第二章 解析函数 解析函数是复变函数研究的主要对象 1 介绍复变函数导数概念和求导法则 2 讲解解析函数的概念及其判别法，阐明 解析与可导的关系 3 介绍一些常用的初等函数，说明它们的 解析性
§2.1 解析函数的概念 一、复变函数的导数 1导数的定义 设函数 = f z( ) 在开区域D内有定义 0 z z z = + 是D内任一点，令 0 0 = + − f z z f z ( ) ( ) 如果 ( 0 0 ) ( ) 0 0 lim lim z z f z z f z z z → → + − = f z( ) 在 0 z 处可导，A 为 f z( ) 在 0 z 处的导数 f z ( 0 )或 0 z z d dz = 0 z D , 定义1 存在，记作A 称 记作：
即 (2.1) 或写成微分形式 = + → f z z o z z ( 0 ) ( ) ( 0) ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) lim z f z z f z f z z → + − = (2.2) df z f z z ( 0 0 ) = ( ) ( ) 0 为f z z 在 处的微分 故也称 ( ) 0 f z z 在 处可微。 则称 如果 f z( ) 在区域D内处处可导（可微）， f z( ) 在D内可导（可微）
例1 n 求函数 f (z) = z （ n 为正整数）的导数。 解 因为 ( ) ( ) 0 lim z f z z f z z → + − ( ) 0 lim n n z z z z z → + − = ( ) 1 2 0 1 lim 2 ! n n z n n nz z z − − → − = + + n 1 nz − = 所以 ( ) n 1 f z nz − =
例2 证明 f z z ( ) Re = 在全平面处处不可导。 证明 0 因为对任意一点 z ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 f z f z z z Re Re z z Re z z z z z z − − − = = − − − 分别考虑直线 Re Re 0 z z = 及直线 0 Im Im z z = 在前一直线上，上式恒等于0；在后一直线 上，上式恒等于1。 0 故当 z z → 时，上式没 有极限，即 f z( ) 0 在 z 处没有导数。由于 0 z 的任意性，f z( ) 在全平面处处没有导数
2 可导与连续 定理1 证明 f z( ) 在 0 z 处可导,则 f z( ) 在 0 若 z 处连续。 f z( ) 在 0 z 处可导，对于任意的 0, 存在 0, 使得当 0 z 时，有 ( ) ( ) 0 0 0 f z z f z ( ) f z z + − − ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f z z f z z f z z + − = − 令 ( ) 0 lim 0 z z → 则 = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 由 f z z f z f z z z z + − = + ( ) ( ) 0 0 0 lim z f z z f z → 有 + = 即 f z( ) 在 0 z 处连续
3 求导法则 1 (c) 0 = (c为复常数) 2 cf z cf z ( ) ( ) = (c为复常数) 3 f z g z f z g z ( ) ( ) ( ) ( ) = 4 f z g z f z g z f z g z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 f z f z g z f z g z g z g z − = ( ( ) 0) g z 6 f g z f g z f g z g z ( ) () ( ) ( ) ( ) = = ( = g z( )) 7 当 = = f z z h ( )与 ( ) 是两个互为反函数的 单值函数，且h() 0时， ( ) ( ) 1 f z h =
例3 (1)利用法则6，得： 1 2 0 1 1 ( ) ( 1) n n n f z a nz a n z a − − − = + − + + 例4 ( ) ( ) 3 2 (1) 4 6 , 已知f z z z = − + 求f (0)； (2) , 已知f z z ( ) = n 求f (z)； 解 ( ) ( ) ( ) 2 2 f z z z z = − + − 3 4 6 2 4 利用法则1,2,3，得： ( ) ( ) ( ) 2 0 0 3 6 4 432 z f f z = 从而 = = − = − (2) ( ) z n f z = = ( ), n 的反函数为 z h = = 由法则7，得： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 n 1 1 1 1 n n n n f z z h n n z − − = = = = = 1 0 1 1 ( ) n n n n f z a z a z a z a − 求 = + + + + − 的导函数。 解
4 函数可导的条件 定理2(Cauchy—Riemann) 设f z u x y iv x y ( ) = + ( , , ) ( ) 在区域D内有定义， 且在z x iy D = + 可导，则 ( , , ( , ) ( , ) , , , , ) u u v v u x y v x y x y x y x y 在点 存在偏导数 且满足方程 u v x y u v y x = = − 此时， f z z ( )在点 的导数可写成 ( ) u v v u f z i i x x y y = + = − C-R(Cauchy—Riemann)条件) (2.3) (2.4)
证明： 由于f z z ( )在点 可导， 则依任何方式 →z 0都有 ( ) 0 lim z f z z → = 其中 = + z x i y, = + − = + f z z f z u i v ( ) ( ) = + + − u u x x y y u x y ( , , ) ( ) = + + − v v x x y y v x y ( , , ) ( ) 不妨先让 z 沿实轴趋于零，则 ( ) 0 lim z f z z → = 0 0 0 0 lim lim x x y y u v i → → x x = = = + u v i x x = + 0 lim z u i v → x i y + = +