《复变函数论》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 解析函数 2.1 解析函数的概念

第二章解析函数患登解析函数是复变函数研究的主要对象1介绍复变函数导数概念和求导法则2讲解解析函数的概念及其判别法，阐明北解析与可导的关系大学3介绍一些常用的初等函数，说明它们的解析性

第二章 解析函数 解析函数是复变函数研究的主要对象 1 介绍复变函数导数概念和求导法则 2 讲解解析函数的概念及其判别法，阐明 解析与可导的关系 3 介绍一些常用的初等函数，说明它们的 解析性

$2.1解析函数的概念哈一、 复变函数的导数1导数的定义定义1设函数の=f(z）在开区域D内有定义北ZoED，z=zo+△z是D内任一点，令△o = f(zo + △z) - f(zo)大兴f (zo +z)-f (zo)△o如果limlim存在，记作AAzAz->0Az4z->0称f(z)在z处可导，A 为f(z)在 z 处的导数do记作：f"(z)或Z=20dz

§2.1 解析函数的概念 一、复变函数的导数 1导数的定义 设函数  = f z( ) 在开区域D内有定义 0 z z z = +  是D内任一点，令 0 0  = +  −  f z z f z ( ) ( ) 如果 ( 0 0 ) ( ) 0 0 lim lim z z f z z f z z z   →  →  +  − =   f z( ) 在 0 z 处可导，A 为 f z( ) 在 0 z 处的导数 f z ( 0 )或 0 z z d dz  = 0 z D  , 定义1 存在，记作A 称 记作：

来f(zo +△z) - f(zo)房即 (=o)=lim(2.1)zAz-0或写成微分形式(2.2)△= f'(z)△z +o(zD)(△z→0)北故也称f(z)在z.处可微df(zo）= f(zo）·△z 为f(z)在z.处的微分大学如果（z）在区域D内处处可导（可微）则称(z)在D内可导（可微）

即 (2.1) 或写成微分形式  =  +   →  f z z o z z ( 0 ) ( ) ( 0) ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) lim z f z z f z f z z  → +  −  =  (2.2) df z f z z ( 0 0 ) =   ( ) ( ) 0 为f z z 在 处的微分 故也称 ( ) 0 f z z 在 处可微。 则称 如果 f z( ) 在区域D内处处可导（可微）， f z( ) 在D内可导（可微）

例1求函数f(z)=z"（n为正整数）的导数盅浴解 因为f(z+△z)- f(z)limAz△z->0北z + △z)" -zn= limzz>0大学nzh-1n-= lim+2!4z->0n-l=nzf'(z) = nzn-1所以

例1 n 求函数 f (z) = z （ n 为正整数）的导数。 解 因为 ( ) ( ) 0 lim z f z z f z z  → +  −  ( ) 0 lim n n z z z z z  → +  − =  ( ) 1 2 0 1 lim 2 ! n n z n n nz z z − −  →   − = +  +     n 1 nz − = 所以 ( ) n 1 f z nz −  =

例2证明f(z)=Rez 在全平面处处不可导。盅光哈证明因为对任意一点 zf(z)- f(zo)Rez-Rezo_Re(z-zo)Z- ZoZ-Zoz-Zo北分别考虑直线Rez=Rezo及直线Imz=Imz在前一直线上，上式恒等于0；在后一直线大兴上，上式恒等于1。故当z→z.时，上式没有极限，即f(z)在zo处没有导数。由于 zo的任意性，(z)在全平面处处没有导数

例2 证明 f z z ( ) Re = 在全平面处处不可导。 证明 0 因为对任意一点 z ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 f z f z z z Re Re z z Re z z z z z z − − − = = − − − 分别考虑直线 Re Re 0 z z = 及直线 0 Im Im z z = 在前一直线上，上式恒等于0；在后一直线 上，上式恒等于1。 0 故当 z z → 时，上式没 有极限，即 f z( ) 0 在 z 处没有导数。由于 0 z 的任意性，f z( ) 在全平面处处没有导数

2可导与连续東定理1若f(z)在zo处可导,则,f(z)在z处连续福证明月f(z)在zo处可导,对于任意的ε>0, 存在S>0,使得当0<△z<S时，有+)- f() - f(20)<8北Az令 p(4-)=(+)-()-(c)大学△z则lim p(z) = 0-由 (z +z)- f(zo)= f'(zo)z+p(z)·z有lim (zo + z)= f(zo)即f(z)在z处连续

2 可导与连续 定理1 证明 f z( ) 在 0 z 处可导,则 f z( ) 在 0 若 z 处连续。 f z( ) 在 0 z 处可导，对于任意的   0, 存在   0, 使得当 0    z  时，有 ( ) ( ) 0 0 0 f z z f z ( ) f z z  +  − −    ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f z z f z z f z z  +  −  = −   令 ( ) 0 lim 0 z  z  → 则  = ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 由 f z z f z f z z z z +  − =  +      ( ) ( ) 0 0 0 lim z f z z f z  → 有 +  = 即 f z( ) 在 0 z 处连续

3求导法则東(c为复常数)(c) =0美路1°[cf (2) = cf'(z)(c为复常数)2°3°[ f(z)±g(2)7 = f'(z)±g'()北[ f(z)·g(z) = f'(z)g(z)+ f (2)g'(2)4°f() - f'(2)g()-f()g'()5°(g(z) ±0)[g()大学.g2 (2)([g(z)]) = f'(0)g'(z) = f"[g(2)]·g'(z)6°(0 = g(z))7°当の= f(2)与z=h(の)是两个互为反函数的单值函数,且h'(の)±0时,f'(2)= h(0)

3 求导法则 1 (c) 0  = (c为复常数) 2 cf z cf z ( ) ( )    =    (c为复常数) 3 f z g z f z g z ( ) ( ) ( ) ( )     =      4 f z g z f z g z f z g z ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )     = +     5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 f z f z g z f z g z g z g z      −   =   ( ( ) 0) g z  6  f g z f g z f g z g z ( )  () ( ) ( ) ( )      = =          ( = g z( )) 7 当  = = f z z h ( )与 ( ) 是两个互为反函数的 单值函数，且h()  0时， ( ) ( ) 1 f z h   = 

n-例3来求f(z) =az" +a,z+a-z+a,的导函数解利用法则1,2,3，得：f'(z) = anz"- +a,(n - 1)z"-2 +...+ an-1例4(1) 已知f(z)=(22 -4z+6),求f'(0);北(2) 已知f(z)=z, 求f'(z);解（1)利用法则6，得：f'(2)= 3(22 - 4z +6) (2z -4)大兴从而 f'(0)= f'(z)l=0 = 3·62 .(-4)= -432(2)f(z)==z 的反函数为="=h();由法则7，得：1111f(a)-(μE) =h'(α)n/zn-1no0

例3 (1)利用法则6，得： 1 2 0 1 1 ( ) ( 1) n n n f z a nz a n z a − − −  = + − + + 例4 ( ) ( ) 3 2 (1) 4 6 , 已知f z z z = − + 求f (0)； (2) , 已知f z z ( ) = n 求f (z)； 解 ( ) ( ) ( ) 2 2 f z z z z  = − + − 3 4 6 2 4 利用法则1,2,3，得： ( ) ( ) ( ) 2 0 0 3 6 4 432 z f f z = 从而   = =   − = − (2) ( ) z n f z = =  ( ), n 的反函数为 z h = =   由法则7，得： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 n 1 1 1 1 n n n n f z z h n    n z − −   = = = = =   1 0 1 1 ( ) n n n n f z a z a z a z a − 求 = + + + + − 的导函数。 解

4函数可导的条件盅春定理2(Cauchy—Riemann) 设f(z)= u(x, y)+iv(x,y)在区域D内有定义,且在z=x+ivED可导，则Ou u Ov vu(x,J),v(x,y)在点(x,y)存在偏导数axOvaxY且满足方程北OuvayOx(2.3)大兴duOvC-R(CauchyRiemann)条件)yax此时，f(z)在点z 的导数可写成OvOuOvu(2.4)Oxayaxay

4 函数可导的条件 定理2(Cauchy—Riemann) 设f z u x y iv x y ( ) = + ( , , ) ( ) 在区域D内有定义， 且在z x iy D = +  可导，则 ( , , ( , ) ( , ) , , , , ) u u v v u x y v x y x y x y x y         在点 存在偏导数 且满足方程 u v x y u v y x   =        = −   此时， f z z ( )在点 的导数可写成 ( ) u v v u f z i i x x y y      = + = −     C-R(Cauchy—Riemann)条件) (2.3) (2.4)

证明:由于f(z)在点z可导，则依任何方式△z一→0都有来△0春lim=(a)其中 z = △x +iy, △o = f (z+△z)- f()= △u+ivAu = u(x+Ax, y+ Ay)-u(x, y)Av= v(x +Ax, y+Ay)-v(x, y)北不妨先让△z沿实轴趋于零，则AoAu+iy大limf'(z)= limAz->0Azz-0△x +iyAu△vlim+i lim=AxAx△x-→>0Ax-→0Ay=0Ay=0-αduax

证明： 由于f z z ( )在点 可导， 则依任何方式  →z 0都有 ( ) 0 lim z f z z   →  =   其中  =  +  z x i y,  = +  − =  +   f z z f z u i v ( ) ( )  = +  +  − u u x x y y u x y ( , , ) ( )  = +  +  − v v x x y y v x y ( , , ) ( ) 不妨先让 z 沿实轴趋于零，则 ( ) 0 lim z f z z   →   =  0 0 0 0 lim lim x x y y u v i  →  → x x  =  =   = +   u v i x x   = +   0 lim z u i v  → x i y  +  =  + 