一、复变函数导数与微分 是邻域内任意一点， 设函数 在点 的某邻域内有定义 z z w f z z , + = 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 有限值 ，如果 A z f z z f z z w w f z z f z z z = + − = = + − → → 0 0 0 导数，记为 ，即 则称函数 在 处可导， 称为函数 在 处的 '( ) ( ) ( ) f z f z z A f z z z f z z f z f z z ( ) ( ) '( ) lim 0 0 0 0 + − = → 定义2.1
'( ) (| |) ( z 0) 由此可得w = f z0 z + o z → ( ) d f (z ) f (z )d z f z z f z z f z z 0 0 0 0 0 '( ) ( ) = 在 处可微。记 作 称 为函数 在 处的微分，也称函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f (z) z . z w ( ) z f z z f z z ; f z z f z z ; Δz 当 时， 的极限不存在，称 在 不可导 若 在 处可导，则 在 处连续 在 可导与 在 可微等价 0 0 0 0 0 4 0 3 2 → (1) 按任意方式趋于零； 说明：
例1 证 明 f (z) = Re z在复平面上的任何点都 不可导. z Re( z z ) Re( z ) z f z + − = 0 0 证明 对于复平面上任意一点 0 x i y x x x + + − = x i y x + = → → z , f z ; z , f z ; 0 0 0 1 当 取纯虚数趋于 时 当 取实数趋于 时 . z f lim z 不存在 →0 ( ) ( ) . f z z z f z 任何点都不可导 即 在 0 不可导，由于 0 的任意性， 在复平面上 注意：f (z )在整个复平面上处处连续
二、解析函数的概念与求导法则 称 为 的奇点。 则称 在 处解析如果 在 不解析，则 如果 在 及 的某邻域内处处可导， ( ) ( ) . ( ) ( ) 0 0 0 0 0 z f z f z z f z z f z z z D f (z) D . f (z ) D f (z ) 在 内解析，我们也说 是 内解析函数 如 果 在区域 内处处解析，则称 G, f (z ) D . f (z ) G D 一点都属于 那么称 在闭区域 上解析 如 果 在区域 内解析，而闭区域上 每 定义2.2 1、解析函数的概念
注1 “解析”有时也称“全纯” 、 “正则” . 注2 函数解析性不是函数在一个孤立点的性质， 而是函数在一个区域上的性质. 注3 若函数在一点解析，则一定在这个点可导，反 之，在一个点的可导不能得到在这个点解析. 但函数在区域内解析与在区域内处处可导是等 价的. 注4 闭区域上的解析函数是指在包含这个闭区 域的一个更大的区域内解析
（1）四则运算法则 如 果f (z)和g(z)在区域D内解析,则 ( ) ( ) 并且有 ( g(z ) )在区域D内解析， g z f z f (z ) g(z ) , f (z )g(z ) , 0 ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) '( ) '( ) f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z = + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g (z) f z g z f z g z g z f z 2 − = 2、求导法则
（2）复合函数求导法则 在区域 内解析，又 ， 设函数 在区域 内解析，函数 w g( ) G f ( D ) G( f ( D ) ) f (z ) D = = h'(z) = [g( f (z))]'= g'( f (z))f '(z) 并且有： 则复合函数w = g( f (z ) ) = h(z )在区域D内解析
（3）反函数求导法则 且 ，又反函数 设函数 在区域 内解析， 0 = f'(z ) w f (z ) D '( ( )) 1 '( ) 1 '( ) ( ) f z f w w z w = = = 则有： z = f −1 ( w ) = ( w )存在且为连续
三、函数解析的一个充分必要条件 (1) u(x, y)和v(x, y)在点(x, y)处可微， 程（简称 方程）： 和 在点 处满足柯西 黎曼方 C R u x y v x y x y − (2) ( , ) ( , ) ( , ) - x v y u y v x u = = − 那 么 在 点 可微的必要与充分条件是 设函数 在区域 内有定义， f z z x iy D f z u x y iv x y D = + = + ( ) ( ) ( , ) ( , ) 定理2.1
证明（必要性） 则 有 设f (z)在z = x + i y处可导，记作f '(z) = a + i b， ( )( ) (| |) ( ) ( ) ( ) (| |) a ib x i y o z f z z f z a ib z o z = + + + + − = + + 和虚部整理得： 其 中f (z + z )− f (z ) = u + iv，按实部