《复变函数论》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 复变函数的积分 3.1 复变函数的积分

第三章 复变函数的积分 §3.1 复变函数的积分 §3.2 柯西积分定理 §3.3 柯西积分公式 §3.4 解析函数的高阶导数

§3.1复变函数的积分 一、复变函数积分的定义 定义 3.1 设函数  = f z( ) 在C上连续，C为复平面上 以A为起点B为终点的有向光滑(或逐段光滑)曲线， O x y A B 将C任意分成 n 个弧段，设分点为： 0 z 1 z 2 z k 1 z − k z n z 0 1 2 1 , , , , , k k n z z z z z z A = − = B 在每个弧段 k k 1 z z − 上任取一点 , k  k  作和 1 1 ( )( ) n n k k k k s f z z  − = = −  1 ( ) n k k k f z  = =  

其中 1 , k k k z z z  = − − 记 k k k 1 s z z  为 − 的弧长，若不论 对C的分法如何，  k 取法如何，   1 max k k n  s   只要 =  → 0 n s 都有相同的极限，则称此极限为f (z)在C上的积分 记为 ( ) , c f z dz  即 0 1 ( )d lim ( ) n k k C k f z z f z   → =  =   若C为闭曲线时，记为 ( )d c f z z 

二、积分的存在性及其计算 定理3.1 设函数 f z u x y v x y ( ) ( , ) i ( , ) = + 在逐段 光滑的曲线C上连续，则 f (z)在C上的积分存在， ( ) i c c c f z dz udx vdy vdx udy = − + +    证明 将曲线 C 任意分成 n 个弧段， 设分点为 i ( 0,1, , ) k k k z x y k n = + = 则 1 i k k k k k z z z x y  = − =  +  − 在每个弧段上任意取点 i ( 1,2, , ), k k k    = + = k n 并记λ为n 个弧段长度的最大值，则

( ) 0 1 lim n k k k f z   → =    ( ) ( )   0 1 lim , , n k k k k k k k u iv x i y      → = = +   +      ( ) ( ) 0 1 lim , , n k k k k k k k u x v y      → =  =  −         第二类曲线积分)， 由 f (z)的连续性知，u(x , y) 、v(x , y)也是连续的， 这样上述等式右边的两个和式的极限存在（正好是 从而左边极限也存在，此即为 ( )d , c f z z  ( ) ( ) 1 i , , n k k k k k k k v x u y     =  +  +        所以 ( ) c c c f z dz udx vdy i vdx udy = − + +   

2 设曲线C的方程为 z t x t y t a t b ( ) ( ) i ( ) ( ), = +   则 即有 ( ) c f z dz  i ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) d  ( ) ( )  b a + + v x t y t x t u x t y t y t t    [ ( )] ( )d b a = f z t z t t    ( ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) d ) ( )  b a = − u x t y t x t v x t y t y t t     i ( ), ( ) ( ) i ( ) d ( )  b a = + + u v x t y t x t y t t    ( ) c f z dz  [ ( )]d ( ) b a = f z t z t  [ ( )] ( )d b a = f z t z t t  

复变函数的积分与线积分性质类似： 1) ( ) ( ) c c f z dz f z dz = − −   2)  c k f (z)dz = k  c f (z)dz,为常数    f z  g z dz = f z dz  g z dz c c c 3) [ ( ) ( )] ( ) ( ) 1 2 4) ( ) ( ) ( ) c c c f z dz f z dz f z dz = +    1 2 其中 c = c + c 三、复积分的基本性质 5)若曲线c的长度为L，函数 f (z)在c上满足 | f (z)| M, 则 | ( ) | | ( ) | c c f z dz f z ds ML    

其中C为 2）左半单位圆； 解：1） C的参数方程 z t t = −   i, 1 1 1 1 1 0 | | d | | id 2i d i c z z t t t t −  = = =    2）C的参数方程 i 3 e , 2 2 z     − =   3 2 i 2 | | e ( i)d c z dz     −  = −   1）线段  例1 i −i −i O x O y x i −i i O x y −i 3）右半单位圆。 计算从 i i | | d 的值, c   = − = z z 到 积分 3）C的参数方程 i e , 2 2 z    = −    2 i 2 | | e (i)d c z dz     −  =   3 2 i 2 e    − = = 2i 2 i 2 e   − = = 2i

例2 计算  − +1 0 ( ) c n z z dz r 为半径的正向的圆周，n为整数。 解 i c z = z + re 0 : 0   2   dz ire d i = i z − z = re 0 2 i 0 1 e di n n r    − =  0 其中c为以 z 为中心， 1 0 ( ) c n dz z z + −  2 1 0 i ( ) i i n re d re     + =  2 i 0 d i ( e )n r    =  2 0 0 0 i n n   = =   

例3 计算积分 1） 2） 其中c为单位圆上半圆周正向。 解：1）  (z −1)| dz|; c  | z −1|| dz| c i c :z = e 0     dz ie d i = | dz|= d  − =  − = −   (z 1)| dz| 0 (e 1)d 2i  i c 4 2 2sin | 1|| | | 1| 0 0 =  =  − =  −       d z dz e d i 2） c