ − += 2 0 ，所以有单特征根 0 和 2 重特征根 1，所以 1，e x ， xex是原方程的基本解组，所以通解为 y=c1+(c2+c3x)ex 。.10 分 三、应用题、推理题、探索题（每小题 10 分，共 30 分） 15（应用题）、求解方程组 x Ax ′ = ，其中 2 1 3 4 = A 。 解：矩阵 A 的特征方程为 2 2 1 6 50 3 4 A E λ λ λ λ λ − − = = − += − ，所以特征值为 1 和 5。.4 分
11的特征向量为5的特征向量为所以通解为3c(t):6.416（推理题）、设(t)是方程组x=Ax满足初始条件p(t）=n的解，证明p(t)=e4(t-0) n 。证明：方程组的通解为x(t)=e"c，将初始条件带入得n=ec，所以e-An=c，所以(t)=e()n。..10分17（探索题）、种群指占据一定空间的同种生物的所有个体。个体间的主要差别是性别和年龄。设在时刻t，种群中雄性个体数为m(t)，雌性个体数为f(t)。雄性和雌性个体的死亡率分别为正的常数d和d2。雄性和雌性幼患的出生率分别为正的常数b,和b2。假设雌性个体不会因没有配偶而不能生育，假设没有迁入和迁出。可以建立如下具有性别结构的种群动态模型：m=bf-d,m(f"=(b, -d,)f种群的性比是指种群中雄性与雌性个体数的比例，在时刻t，种群的性比记为s(t)，即s()-。利用上面的模型可以得到5"="==b-(d+b-d)。f2f(t)问若d,+b,-d,>0，则在什么条件下lims(t)=1。解：可以求解得s(1)=-ce-(+)一，..分d,+b,-d,b,所以1=lims(t)=所以b-d,=b,-d,.5分d, +b, -d
1 的特征向量为 1 1 − ， 5 的特征向量为 1 3 ，所以通解为 5 1 2 1 1 () e e 1 3 t t tc c = + − x 。.6 分 16（推理题）、设 ϕ( )t 是方程组 x Ax ′ = 满足初始条件 0 ϕ η ( ) t = 的解，证明 0 ( ) () e t t t − ϕ η = A 。 证明：方程组的通解为 () eAt xt c = ，将初始条件带入得 0 eAt η = c ，所以 0 e At η c − = ， 所以 0 ( ) () e t t t − ϕ η = A 。.10 分 17（探索题）、种群指占据一定空间的同种生物的所有个体。个体间的主要差别 是性别和年龄。设在时刻 t，种群中雄性个体数为 m(t)，雌性个体数为 f(t)。雄性和雌性 个体的死亡率分别为正的常数 d1和 d2。雄性和雌性幼崽的出生率分别为正的常数 b1和 b2。假设雌性个体不会因没有配偶而不能生育，假设没有迁入和迁出。可以建立如下具 有性别结构的种群动态模型： 1 1 2 2 ( ) m bf dm f b df ′ = − ′ = − 种群的性比是指种群中雄性与雌性个体数的比例，在时刻 t，种群的性比记为 s(t)，即 ( ) ( ) ( ) m t s t f t = 。利用上面的模型可以得到 2 1 12 2 ( ) m f mf s b d b ds f ′ ′ − ′ = =− +− 。 问若 12 2 dbd +− > 0，则在什么条件下 lim ( ) 1 t s t →+∞ = 。 解：可以求解得 12 2 ( ) 1 12 2 ( ) dbdt b ce s t dbd − +− − = + − ，.5 分 所以 1 12 2 1 lim ( ) t b s t →+∞ dbd = = + − ，所以 112 2 bd bd −=− 。.5 分
运城学院2020一2021学年第一学期常微分方程试题及答案（B）、填空题（每空3分，共30分）1、方程业r2 dy2 (dy+sin2x=0是3阶微分方程。dr3dx? (dxx-1)是方程_++的解，则常数a=12、若V=(x2dxax3、方程y2-2y+1的常数解为V=1dx4、方程(d'xd'x可通过变量代换降低2阶。4dt3dt?5、方程dy-7+6y=2e°+cosx具有形如Axex+Bcosx+Csinx的特解。dx?dxV)dx+(x+y)dy=0的一个积分因子为6、方程(3y+X7、伯努利方程业1+2y=3xy3可通过变量代换化为线性方程。dx8、方程-81y=0的基本解组为_cex.cos3x.sin3xdx9、若方程（3x2+2xy2)dx+(2axy+4y2)dy=0为全微分方程，则常数a=10、设y=2e'+ey=4e*+e、y=7e'+er-e-r是方程y"+a(x)y+a,(x)y=f(α)的3个解，则此方程满足条件y(O)=1、y(O)=2的解为y= 2e'-2e-r +er二、简答题（每小题10分，共40分）
运城学院 2020—2021 学年第一学期 常微分方程试题及答案（B） 一、填空题（每空 3 分，共 30 分） 1、方程 3 3 2 2 3 2 2 1 sin 2 0 dy dy dy x x dx dx dx − −+ = 是 3 阶微分方程。 2、若 1 2 ( 1) 2 y x = − 是方程 2 2 dy y xy dx ax + + = 的解，则常数 a= 1 。 3、方程 2 2 1 dy y y dx =−+ 的常数解为 y=1 。 4、方程 2 3 2 3 2 1 dx dx dt dt = + 可通过变量代换 2 2 d x u dt = 降低 2 阶。 5、方程 2 2 7 6 2e cos d y dy x y x dx dx − += + 具有形如 Axex +Bcosx+Csinx 的特解。 6、方程 2 (3 ) ( ) 0 y y dx x y dy x + ++ = 的一个积分因子为 x 2 。 7、伯努利方程 3 2 3 dy y xy dx + = 可通过变量代换 2 1 u y = 化为线性方程。 8、方程 4 4 81 0 d y y dx − = 的基本解组为 e 3x, e-3x, cos3x, sin3x 。 9、若方程 22 2 2 (3 2 ) (2 4 ) 0 x xy dx ax y y dy + ++ = 为全微分方程，则常数 a= 1 。 10 、 设 2 2e e x x y = + 、 2 4e e x x y = + 、 2 2 7e e e xx x y − = +− 是方程 1 2 y a xy a xy f x ′′ ′ ++= () () () 的 3 个解，则此方程满足条件 y(0) 1 = 、 y′(0) 2 = 的解为 2 2 2e 2e +e x xx y − = − 。 二、简答题（每小题 10 分，共 40 分）
11、求解方程虫:0dxyere3r解：方程变形为业+=0，所以ye-"dy=-edx，所以[ye-"dy=-edx,dxy所以3e--2e3=C。..10分12、求解方程ydx-(x+y3)dy=0。解方程两边同除得些--ydy=，….5分y2y所以=0，所以2x=+c)。….5分213、求解方程_-y+5dxx-y-2°解：令u=x-y-2，则原方程化为=二,..6分dxu所以u2=-14x+c，所以(x-y-2)2+14x=c。..4分14、求解方程-2+坐=0。dx4dx3dx?解：特征方程为元4-223+元2=0，所以有2重特征根0和2重特征根1，所以1，X，e，xe*是原方程的基本解组，所以通解为y=ci+c2x+(cs+c4x)e。..10分三、应用题、推理题、探索题（每小题10分，共30分）[1 2]15（应用题）、求解方程组x=Ax，其中A=[4 3]°1-元2解：矩阵A的特征方程为A-元E-=2-4-5=0，所以特征值为43-2·1和5。.4分
11、求解方程 2 3 e 0 y x dy dx y + + = 。 解：方程变形为 2 3 e e 0 y x dy dx y + = ，所以 2 3 ye e y x dy dx − = − ，所以 2 3 ye e y x dy dx − = − ∫ ∫ ， 所以 2 3 3e 2e y x c − − = 。.10 分 12、求解方程 3 ydx x y dy −+ = ( )0 。 解：方程两边同除 y 2 得 2 0 dx xdy ydy y y −−= ，.5 分 所以 1 2 0 2 x d dy y − = ，所以 2 2( ) x yy c = + 。.5 分 13、求解方程 5 2 dy x y dx x y − + = − − 。 解：令 u=x-y-2，则原方程化为 du 7 dx u − = ，.6 分 所以 2 u xc =− + 14 ，所以 2 ( 2) 14 xy xc −− + = 。.4 分 14、求解方程 4 32 4 32 2 0 d y d y dy dx dx dx − += 。 解：特征方程为 4 32 λ λλ − += 2 0 ，所以有 2 重特征根 0 和 2 重特征根 1，所以 1， x，e x ，xex是原方程的基本解组，所以通解为 y=c1+c2x+(c3+c4x)ex 。.10 分 三、应用题、推理题、探索题（每小题 10 分，共 30 分） 15（应用题）、求解方程组 x x ′ = A ，其中 1 2 4 3 A = 。 解：矩阵 A 的特征方程为 2 1 2 4 50 4 3 A E λ λ λ λ λ − − = = − −= − ，所以特征值为 -1 和 5。.4 分
1-1的特征向量为5的特征向量为所以通解为2x(t)=..6分16（推理题）、设p(t)是方程组x=Ax满足初始条件p(t）=n的解，证明p(t)=e4(t-0) n 。证明：方程组的通解为x(t)=e"c，将初始条件带入得n=ec，所以e-An=c，所以(t)=e4()n。..10分17（探索题）、种群指占据一定空间的同种生物的所有个体。个体间的主要差别是性别和年龄。设在时刻t，种群中雄性个体数为m(t)，雌性个体数为f(t)。雄性和雌性个体的死亡率分别为正的常数d和d2。雄性和雌性幼患的出生率分别为正的常数b,和b2。假设雌性个体不会因没有配偶而不能生育，假设没有迁入和迁出。可以建立如下具有性别结构的种群动态模型：m=bf-d,m(f"=(b, -d,)f种群的性比是指种群中雄性与雌性个体数的比例，在时刻t，种群的性比记为s(t)，即s()-。利用上面的模型可以得到5="="=b-(d+b-d)s.f2f(t)问若d,+b,-d,>0，则在什么条件下lims(t)=1。解：可以求解得s(1)=-ce-(+),一，.5分d,+b,-d,b,所以1=lims(t)：所以b,-d,=b-d,。..5分d, +b, -d
-1 的特征向量为 1 1 − ， 5 的特征向量为 1 2 ，所以通解为 5 1 2 1 1 () e e 1 2 t t tc c − = + − x 。.6 分 16（推理题）、设 ϕ( )t 是方程组 x Ax ′ = 满足初始条件 0 ϕ η ( ) t = 的解，证明 0 ( ) () e t t t − ϕ η = A 。 证明：方程组的通解为 () eAt xt c = ，将初始条件带入得 0 eAt η = c ，所以 0 e At η c − = ， 所以 0 ( ) () e t t t − ϕ η = A 。.10 分 17（探索题）、种群指占据一定空间的同种生物的所有个体。个体间的主要差别 是性别和年龄。设在时刻 t，种群中雄性个体数为 m(t)，雌性个体数为 f(t)。雄性和雌性 个体的死亡率分别为正的常数 d1和 d2。雄性和雌性幼崽的出生率分别为正的常数 b1和 b2。假设雌性个体不会因没有配偶而不能生育，假设没有迁入和迁出。可以建立如下具 有性别结构的种群动态模型： 1 1 2 2 ( ) m bf dm f b df ′ = − ′ = − 种群的性比是指种群中雄性与雌性个体数的比例，在时刻 t，种群的性比记为 s(t)，即 ( ) ( ) ( ) m t s t f t = 。利用上面的模型可以得到 2 1 12 2 ( ) m f mf s b d b ds f ′ ′ − ′ = =− +− . 问若 12 2 dbd +− > 0，则在什么条件下 lim ( ) 1 t s t →+∞ = 。 解：可以求解得 12 2 ( ) 1 12 2 ( ) dbdt b ce s t dbd − +− − = + − ，.5 分 所以 1 12 2 1 lim ( ) t b s t →+∞ dbd = = + − ，所以 112 2 bd bd −=− 。.5 分