《数学分析》教素第二十二章 曲面积分教学目的：1.理解第一、二型曲面积分的有关概念，并掌握其计算方法，同时明确它们的联系；2.掌握高斯公式与斯托克斯公式：3.理解有关场的概念，掌握梯度场、散度场、旋度场、管理场与有势场的性质及应用。教学重点难点：本章的重点是曲面积分的概念、计算：难点是第二型曲面积分。教学时数：8学时s1第一型曲面积分第一型面积分的定义：1．几何体的质量：已知密度函数，分析平面区域、空间几何体的质量定义及计算2.曲面的质量：3.第一型面积分的定义：定义及记法.，面积分JaS4.第一型面积分的性质：第一型面积分的计算：1．第一型曲面积分的计算：Th22.2设有光滑曲面S:z=z(x,y)，(x,y)eD.J(x,y,z)为S上的连续函数，则JfJ(x,y,z)as -Jj(x,y,z(x,y)/1+z+z,dxdyaS，其中S是球面×++22=α2被平面例 4计算积分P281z=h(0<h<α)所截的顶部。.1
《数学分析》教案 - 1 - 第二十二章 曲面积分 教学目的：1.理解第一、二型曲面积分的有关概念，并掌握其计算方法，同时 明确它们的联系；2.掌握高斯公式与斯托克斯公式；3.理解有关场的概念，掌 握梯度场、散度场、旋度场、管理场与有势场的性质及应用。 教学重点难点：本章的重点是曲面积分的概念、计算；难点是第二型曲面积 分。 教学时数：8 学时 § 1 第一型曲面积分 一. 第一型面积分的定义: 1. 几何体的质量: 已知密度函数 , 分析平面区域、空间几何体的质 量定义及计算 2. 曲面的质量: 3. 第一型面积分的定义: 定义及记法., 面积分 . 4.第一型面积分的性质: 二. 第一型面积分的计算: 1. 第一型曲面积分的计算: Th22.2 设有光滑曲面 . 为 上的连 续函数,则 . 例 4 计算积分 , 其中 是球面 被平面 所截的顶部 . P281
《数学分析》教素s2第二型曲面积分曲面的侧：1.单侧曲面与双侧曲面：2.双侧曲面的定向：曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧．设法向量为n-t(cosa,cos p,cosr),则上侧法线方向对应第三个分量>0，即选“+”号时，应有cos》0，亦即法线方向与Z轴正向成锐角类似确定其余各侧的法线方向闭合曲面分内侧和外侧.第二型曲面积分：二.1.以磁场为例P284稳流场的流量：2.第二型曲面积分的定义：P284：闭合曲面上的积分及记法3.第二型曲面积分的性质：线性，关于积分曲面块的可加性4.第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系：设n为曲面S的指定法向，则Jf P(x,y,z)adydz +Q(x, y,z)dzdx + R(x,y,z2)dxay=P(x,y,z)cos(n, x)+Q(x,y,z)cos(n,J) + R(x,y,z)cos(n,z)s三. 第二型曲面积分的计算：Th22.2设R(x,y,z)是定义在光滑曲面-2 -
《数学分析》教案 - 2 - §2 第二型曲面积分 一. 曲面的侧: 1. 单侧曲面与双侧曲面: 2. 双侧曲面的定向: 曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧. 设法向 量为 , 则上侧法线方向对应第三个分量 , 即选“+”号时，应有 ，亦即 法线方向与 轴正向成锐角. 类似确定其余各侧的法线方向 闭合曲面分内 侧和外侧. 二. 第二型曲面积分: 1. 稳流场的流量: 以磁场为例. P284 2. 第二型曲面积分的定义: P284 . 闭合曲面上的积分及记法. 3. 第二型曲面积分的性质: 线性 , 关于积分曲面块的可加性. 4. 第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系: 设 为曲面 的指定法向, 则 . 三. 第二型曲面积分的计算: Th22.2 设 是定义在光滑曲面
《数学分析》教素S: z=z(x,y),(x,y)eD 上的连续函数，以S的上侧为正侧（即 cos(n,z)>0)，则有JfR(x,y,z)dxy-R(x,y,z(x)axy.D证P类似地，对光滑曲面S:x=x(y,z)，(y,z)ED，在其前侧上的积分f P(x,y,z)abydz - IfP(x(v,z),y,z2)abydz.对光滑曲面S：=y(z,x)，(z,x)EDx，在其右侧上的积分Ife(x,y,z)dzdx = ffe(x,y(z,x),z)dzdx.计算积分Paydz+Qdzdx+Rdxay时，通常分开来计算三个积分Jf Pabydz,Jfedzdx,JfRdxay为此，分别把曲面S投影到YZ平面，ZX平面和XY平面上化为二重积分进行计算．投影域的侧由曲面S的定向决定计算积分xyzdxdy，其中S是球面×+2+z=1在例 1 P287x≥0,>0部分取外侧.例2计算积分(x+y)aydz+(y-2)dzdx+(z+3x)dxaly，Z为球面×2+>2+22=R取外侧-3-
《数学分析》教案 - 3 - D 上的连续函数, 以 的上侧为正侧( 即 ), 则有 . 证 P 类似地, 对光滑曲面 D , 在其前侧上的积分 . 对光滑曲面 D , 在其右侧上的积分 . 计算积分 时, 通常分开来计算三个积分 , , . 为此, 分别把曲面 投影到 YZ 平面, ZX 平面和 XY 平面上化为二重积分进行 计算. 投影域的侧由曲面 的定向决定. 例 1 计算积分 ,其中 是球面 在 部分取外侧. P287 例 2 计算积分 ， 为球面 取外侧
《数学分析》教素解对积分（x+)aydz，分别用Z和Z记前半球面和后半球面的外侧，则有Zm:=R3-y2-2Dm J?+2?sR;De: y?+2"sR2.Ze:x--/R2-y2-22因此，(x+)aydz=JR-y~-2 +ylbdz-f-R-y-2 +ydz-2TVR3-2-2 aydzr2rdr:2deNR2.+tSR-841(R3 -r2).24元TD17-32对积分(y-z)dzdx，分别用Z和记右半球面和左半球面的外侧，则有Z: J=NR2-23-xD x+2?<R3;Z: J--NR2-23-xD x3+z*<R3.因此，2)yaz。J=1-R3-z2-x3-zhzdIRkizdx-74-.4R2-22-xazdx-XR3=2n+2R?-4
《数学分析》教案 - 4 - 解 对积分 , 分别用 和 记前半球面和后半球面的 外侧, 则有 : ; : . 因此, = + = . 对积分 , 分别用 和 记右半球面和左半球面的 外侧, 则有 : ; : . 因此, + =
《数学分析》教素对积分锂(z+3x)dxcy，分别用2和Z记上半球面和下半球面的外侧，则有D: x+y?<R";ZL:z-JR-x-yZT: x=-yR3-x2-92Dp:x+y?sR2.因此，(z+3x)dxa=JJ、=R? - - +3x)xdy- -/R - -y +3x)xdy-21R2-x-ydxdy元R3-4元R3.综上，(x+y)abydz+(y-2)ddx+(z+3x)dxaly= 3x3s3Gauss公式和Stokes公式Gauss公式：Th22.6设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲面S围成：若函数P,Q,R在V上连续，且有连续的一阶偏导数，则%+ + ixoa-fPad +@da + Raxdy二+=yazax其中S取外侧称上述公式为Gauss公式或OcTporaCEH-Gauss公式-5-
《数学分析》教案 - 5 - 对积分 , 分别用 和 记上半球面和下半球面的外侧, 则有 : ; : . 因此, = + = . 综上, = . § 3 Gauss 公式和 Stokes 公式 一. Gauss 公式: Th22.6 设空间区域 V 由分片光滑的双侧封闭曲面 围成 . 若函数 在 V 上连续, 且有连续的一阶偏导数 , 则 , 其中 取外侧. 称上述公式为 Gauss 公式或Остроградский―Gauss 公式
《数学分析》教素证只证dxdydz=ffRdxdy设V是y型区域（即Z-型体），其边界曲面S由曲面Si:z=zi(x,y)下侧，(x,J)ED(z(x,)sz(x,y).Sz: z=z2(x,y)上侧，(x,y)eD.以及垂直于XY平面的柱面Ss(外侧)组成。注意到JR(x,y,z)dxdy=0,有Bdxda - ) da- f/(xy,2)(3)xk(xy) azTi[R(x,y,z2(x,y)- R(x,y,z(x,)dxayfR(x,y,z(x,y)dxay-IR(x,y,zi(x,y)dxayJR(x,,z)dxy+JR(x,,z)dx+J R(x,y,z)dxyfR(x,y,z)dxdydxobydz -f Pabydz， JJ dxobydz -H Qdzdx可类证以上三式相加，即得Gauss公式例 1 计算积分(x+y)dydz+(-z)dzdx+(z+3x)dxdy，Z为球面x2++22=R取外侧-6
《数学分析》教案 - 6 - 证 只证 . 设 V 是 型区域( 即 型体 ) , 其边界曲面 由曲面 下侧 , D , 上侧 , D . . 以及垂直于 平面的柱面 (外侧)组成. 注意到 = , 有 = = . 可类证 , . 以上三式相加, 即得 Gauss 公式. 例 1 计算积分 ， 为球面 取外侧
《数学分析》教紫解P(xy,z)= x+y, Q(x,y,z) =y-z, R(x,y,z) =z+3xaP -1. 3 -1, 9aR-1.aPR-3axazaxazdyay4元R3-4元R3由Gauss公式-Jpdxobydz-33例2 计算积分>(x-z2)dydz+xdzdx+(3+xz)dxdy，其中S是边长为的正方体的表面取外侧：0xa，a,zaP291解应用Gauss公式，有z)/+dxdydzazoy+ x)dxdydz=[dz[dy[ + x)dxay+例 1计算积分xbydz+ydzdx+zdxdy，为锥面Z=x2+在平面z=4下方的部分，取外法线方向：解设S为圆z=4，x2+2<16取上侧，则Z+S构成由其所围锥体V的表面外侧，由Gauss公式，有xdydz+ydzdx+zdxdy=茶64raxdydz=3×锥体V的体积=3=64元；4而Jf xaydz + ydzdx + dxady = 4fdxdy=64元+y*516- 7 -
《数学分析》教案 - 7 - 解 . 由 Gauss 公式 . 例 2 计算积分 ，其中 是边 长为 的正方体 V 的表面取外侧. V : . P291 解 应用 Gauss 公式 , 有 . 例 1 计算积分 ， 为锥面 在平面 下方的部分，取外法线方向 . 解 设 为圆 取上侧 , 则 构成由其所围锥体 V 的表面外侧 , 由 Gauss 公式 , 有 = 锥体 V 的体积 ; 而
《数学分析》教素因而，-0例 1设V是三维空间的区域，其内任何封闭曲面都可不通过V外的点连续收缩为V上的一点。又设函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)和R(x,J,z)在V上有连续的偏导数，S表示V内任一不自交的光滑封闭曲面，n是S的外法线．试证明：对V内任意曲面S恒有ff[Pcos(n,x) +Qcos(n,y) + Rcos(n,z) ks =0aPa2aR=0在V内处处成立，的充要条件是axayaz证[Pcos(n, x) +Q cos(n,y) + Rcos(n,z) as = Paydz +Qdzdx + Rdxdy一）由Gauss公式直接得到.=）反设不然，即存在点M。(o,yo,zo)EV，使aPaQaR)Ix * 0,dzaxayP，2.在点M.连续，存在以点M。为中心且在V由不妨设其>0.axyazaP+a+R>0.以Z表示小球V"的表面外侧，使在其内有内的小球，axay就有QaRapdxdydz>0,Hzax与=0矛盾.-8-
《数学分析》教案 - 8 - 因而, . 例 1 设 V 是三维空间的区域, 其内任何封闭曲面都可不通 过 V 外的点连续收缩为 V 上的一点. 又设函数 、 和 在 V 上有连续的偏导数. 表示 V 内任一不自交的光滑封闭曲面, 是 的外法线. 试证明: 对 V 内任意曲面 恒有 的充要条件是 在 V 内处处成立. 证 . 由 Gauss 公式直接得到 . 反设不然 , 即存在点 V, 使 , 不妨设其 . 由 在点 连续, 存在以点 为中心且在 V 内的小球 , 使在其内有 . 以 表示小球 的表面外侧, 就有 , 与 矛盾
《数学分析》教素Stokes公式：空间双侧曲面的正侧与其边界闭合曲线L正向的匹配关系：右手螺旋法则，即当人站在曲面的正侧上，沿边界曲线L行走时，若曲面在左侧，则把人的前进方向定为L的正向1.Stokes定理：Th22.7设光滑曲面S的边界L是按段光滑的连续曲线。若函数P(x,y,z)、Q(x,,2)和R(x,y,z)在S（连同L）上连续，且有一阶连续的偏导数，则aRaol (/- (TaQaplaxdy-f Pdx+ Qoy + Rdz .27axay其中S的侧与L的方向按右手法则确定，称该公式为Stokes公式，aP dzdx -apdxdy-fPdx.证先证式具体证明参阅P292.522ayaaaaxdzayStokes公式也记为PQRPdx+ Qay + Rdz.门dydz dzdx dxdy例5计算积分f(2y +2)dx +(x-2)dy+(y-x)dz,其中L为平面x++z=1与各坐标平面的交线，方向为：从平面的上方往P294下看为逆时针方向.-9 -
《数学分析》教案 - 9 - 二. Stokes 公式: 空间双侧曲面的正侧与其边界闭合曲线 L 正向的匹配关系: 右手螺旋法则, 即当人站在曲面的正侧上, 沿边界曲线 L 行走时, 若曲面在左侧, 则把人的前 进方向定为 L 的正向. 1. Stokes 定理: Th22.7 设光滑曲面 的边界 L 是按段光滑的连续曲线 . 若函数 、 和 在 ( 连同 L )上连续 ,且有一阶连续的偏 导数 , 则 . 其中 的侧与 L 的方向按右手法则确定 . 称该公式为 Stokes 公式 . 证 先证式 . 具体证明参阅 P292. Stokes 公式也记为 . 例 5 计算积分 , 其中 L 为平面 与各坐标平面的交线, 方向为: 从平面的上方往 下看为逆时针方向. P294
《数学分析》教案2.空间曲线上第二型曲线积分与路径无关性：空间单连通、复连通域Th22.5设S2CR3为空间单连通区域：若函数P(x,J,z)、Q(x,J,z)和R(x,y,z)在S2上连续，且有一阶连续的偏导数，则以下四个条件等价：i>对于内任一按段光滑的封闭曲线L，有Pdx+Qdy+Rdz=0；i》对于2内任一按段光滑的封闭曲线L，曲线积分f Pdx + Qay + Raz与路径无关；ii>Pdx+Qdy+Radz是S2内某一函数u的全微分；aP.agaQ.aRaRapiv>在S2内处处成立P294dzdyaxdzayax3.恰当微分的原函数：恰当微分的验证及原函数求法例6验证曲线积分{(y+z)dx+(z+x)dy+(x+y)az与路径无关，并P295求被积表达式的原函数u(x,y,z)- 10 -
《数学分析》教案 - 10 - 2. 空间曲线上第二型曲线积分与路径无关性: 空间单连通、复连通域. Th 22.5 设 R 为空间单连通区域 . 若函数 、 和 在 上连续, 且有一阶连续的偏导数 , 则以下四个条件等价: ⅰ> 对于 内任一按段光滑的封闭曲线 L , 有 ; ⅱ> 对于 内任一按段光滑的封闭曲线 L , 曲线积分 与路径无关; ⅲ> 是 内某一函数 的全微分; ⅳ> 在 内处处成立 . P294 3. 恰当微分的原函数: 恰当微分的验证及原函数求法. 例 6 验证曲线积分 与路径无关 , 并 求被积表达式的原函数 . P295