常微分方程教案第一章 论s1.1微分方程的概念与实例教学目的：了解常微分方程模型的一些例子，理解微分方程的基本概念教学重点：模型的建立、基本概念教学难点：模型的建立1.微分方程的一些例子在讨论问题的时候，需要知道变量间的函数关系。但对稍微复杂的问题，不能直接得到变量间的关系。有些时候可以得到变量及其导数的关系，即得到包含变量及其导数的等式---微分方程。通过求解微分方程、求近似解、分析解的性态等手段可以掌握变量的变化规律。下面先看建立微分方程的几个例子。例1：镭的衰变镭是一种放射性物质，其质量是时间t的函数，在时刻t镭的质量记为R(t)。已发现其裂变速度与它的现存量成正比，且已知t=0时，镭的质量为Ro，试确定在时刻t镭的质量R(t)。解：由于R(1)将随时间而减少，故镭的衰变速度些应为负值。于是，有dtdR - -kR, R(0)=Ro:dt其中 k为一正的比例常数.方程变形为=-kdt,，两边积分得了{-kdt,即 InR=-kt+c1,R即 R(t)=ce-。将条件 R(0)=Ro代入到上式得 c=Ro，所以 R(1)=Re-。例2：SIS型传染病模型假设总人口没有出生和死亡，从而总人口为常数N。当某种传染病存在时，总人口分为两部分：易感者和感染者，分别用S(t)和I(t)表示在时刻t易感者和感染者的数量。假设易感者与感染者接触后变为感染者，感染者经过治疗而恢复，但没有免疫力，从而变为易感者。-1
常微分方程教案 第一章 引论 §1.1 微分方程的概念与实例 教学目的： 了解常微分方程模型的一些例子，理解微分方程的基本概念 教学重点： 模型的建立、基本概念 教学难点： 模型的建立 - 1. 微分方程的一些例子 在讨论问题的时候，需要知道变量间的函数关系。但对稍微复杂的问题，不能直接 得到变量间的关系。有些时候可以得到变量及其导数的关系，即得到包含变量及其导数 的等式-微分方程。通过求解微分方程、求近似解、分析解的性态等手段可以掌握变量 的变化规律。下面先看建立微分方程的几个例子。 例 1：镭的衰变 镭是一种放射性物质，其质量是时间 t 的函数，在时刻 t 镭的质量记为 R(t)。已发 现其裂变速度与它的现存量成正比，且已知 t=0 时，镭的质量为 R0，试确定在时刻 t 镭 的质量 R(t)。 解：由于 R(t)将随时间而减少，故镭的衰变速度 dR dt 应为负值。于是，有 dR kR dt = − ，R(0)=R0. 其中 k 为一正的比例常数。方程变形为 dR kdt R = − ，两边积分得 dR kdt R = − ∫ ∫ ，即 lnR=-kt+c1， 即 () e kt Rt c − = 。将条件 R(0)=R0 代入到上式得 c=R0，所以 0 () e kt Rt R − = 。 例 2：SIS 型传染病模型 假设总人口没有出生和死亡，从而总人口为常数 N。当某种传染病存在时，总人口 分为两部分：易感者和感染者，分别用 S(t)和 I(t)表示在时刻 t 易感者和感染者的数量。 假设易感者与感染者接触后变为感染者，感染者经过治疗而恢复，但没有免疫力，从而 变为易感者。 - 1 -
常微分方程教案假设易感者和感染者均匀混合，任意两个人间的接触率为β(>0)，则单位时间内有BSC)易感者变为感染者。假设恢复率为(>0)，则单位时间内有2I()感染者变为易N感者。如图1.1。BSINS21图1.1SIS型传染病模型这样可以建立如下的SIS传染病模型L- I=(β - 2)I- BIFBSI-B(N-dtNNN例3：已知曲线上点P(x，y)处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分（图1.2)，求该曲线方程y=y(x)所满足的微分方程。图1.2解：曲线在点P(x,y)处的切线斜率为J，在该点处的法线斜率为因线段PQ中L_y-0_-1点位于y轴上，所以点Q的坐标为(-x,O)，于是有一，化简得微分方程yy+2x=0。x-(-x)2.微分方程基本概念一般说来，含有自变量、未知函数以及未知函数导数（或微分）的等式称为微分方程。如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程；如果未知函数与两个或更多个自变量有关，则称为偏微分方程。本课程所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分方程或方程。在一个常微分方程中，所包含的未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶。如果微分方程中未知函数和它的各阶导数都是线性的，则称为线性常微分方程，否- 2 -
常微分方程教案 假设易感者和感染者均匀混合，任意两个人间的接触率为 β(>0)，则单位时间内有 StIt () () N β 易感者变为感染者。假设恢复率为 λ(>0)，则单位时间内有 λI(t)感染者变为易 感者。如图 1.1。 图 1.1 SIS 型传染病模型 这样可以建立如下的 SIS 传染病模型 2 ( ) () . dI SI N I I I I II dt N N N β β β λ λ βλ − = −= −=− − 例 3：已知曲线上点 P(x, y)处的法线与 x 轴的交点为 Q，且线段 PQ 被 y 轴平分(图 1.2)，求该曲线方程 y=y(x)所满足的微分方程。 图 1.2 解：曲线在点 P(x, y)处的切线斜率为 y′，在该点处的法线斜率为 1 y − ′ ，因线段 PQ 中 点位于 y轴上，所以点 Q 的坐标为(-x, 0)，于是有 0 1 ( ) y x xy − − = − − ′ ，化简得微分方程 yy x ′ + = 2 0。 2. 微分方程基本概念 一般说来，含有自变量、未知函数以及未知函数导数(或微分)的等式称为微分方程。 如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程；如果未知函数与两个或 更多个自变量有关，则称为偏微分方程。本课程所介绍的都是常微分方程，有时就简称 微分方程或方程。 在一个常微分方程中，所包含的未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶。 如果微分方程中未知函数和它的各阶导数都是线性的，则称为线性常微分方程，否 S I λI - 2 -
常微分方程教案则称为非线性微分方程。线性方程的一般形式为d"-xdxd"x+a,(t)+a,-(t)+a,(t)x= f(t)din-1dt"dt例4:+ky=0(1)01L4xdxd'ydy=002(2)Unlxy+xy(dx?dxd'y.d'y(3)04L+3y=sinxxydx?dx4d'uduF(t,u,02?(4)u1mdt?dtOvOyP1(5)=Vvs, tasataua"u,o"u2P(6)=0ux, y,zax?0z2ay?n阶微分方程的一般形式为-dyd"y=0(1.1)F(x,y,dxdx"d"y其中，X是自变量，y是未知函数，F是已知函数且必须含有dx"如果能从(1.1)中解出便得到n阶显式微分方程dx"dyd-lyd"y=f(x,y,drn-1dx"dx"(1.1)也称为隐式微分方程。设函数y=o(x)在区间I上连续，且有直到n阶的导数，如果把y=(x)、=(x)、…=g((x)代入方程(1.1)，使得它成为区间1上恒等式dxdx"F(x,p(x),g((x),.., g(m)(x))=0则称y=(x)为方程(1.1)在区间1上的一个解。例5：y=e*是++hy=0在(-8,+)上的解，y=tanx是y'=1+在(-号)上的dx2解。如果由F(x,y)=0确定的隐函数y=p(x)是方程(1.1)的解，则称 F(x,y)=0是(1.1)的隐式解。-3 -
常微分方程教案 则称为非线性微分方程。线性方程的一般形式为 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 a t x f t dt dx a t dt d x a t dt d x n n n n n n + + + − + = − − 例 4： (1) + ky = 0 dx dy y x O 1 L (2) ( ) 0 2 2 2 + = dx dy xy dx d y y x O 2 Unl (3) y x dx d y dx d y 5 3 sin 2 2 4 4 + + = y x O 4 L (4) ( , , ) 2 2 dt du F t u dt d u m = u t O 2 ? (5) v t v s v = ∂ ∂ + ∂ ∂ v s, t P 1 (6) 0 2 2 2 2 2 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z u y u x u u x, y, z P 2 n 阶微分方程的一般形式为 ( , , , ) = 0 n n dx d y dx dy F x y (1.1) 其中，x 是自变量，y 是未知函数，F 是已知函数且必须含有 n n dx d y 。 如果能从(1.1)中解出 n n dx d y ，便得到 n 阶显式微分方程 1 1 (, , , ) n n n n d y dy d y f xy dx dx dx − − = (1.1)也称为隐式微分方程。 设函数 y = ϕ(x) 在区间 I 上连续，且有直到 n 阶的导数 ， 如果把 y = ϕ(x) 、 ( ) (1) x dx dy = ϕ 、.、 ( ) ( ) x dx d y n n n = ϕ 代入方程(1.1)，使得它成为区间 I 上恒等式 F(x,ϕ(x), ( ), , ϕ(1) x ( ) ( ) x n ϕ ) ≡ 0 则称 y = ϕ(x) 为方程(1.1)在区间 I 上的一个解。 例 5：y = e-kx 是 + ky = 0 dx dy 在 (−∞, + ∞) 上的解， y = tan x是 2 y′ = 1+ y 在 ) 2 , 2 ( π π − 上的 解。 如果由 F(x, y) = 0 确定的隐函数 y = ϕ(x) 是方程(1.1)的解，则称 F(x, y) = 0 是(1.1) 的隐式解。 - 3 -
常微分方程教案例6：隐函数x2+y2-c=0是方程xdx+ydy=0的隐式解。对于函数y=(x,CjC2,，cn)，其中c1,C2，cn是任意常数，若存在点(x,C1,C2…cn)的一个邻域，在其内有apaapac,Oc2ac,pap'Op0ac,ac,ac,Op(n-l)Op(n-1)ag(n-1)ac,Oc2Oc,则称y=(,ccc）含有n个相互独立的任意常数1,c2…Cn，其中()dxkn阶常微分方程(1.1)的含有n个相互独立任意常数ci，C2，.…，Cn的解y=(x,c,C2，"",c,)称为该方程的通解，如果方程(1.1)的解y=p(x)不包含任意常数，则称它为特解。例7：y=cicosx+C2sinx是方程y"+y=0的通解，y=cicosx+c2cosx不是方程"+y=0的通解，y=cosx,y=sinx,y=cosx+sinx都是方程y"+y=0的特解。若想得到特解，需要先得到通解再确定通解中的任意常数。在确定通解中任意常数的时候，需要微分方程满足一定的条件。通常的条件为初始条件，即指定未知函数在自变量为Xo时满足的条件d"y(x0) = y(a-l)dxo) = yo., d(1.2)y(xo) = yo,dxdx"-方程(1.1)和初始条件(1.2)放在一起称为初值问题，写为[F(x,y,y',..,y(n)=0y(xo)= yoy'(xo) = yoJ(n-)(0)= yon-1)例8：下面为两个初值问题{dR=-kR,["+2"+3y+4y=5dt[y(1) = 1, y'(1) = 0, y"(1) = 0[R(0) = R。4
常微分方程教案 例 6：隐函数 x2 + y2 – c = 0 是方程 xdx +ydy=0 的隐式解。 对于函数 ( , , , , ) 1 2 n y = ϕ x c c c ，其中 c1，c2，.，cn 是任意常数，若存在点(x, c1, c2, ., cn)的一个邻域，在其内有 0 ( 1) 2 ( 1) 1 ( 1) 1 2 1 2 ≠ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ′ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − − − n n n n n n c c c c c c c c c ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ 则称 ( , , , , ) 1 2 n y = ϕ x c c c 含有 n 个相互独立的任意常数 c1，c2，.，cn，其中 k k k dx d ϕ ϕ = ( ) 。 n 阶常微分方程 (1.1) 的含有 n 个 相 互 独立任意常数 c1 ， c2 ， . ， cn 的 解 ( , , , , ) 1 2 n y = ϕ x c c c 称为该方程的通解，如果方程(1.1)的解 y x =ϕ( ) 不包含任意常数，则 称它为特解。 例 7：y = c1cosx + c2sinx 是方程 y′′ + y = 0的通解，y = c1cosx + c2cosx 不是方程 y′′ + y = 0的通解，y = cosx, y = sinx, y = cosx + sinx 都是方程 y′′ + y = 0的特解。 若想得到特解，需要先得到通解再确定通解中的任意常数。在确定通解中任意常数 的时候，需要微分方程满足一定的条件。通常的条件为初始条件，即指定未知函数在自 变量为 x0 时满足的条件 0 0 y(x ) = y , , ( ) 1 0 0 y dx dy x = , ( 1) 1 0 0 1 ( ) − − − = n n n y dx d y x (1.2) 方程(1.1)和初始条件(1.2)放在一起称为初值问题，写为 = ′ = = ′ = − ( −1) 0 0 ( 1) 1 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( , , , , ) 0 n n n y x y y x y y x y F x y y y 例 8：下面为两个初值问题 = = − 0 R(0) R kR dt dR ， = ′ = ′′ = ′′′ + ′′ + ′ + = (1) 1, (1) 0, (1) 0 2 3 4 5 y y y y y y y - 4 -
常微分方程教案s1.2解的存在唯一性定理教学目的：理解解的存在唯一性定理，会求Picard迭代序列教学重点：解的存在唯一性定理及证明思路，构造Picard迭代序列教学难点：解的存在唯一性定理考虑初值问题=f(x,y)。 (x)=o(1.3)dx其中f是给定的x、y的函数。往往不能求出(1.3)的解，这就需要求它的近似解或通过理论研究解的性态。这都要求(1.3)的解存在并且唯一，因为如果解不存在，那么去求近似解或分析解的性态就没有意义，如果解不唯一，那么求出来的近似解和那个解近似呢？得到的解的性态又是哪个解的呢？这节来介绍(1.3)的解的存在唯一性定理。考虑矩形区域R=(x,y)x-x≤a,y-0，使得对任意的(x,y), (x,y,)eR都有f(x,J)-f(x,y2)<L-y,则称f(x,y)在R上关于y满足Lipschitz条件,L称为Lipschitz常数。定理1(解的存在唯一性定理)：如果f(x,y)在R上连续且关于变量y满足Lipschitzb条件，则初值问题（1.3)在区间x-x≤h上存在唯一解，其中h=mina,MM = maxf(x, y)。不证明该定理，只给出证明思路。1. 在崇= (x,)两侧同时从 xo 到 x 对 x 积分得dx[" dy(x)= " f(x, 以(x)dx 即 " dy(s)= " f(s, (s)ds所以有J(x) = yo +f f(s, y(s)ds(1.4)-5
常微分方程教案 §1.2 解的存在唯一性定理 教学目的： 理解解的存在唯一性定理，会求 Picard 迭代序列 教学重点： 解的存在唯一性定理及证明思路，构造 Picard 迭代序列 教学难点： 解的存在唯一性定理 - 考虑初值问题 0 0 f (x, y), y(x ) y dx dy = = (1.3) 其中 f 是给定的 x、y 的函数。往往不能求出(1.3)的解，这就需要求它的近似解或通过理 论研究解的性态。这都要求(1.3)的解存在并且唯一，因为如果解不存在，那么去求近似 解或分析解的性态就没有意义，如果解不唯一，那么求出来的近似解和那个解近似呢？ 得到的解的性态又是哪个解的呢？ 这节来介绍(1.3)的解的存在唯一性定理。 考虑矩形区域 R = {(x, y) x − x0 ≤ a, y − y0 ≤ b}，如果存在常数 L>0，使得对任意的 (x, y1 ), (x, y2 ) ∈ R都有 1 2 12 f x y f x y Ly y (, ) (, ) − ≤− ，则称 f(x, y)在 R 上关于 y 满足 Lipschitz 条件， L 称为 Lipschitz 常数。 定理 1(解的存在唯一性定理)：如果 f(x, y)在 R 上连续且关于变量 y 满足 Lipschitz 条件，则初值问题 (1.3) 在区间 x − x0 ≤ h 上存在唯一解 ，其中 = M b h min a, ， max ( , ) ( , ) M f x y x y ∈R = 。 不证明该定理，只给出证明思路。 1. 在 f (x, y) dx dy = 两侧同时从 x0 到 x 对 x 积分得 0 0 ( ) ( , ( )) x x x x dy x f x y x dx = ∫ ∫ 即 0 0 ( ) ( , ( )) x x x x dy s f s y s ds = ∫ ∫ 所以有 ∫ = + x x y x y f s y s ds 0 ( ) ( , ( )) 0 (1.4) - 5 -
常微分方程教案兴-(x,)，在(1.4)中取x=xo得y(xo)-yo，所以(1.3)与(1.4)等价。对(1.4)求导得dx2.构造函数序列P(x)= yop(x)= y + " f(s, Po(s)dsP(x)= yo + " (s,g(s)ds,(x)= y + " f(s,Pn-1(s)ds函数序列(e,(x))称为Picard选代序列。3.证明(g,(x)一致收敛到p(x)。4.证明p(x)是(1.4)的解。5.证明(1.4)的解唯一。注：1.在定理1中验证Lipschitz条件成立比较困难，因此用较强但容易验证的条件来代替：f(x，y)在R上关于y有连续一阶偏导数。事实上，如果f(x，y)在R上连续，则f,(x,y)在R上有界，设f,(x,)≤L。则由中值定理得到[f(x,y)-f(x, y2)=f,(x, y2 +0(y-y2)yi-y2/即aMa在x-a≤x≤x。+α范围内有定义，因为在此范围内解可能跑出区域R，定理1的条件不bb再成立。此时，只有在x。范围内才能保证解y=(x)在区域R内。所以≤x≤x.MM解的存在范围为x-x<h。5
常微分方程教案 对(1.4)求导得 (, ) dy f xy dx = ，在(1.4)中取 x=x0 得 y(x0)=y0，所以(1.3)与(1.4)等价。 2. 构造函数序列 0 0 ϕ (x) = y x y f s s ds x x ( ) ( , ( )) 0 ϕ1 = 0 + ∫ ϕ0 x y f s s ds x x ( ) ( , ( )) 0 ϕ2 = 0 + ∫ ϕ1 . x y f s s ds x x n n ( ) ( , ( )) 0 ϕ = 0 + ∫ ϕ −1 . 函数序列{ϕn (x)}称为 Picard 迭代序列。 3. 证明{ϕn (x)}一致收敛到ϕ(x) 。 4. 证明ϕ(x) 是(1.4)的解。 5. 证明(1.4)的解唯一。 注：1. 在定理 1 中验证 Lipschitz 条件成立比较困难，因此用较强但容易验证的条 件来代替：f(x, y)在 R 上关于 y 有连续一阶偏导数。事实上，如果 fy(x, y)在 R 上连续， 则 fy(x, y)在 R 上有界，设 f y (x, y) ≤ L 。则由中值定理得到 1 2 2 12 12 12 ( , ) ( , ) ( , ( )) y f xy f xy f xy y y y y Ly y − = + − −≤ − θ 2. 定理 1 中 = M h h min a, 的几何意义。在 R 上有 f (x, y) ≤ M ，所以(1.3)的解曲线 的斜率介于-M 与 M 之间。(1.3)的解过(x0, y0)，所以(1.3)的解曲线位于直线 y = y0 + M(t – t0)和 y = y0 - M(t – t0)之间。当 a b M ≤ 即 M b h = a ≤ 时(图 1.3 左图)，解 y = ϕ(x) 在 x0 − a ≤ x ≤ x + a 范围内有定义。当 a b M > 即 b a h M > = 时(图 1.3 右图)，不能保证解 y = ϕ(x) 在 x − a ≤ x ≤ x + a 0 0 范围内有定义，因为在此范围内解可能跑出区域 R，定理 1 的条件不 再成立。此时，只有在 M b x x M b x0 − ≤ ≤ 0 + 范围内才能保证解 y = ϕ(x) 在区域 R 内。所以 解的存在范围为 x − x0 ≤ h。 - 6 -
常微分方程教案Yo+bYo+bYoYo+bYo+bXo+aXo+aXo+aXo+aXo图1.3定理1中h的几何意义3.定理1只是在很小的范围内给出了解的存在唯一性，很多时候可以反复使用定理1将解存在唯一的范围延拓到较大的区间。下面说明如何将解的存在区间向右侧延拓，向左侧延拓类似。初值问题(1.3)的解y=(p(x)的存在区间为[xo-h,Xo+h]。设解曲线y=p(x)的右端点为 P(x1, yl)，其中 xI=x0+h。考虑初值问题雲=(x,),(x)=，设其解为dxy=(x)且存在区间为[xi-hi,xi+hi]。因为解曲线y=(x)与=(x)都过点Pi(x1,yi)，即两个解满足同一初始条件(x)=(x)=，根据解的存在与唯一性定理，解y=(x)与y=(x)在区间[xo-h,xo+h]和区间[xi-hi,Xi+hi]的公共部分上相同。这样，解曲线y=(p(x)的右端点就由P,延拓到P2(x2,y2)了，其中X2=xi+h1，解的存在区间由原来的[xo-h,Xo+h]扩展到[xo-h,xi+hi]。如此继续进行下去可将解存在唯一的范围向右延拓到较大的区间。例1：求初值问题崇=2(+),(0)=0的解。dx解：初值问题等价于积分方程y(x)=2s(1+y(s)ds。所以Picard迭代序列为Jo(x)=0(x) = "2 sds = xa()=°2s(1+s)ds= x2 +21(n)=L,25(1+s+号)ds=x*+号+号212!3!=+++*(n)=2s(+s ++)2334!2!
常微分方程教案 图 1.3 定理 1 中 h 的几何意义 3. 定理 1 只是在很小的范围内给出了解的存在唯一性，很多时候可以反复使用定理 1 将解存在唯一的范围延拓到较大的区间。下面说明如何将解的存在区间向右侧延拓， 向左侧延拓类似。初值问题(1.3)的解 y = ϕ(x) 的存在区间为[x0-h, x0+h]。设解曲线 y = ϕ(x) 的右端点为 P1(x1, y1)，其中 x1=x0+h。考虑初值问题 1 1 ( , ), ( ) dy f xy yx y dx = = ，设其解为 1 y x =ϕ ( )且存在区间为[x1-h1, x1+h1]。因为解曲线 y = ϕ(x) 与 1 y x =ϕ ( )都过点 P1(x1, y1)，即 两个解满足同一初始条件 11 1 ϕ ϕ ( ) () x xy = = ，根据解的存在与唯一性定理，解 y = ϕ(x) 与 1 y x =ϕ ( )在区间[x0-h, x0+h]和区间[x1-h1, x1+h1]的公共部分上相同。这样，解曲线 y = ϕ(x) 的右端点就由 P1 延拓到 P2(x2, y2)了，其中 x2=x1+h1，解的存在区间由原来的[x0-h, x0+h] 扩展到[x0-h, x1+h1]。如此继续进行下去可将解存在唯一的范围向右延拓到较大的区间。 例 1：求初值问题 2 (1 ), (0) 0 dy x yy dx =+ = 的解。 解：初值问题等价于积分方程 y x s y s ds x ( ) 2 (1 ( )) ∫0 = + 。所以 Picard 迭代序列为 y0 (x) = 0 ∫ = = x y x sds x 0 2 1 ( ) 2 2! ( ) 2 (1 ) 4 0 2 2 2 x y x s s ds x x = + = + ∫ 2! 3! ) 2! ( ) 2 (1 4 6 0 2 4 2 3 x x ds x s y x s s x = + + = + + ∫ 2! 3! 4! ) 2! 3! ( ) 2 (1 4 6 8 0 2 4 6 2 4 x x x ds x s s y x s s x = + + + = + + + ∫ . y0+b y0 y0+b x0+a x0 x0+a y0+b y0 y0+b x0+a x0 x0+a - 7 -
常微分方程教案+2(x)=x+共+兰+...+213!n!+++..所以limy,(x)=e-1，初值问题的解为y=e-1。-8-
常微分方程教案 2! 3! ! ( ) 4 6 2 2 n x x x y x x n n = + + ++ . 所以 lim ( ) 1 2 = − →∞ x n n y x e ，初值问题的解为 1 2 = − x y e 。 - 8 -
常微分方程教案第二章一阶微分方程2.1线性方程教学目的：了解线性方程、伯努利方程的定义能熟练求解线性方程、伯努利方程教学重点：线性方程、伯努利方程的解法教学难点：常数变易法实际上，能求解的微分方程很少，这一章介绍几种可以求解的一阶微分方程类型及其解法。最简单的微分方程为dy = g(x)(2.1)dx求解(2.1)就是寻找g(x)的原函数y，由不定积分的定义有y=[g(x)dx+c这里c是任意常数，「g(x)dx表示g(x)的一个原函数。形如+p(t)y=g()(2.2)dx的方程称为一阶线性方程，其中未知函数y及其导数y都是线性的。当g(x)=0时，(2.2)变为+p(x)y=0(2.3)dx称为线性齐次方程。相应地，当g(x)#0时，(2.2)称为线性非齐次方程。1.线性齐次方程线性齐次方程(2.3)等号左侧类似于两个函数乘积的导数，但一般不是。如果在(2.3)两侧同乘J)(为什么？），则(2.3)变为ye/()+yp(x)e/)=0，即(ve/a)=0，所 p()=c,即以 v-9
常微分方程教案 第二章 一阶微分方程 §2.1 线性方程 教学目的： 了解线性方程、伯努利方程的定义 能熟练求解线性方程、伯努利方程 教学重点： 线性方程、伯努利方程的解法 教学难点： 常数变易法 - 实际上，能求解的微分方程很少，这一章介绍几种可以求解的一阶微分方程类型及 其解法。最简单的微分方程为 g(x) dx dy = (2.1) 求解(2.1)就是寻找 g(x)的原函数 y，由不定积分的定义有 ∫ y = g(x)dx + c 这里 c 是任意常数， ∫ g(x)dx 表示 g(x)的一个原函数。 形如 ( ) ( ) dy pxy gx dx + = (2.2) 的方程称为一阶线性方程，其中未知函数 y 及其导数 y′都是线性的。当 g(x)=0 时，(2.2) 变为 () 0 dy pxy dx + = (2.3) 称为线性齐次方程。相应地，当 g(x)≠0 时，(2.2)称为线性非齐次方程。 1. 线性齐次方程 线性齐次方程(2.3)等号左侧类似于两个函数乘积的导数，但一般不是。如果在(2.3) 两侧同乘 ∫ p x dx e ( ) (为什么？)，则(2.3)变为 ( ) 0 ( ) ( ) = ∫ + ∫ ′ p x dx p x dx y e yp x e ，即 ( ) ( )0 p x dx ye∫ ′ = ，所 以 p x dx ( ) ye c ∫ = ，即 - 9 -
常微分方程教案p(x)ds(2.4)这是(2.3)的通解。这里「p(x)dx只表示p(x)的一个原函数，不是不定积分。可以利用前面的过程或公式(2.4)求解线性齐次方程。例1：解方程+y=0。解1：这里p(x)=1，所以通解为v=ce-Jidce-解2：这里p(x)=1，所以。Jp()d=eJid=e，方程等号两边同乘e*得y'e*+ye=0，即(ye')'=0，所以ye*=c，所以y=cex。dy+ylnx=0dx例2：求解初值问题[y(1) = 1dy,InxV=0先将方程变成标准形式dxX[(y(1) =1解1:这里 p(x)=,所以通解为y=cn-dx-(nx，由初始条件y(1)=1得c=1,ceX(nx)2所以解2：这里p(t)=，所以 [e()2inx)，方程等号两侧同乘。(nx）得dInx.lnx(Inx)2Inx))=0，所以c，所以y，与前面一0，即ve=ce样得到 c=1。2.线性非齐次方程求解非齐次线性方程（2.2)有两种方法，第一种方法与求解(2.3)的方法类似。在(2.2)等号两边同乘 J)得到等价方程[y+p(x)yJela)=g(x)el a)，即(yel y=g()ele)，所以yele()=c+Jg(x)eJ)dx，所以通解为y=/)(+g()e da)(2.5)- 10 -
常微分方程教案 ∫ = − p x dx y ce ( ) (2.4) 这是(2.3)的通解。 这里 ∫ p(x)dx 只表示 p(x)的一个原函数，不是不定积分。可以利用前面的过程或公 式(2.4)求解线性齐次方程。 例 1：解方程 y′ + y = 0 。 解 1：这里 p(x)=1，所以通解为 x dx y ce ce− − = ∫ = 1 。 解 2：这里 p(x)=1，所以 x p x dx dx e e = e ∫ = ∫ ( ) 1 ，方程等号两边同乘 ex 得 ′ + = 0 x x y e ye ， 即 ( )0 x ye ′ = ，所以 yex = c，所以 y = ce-x 。 例 2：求解初值问题 = + = (1) 1 ln 0 y y x dx dy x 。 先将方程变成标准形式 ln 0 (1) 1 dy x y dx x y + = = 。 解 1：这里 x x p x ln ( ) = ，所以通解为 2 ln 1 (ln ) 2 x dx x x y ce ce − − ∫ = = ，由初始条件 y(1) = 1 得 c=1， 所以 2 (ln ) 2 1 x y e − = 。 解 2：这里 x x p x ln ( ) = ，所以 2 (ln ) 2 ln 1 ( ) dx x x x p x dx e e = e ∫ = ∫ ，方程等号两侧同乘 2 (ln ) 2 1 x e 得 2 (ln ) 2 1 x y′e + 0 ln 2 (ln ) 2 1 = x e x x y ，即 ( ) 0 2 (ln ) 2 1 ′ = x ye ，所以 ye c x = 2 (ln ) 2 1 ，所以 2 (ln ) 2 1 x y ce− = ，与前面一 样得到 c=1。 2. 线性非齐次方程 求解非齐次线性方程(2.2)有两种方法，第一种方法与求解(2.3)的方法类似。 在 (2.2) 等号两边同乘 ∫ p x dx e ( ) 得到等价方程 ∫ = ∫ ′ + p x dx p x dx y p x y e g x e ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) ， 即 ∫ ′ = ∫ p x dx p x dx ye g x e ( ) ( ) ( ) ( ) ，所以 ye c g x e dx p x dx p x dx ∫ ∫ = + ∫ ( ) ( ) ( ) ，所以通解为 y= ( ( ) ) ( ) ( ) e c g x e dx p x dx p x dx ∫ ∫ + ∫ − (2.5) - 10 -