第一章 多项式习题解答 P44.1 1) 1 7 26 2 ( ) ( )( ) ( ) 39 9 9 f x gx x x = − +− − + 2) 2 f x gx x x x ( ) ( )( 1) ( 5 7) = + − +− P44.2 1) 2 3 x + − + +⇒ mx x x q 1| 9 余式 2 (1 )( ) p mx qm + + +− = 0 2 1 m q p q ⎧ = ∴⎨ ⎩ = − 方法二， 设 3 2 0 ( 1)( ) 1 m q x px q x m x q mq p ⎧ − = + += + − + ⇒ ⎨ ⎩− − = 同样。 2 ) 2 42 x + + + +⇒ mx x px q 1| 余式 2 2 mp m x q p m ( 2 )( 1 ) + − − − ++ = 0 2 mm p ( 2) +− = 0. 2 2 m p qx p q 1 ,( 1 ) ∴ + =+ =− + P44.3.1 用 g() 3 x x = + 除 5 3 f () 2 5 8 xxx = −− x 解： 54 3 2 ∴ fx x x x x x ( ) 2( 3) 30( 3) 175( 3) 495( 3) 667( 3) 327 = + − + + + − + + +− P44.3 .2) 3 2 3 2 ( ) ( 1 2 ) (2 8 )( 1 2 ) x x x i ix i ∴ − − = −+ + − −+ x − + −+ − − (12 8 )( 1 2 ) (9 8 ) ix i i 即余式 −9 8 + i 商 2 x − −+ 2 (5 2 ix i) P44. 4.1). 5 0 fx x x () , 1 = = ：即 54 3 2 ∴ fx x x x x x ( ) ( 1) 5( 1) 10( 1) 10( 1) 5( 1) 1 = − + − + − + − + −+ 当然也可以 5 5 fx x x ( ) [( 1) 1] = = −+ 5 4 = − + − +⋅⋅⋅+ ( 1) 5( 1) x x 1 P44.4 2) 结果 3) 4 2 4 3 2 fx x x x x x x ( ) 2 3 ( 2) 8( 2) 22( 2) 24( 2) 11 = − += + − + + + − + + 43 2 f ( ) 2 (1 ) 3 7 x x ix i x x = + − + + ++ i 43 2 43 2 ( ) 2 ( ) (1 )( ) 3( ) 7 ( ) 2 ( ) (1 )( ) 5( ) 7 5 x i i ix i i i x i i x i i i x i ix i i x i x i i = +− + +− − + +− − +− + + = + − + + + + − + ++ P45.5 (1) 2 2 gx x x x x x ( ) ( 1)( 2 1) ( 1)( 1) = − + += − + )13)(1()( 3 xxxxf −−+= ∴( ( f x), ( )) 1 g x x = +
(2) 3 2 gx x x () 3 1 =− + 不可约 不可约 14)( 34 xxxf +−= ∴( ) f x gx ( ), ( ) 1 = (3) )122)(122(110)( 4 2 2 2 xxxxxxxf −−−+=+−= 4 32 32 2 gx x x x x f x x x x x x ( ) 4 2 6 6 2 1, ( ) 4 2( 2 2 ) ( 2 2 1) = − + + + = −+ + = − − 2 ∴ ( ) 2 f ( ), ( ) 2 2 1 x gx x x =− − P45.6 (1) )2()1()( 22 xxxf −+= 2 2 gx x x x ( ) ( 2)( 1) = − ++ ∵ [ ] 2 2 ( 1) ( 1) ( 1)( 2) x x xx x + − + + ++ + =1 ∴ ) 2 ( 2) ( 1) ( ) ( 2) ( x − =− + + + x f x x gx (2) )1424)(1()( ， 23 −−+−= yxxxxxf 2 gx x x x ( ) ( 1)(2 4) = − +− )()1( 1 −= xfx 1 = ( 1) ( x − g x) 而 1 1 1 ( ) ( ) 2 -3(2 3) ( ) (2 3) ( 1) fx gx x x gx x x =⋅ + = +⋅− ∴ 1 11 2 1 1 (2 3)( 1) ( )( 1) 3 3 x 1 = + −− = − −− x x g y fx g ∵ 1 22 2 1 ( 1) ( ) ( 1) ( 3 33 x − =− − + − − x f x x x gx) (3) , )( 144 234 xxxxxf ++−−= 2 gx x x () 1 = − − ∴ , 2 f x gx x x ( ) ( )( 3) ( 2) = −+ − gx x x ( ) ( 2)( 1) 1 = − ++ ∵ 2 1 ( ( 3))( 1) =− − − + + f gx x g 3 2 =− + + + − − ( 1) ( ) ( 3 2) ( x f x x x x gx) . P45.7 2 f ( ) ( )1 (1 ) (2 ) ( ) x gx tx tx u rx = ++ + − += 2 2 2 2 1 2 ( ) ( 2) 2 ( ) ( )( ) (1 ) 1 (1 ) (1 ) ( 1) t t tu t t gx rx x x u tt t t − ++ + − − = + + +− ++ + + 2 由题意 rx x () () 与g 的公因式应为二次所以rx gx ( )| ( ) ∴ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + ++ = + −++−+ 0 )1( 3 0 )1( )4()3(3 2 2 2 23 u t tt t ututt ∴ ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =++ =−++−+ ⇒ −≠ 0)3( 0)4()3(3 )(1 2 23 utt ututt 否则 xrt 为一次的
解出(ⅰ)当 )1)(4(04330 23 2 时 ttttttu +−+=+−+= ∴ ¡ 3 2 ¡31 4 π ± = ± 或tt =−= e (ⅱ) 31 1 ,0 ,03 2 t t u tt −= + ≠ 只有时当 =++ )433( 31 433 )4()3(3 23 3 23 2 +−+−= + +−+ =⇒−++−+ ttt t t ttt uututt ∴ )4(2]246)82)(3[( 3 1 2 2 tttttu t +−=++−+++−= 即 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ =++ +−= 03 )4(2 2 tt tu 2 −±− 111 t = P45、8 d x( ) | ( ), ( ) | ( ) f x dx g x 表明 是公因式 d x( ) 又已知： dx f x gx () () () 是 与 的组合 表明任何公因式整除 d x( ) 所以 d x( ) 是一个最大的公因式。 P45，9. 证明( f ( ) ( ), ( ) ( )) ( ( ), ( ) ( )) xhx g xhx = f x g xhx （ 的首系 h x( ) =1） 证：设( ( ) ( ), ( ) ( )) ( ) f xhx g xhx mx = 由 ( ( ), ( )) ( ) | ( ) ( ) f x g x hx f xhx ( ( ), ( )) ( ) | ( ) ( ). f x g x hx g xhx ∴( ( ), ( )) ( ) | ( ) f x g x hx mx ∴( ( ), ( )) ( ) f x g x hx 是一个公因式。 设 d x( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ) ( ) ( ). = =+ f x g x ux f x vx g x ∴d xhx ( ) ( ) ( ( ), ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). = =+ f x g x hx ux f xhx vx g xhx 而首项系数=1，又是公因式得（由 P45、8），它是最大公因式，且 ( ( ), ( )) ( ) ( ( ) ( ), ( ) ( )). f x g x hx = f xhx g xhx P45、10 已知 f ( ), ( ) x g x 不全为 0。证明 () () ( , ( ( ), ( )) ( ( ), ( )) f x gx f x gx f x gx ) 1 = . 证：设 d x( ) ( ( ), ( )). = f x g x 则 d x( ) 0. ≠ 设 1 ( ) ( ), ( ) f x f x d x = 1 ( ) ( ), ( ) g x g x d x = 及 dx ux ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). = f x vx + g x 所以 1 1 d x ux f xd x vxg xd x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). = + 消去 得 d x() 0 ≠ 1 1 1 () () () ( = + ux f x vxg x) P45.11 证：设 1 1 ( ( ), ( )) ( ) 0, ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) f x gx d x f x f xd x gx g xd x =≠ = = ∴ 11 1 ux f xd x uxg xd x d x ux f x uxg x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) 1 += + 1 = P45.12
设 2 11 1 1 1 1 uf vg u f v h uu f ufv h vgu f vu gh + = + =⇒ + + + = 1, 1 1 ∴ 11 1 1 . ( ) uu f uv h vgu f v u gh f gh + + + =⇒ = ( ) 1 ( , ) 1 P45.13 ∵ ( ,g) 1 i i f = ， 固定 1 2 :( , ) 1 i i f gg = 1 2 (, . )1 i n f ggg = P45.14 (,) 1 1 ( ) ( ) 1 (, ) 1 f g uf vg u v f v g f f g f =⇒ + =⇒ − + + =⇒ + = 同理( , gg f + =) 1. 由 12 题( , )1 fg f g + = 令 1 2 n g gg g = . ,( , ) 1 i ∴每个i fg = 1 1 ⇒ = ( ,) 1 ff g , ⇒ 1 123 ( ,) fff g = , ⇒ (, ) f f f gg g 12 1 2 " " m n =1（注反复归纳用 12 题）。 推广 若( ( ), ( )) 1, f x gx = 则∀ m，n有( (), ()) 1 m n f x gx = P45,15 f(x)=x3 +2x2 +2x+1, g(x)=x4 +x3 +2x2 +x+1 解：g(x)=f(x)(x-1)+2(x2 +x+1), f(x)=(x2 +x+1)(x+1) 即(f(x)，g(x)) = x2 +x+1. 令(x2 +x+1)=0 得 2 31 , 2 31 1 2 i −− i = +− ε = ε ∴f(x)与g(x)的公共根为 21 ε ,ε . P45.16 判断有无重因式 ① 5 432 f () 5 7 2 4 8 xx x x x x =− + + +− ② 344)( 24 xxxxf −−+= 解① 4421205)(' 4 3 2 xxxxxf +−+−= 3 2 5 ( ) '( )( 1) 3(2 5 4 12) fx f xx x x x = −− − + 2 3 2 15 49 2 '( ) (2 5 4 12)(5 ) ( 4 4) 2 2 fx x x x x x x = − −+ − + −+ )32)(44()12452( 23 2 xxxxxx ++−=+−−
故 有重因式 xf )( 3 x − )2( ② 484)(' 3 xxxf −+= 3 2 fx x x x x x ( ) ( 2 1) (2 3 3) = +− + −+ )1311()32)(332()(' 2 xxxxxf −+++−= 2 6 6 11(2 3 3) (11 13)(2 ) (33 ) 11 11 xx x x ×13 − += − − + + ∴ xfxf =1))(').(( P45.17 13)(? 有重因式（有重根） 23 时 txxxxft −+−== 解. 63)(' +−= txxxf 2 = − + − + txtxxfxf − )3()62()1)((')(3 如 则 t = 3 有重因式：3 重因式 )()1( 3 =− xfx 如 则 t ≠ .3 ) 2 15 2() 2 15 xxf 3)(22()('2 t ++−×+= 此时必须 4 15 t −= 有重因式 )4() 2 1 ()( 2 xxxf −+= P45.18 求多项式 ++= qpxxxf 有重根因式的条件 3 )( 证 += pxxf 2 3)( 2 3 ( ) (3 ) 2 3 f x x p x px = +++ q p ≠ )0( 2 2 2 2 3 3 27 (3 ) (2 3 )( ) ( ) 24 4 a q x p px q x p p p p += + − ++ 3 2 ∴4 27 p q + = 0 p45.19 令 4 2 2 f ( ) x Ax Bx x f x x f x =++ − − 1, ( 1) | ( ), ( 1) '( )) 因为 所以 即 )(1(24)(' ) 3 2 ++−=+= cbxaxxBxAxxf 4 0 2 0 a A b a cb B c ⎧ = ⎪ ⎪ − = ⎨ − = ⎪ ⎪ ⎩ − = 02 4 2 ∴ =+ ∴ = = = − BA BbaA 又 )'''')(1()()()1( 23 +++−=⇒− dxcxbxaxxfxfx ' ' ' ' '0 ' 1 a A b a c b d ⎧ = ⎪ ⎪ − = ⎨ − = ⎪ ⎪ ⎩− = 0 Bb ab Aa =−− = ∴ = '1 '' ' ∴ + BA + = 01 ∴ BA −== 2,1 P46，20 证 2 () 1 2! ! n x x fx x n =+ + +" 无重因式（重根） 证： '( ) ( ) ! n x f x fx n = −
( ', ) ( , )! y x ff f n ∴ = ∵( , ) 1) f x = ( , ) 1 () n fx fx = ⇒ 无重因式. P46，21 g′(x)= 1 2 [ f′(x)+ f′(a)]+ () () 2 x a fx fx − ′′ ′ − ⇒ g′(a)=0 又 g(a)=0 1 1 1 // () () () () () ( ) () () 0 22 2 2 x a g x f x f x f x f x x af x g a − ′′ ′′′ ′′ = + + − =− ⇒ ′′′ ′′ ′′ = /// (4) / // /// 1 () () 2 2 ( ), ( ), ( ), ( ) x a gx fx fx a xgxg xg x − = + ′′′ ∴ ∴ 是g 根,且使g (x)的k+1重根 // a是g(x)的k+3重根. P46，22 “⇐”必要性显然（见定理 6 推论 1） “⇒”若x0是f(x)的t重根，t＞k， 由定理⇒f (k)( x0)=0 若t＜k⇒ ( 1) 0 ()0 k f x − ≠ ，所以矛盾. P46.23 例如 1 ( ) , 0 ( ) ( 1) m m fx x x f x m x m + = = =+ 则 是 的重 ′ 根 根 ) 但 不是 的 x fx = 0 () . P46.24 若( 1) ( ) ( 1) | ( nn n x − − fx x fx 则 证若 f x x gx r ( ) ( 1) ( ) ( =− + 由上节课命题2) ( ) ( 1) ( ) ( ) 0 nn n f x x gx r gx r r = − += +⇒= 所以 )(|1 n n − xfx P46,25 证明 设x 2 +x+1 的两个根 3 1 2 , 1 i εεε = 2 1 2 3 3 1 1 12 1 3 3 2 2 22 2 1 ( )( ) () ()0 () ()0 xx x x f f f f ε ε ε εε εεε + += − − ⎪⎧ + = ∴⎨ ⎪⎩ + =
1 12 1 22 (1) (1) 0 (1) (1) 0 f f f f ε ε ⎧ + = ⎨ ⎩ + = 即 2 1 ⇒= = f f (1) 0 (1) 0 1 2 ⇒ − ( 1) ( ), ( x fx fx) . P46、26 分解 1. n x − 0 2 2 1 cos sin , 0,1, 2 , k k k i k n n n 1 π π 设ε ε == + = " − 1 1 0 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 ( ) , 1 ( ) ( 1) ( (cos sin )) ( ) , 1 ( 1) ( ) ( 1) ( )( ) 2 2 1 ( 1) ( 2cos 1) 2 2 : 1 ( 1)( 1) ( 2cos 1) n n n i i k m m n k k k k m k m n k k k ix xxx i n n ii n x x x x x x k nm x x x n k nmx x x x x n π π ε ε ε π π − − = = − − − = = − = − = −= − = − − + −= − − = − − − = − =− − + = −= − + − + ∏ ∏ ∏ ∏ ∏ ^ \ 在 中 在 中 为奇 当 时 1 ∏ n k ε p46,27 求有理根： （1）x 3 -6x2 +15x-14=f(x). 解：有理根可能为±1、±2、±7、±14。 ∵当 a<0 时 f（a）<0，所以 f(x)的有理根是可能 1,2,7,14 f(1)=-4≠0,f(2)=0,f(7)=140≠0,f(14)=1764≠0,只有一个x=2 （2）4x4 -7x2 -5x-1=f(x). 解：有理根可能为±1、± 2 1 、± 4 1 ，∵f(1)=-9≠0，f(-1)=1≠0, f( 2 1 )=-5,f(- 2 1 )=0,f( 4 1 )=-2 64 43 ,f(- 4 1 )=- 64 11 所以f(x)只有一个有理根x=- 2 1 （3）f(x)=x5 +x4 -6x3 -14x2 -11x-3=f(x). 解：可能有有理根为±1、±3、f(1)=-32,f(-1)=0,f(3)=0 f(-3)=-96 故 f(x)有两个有理想-1,3 P46,28
①x 2 +1：解 y=y+1, x2 +1=y2 +2y+2 不可约 ② 解取P=2，由Eisenstein判别法，不可约。 43 2 xx x −+ + 8 12 2 1 ③x6 +x3 +1,解令x=y+1 则 x 6 +x3 +1=y6 +6y5 +15y4 +21y3 +15y2 +9y+3 取P=3 即可。 ④xp +px+1 为奇素数 解：取y=x+1, x3 +px+1=yp + 1 ( ( 1) ( 1) p i pi i p i cy py − = ∑ − + −+ =yp + 2 1 ( ( 1) 2 p i i pi p i c y py − − = ∑ − + − p 取 p 素数，即可 ⑤x 4 +4kx+1 k为整数 解：令x=y+1,则f(x)=x4 +4kx+1=y4 +4y3 +6y2 +(4+4k)y+(4k+2) 取p=2，则 ， p2|4k+2 即可由Eisenstein判别法，f(x)于 上不可约。 ] _( ) P47.1:证 1 1 1 1 ∵ f , , , ( ) , , ( )| , ( )| , g f g cx f g cx f cx g 都是 的组合 所以若 是 的公因式 则必有 1 1 为 的公因式 即 f g, , CD f x g x CD f x g x { ( ), ( ) ( ), ( ) } ⊆ { 1 1 } 反过来，得 1 1 1 1 1 1 f ( ) ( ( ) ( )), ( ) ( ( ) ( )) x df x bg x g x cf x ag x ad bc ad bc = − −+ − − 1 1 ∴ fg fg , , 也是 的组合 同上理 有, CD f x g x CD f x g x { 1 1 ( ), ( ) ( ), ( ) } ⊆ { } 即， 1 1 f fg 与g和 与 的公因式一致 最大公因式也一致 那 , , 1 1 ( ( ) ( )) ( ( ), ( )) f x gx f x g x ， = 注：不可约多项式也称既约定多项式 f x a fx ( ) 0, , ( ) , ≠ 则 不是既约 则称f(x)可约 P47,2 证：∵d1(x)f(x)≠v1(x)g(x)⇒（f(x)，g(x)）=d(x). f(x)=fi(x)d(x), g(x)=gi(x)d(x) ∴u1(x)fi(x)+v1(x)g1(x)=1 带余除法 令u1(x)=q1(x)g1(x)+u(x) ∂ (u)< ∂ (g1(x))= ∂ ( )()( )( xyxg xg + )
v1(x)=q2(x)f1 (x)+v(x) ∂ (v)< ∂ (f1(x))= ∂ (f(x)/(f(x)，g(x)) 则fu+gv+fg1q1+f1gq2 =f(x)u(x)+g(x)v(x)+f1(x)g1(x)d(x)(q1+q2)=d(x) ∴d-(uf+vg)=f1g1d(q1+q2),左边次数< ∂ (f1)+ ∂ (y1)+ ∂ (d)≤右边次数 故左、右两侧只有为 0，d-(uf+vg)=0 u(x)f(x)+v(x)y(x)=d(x) 且∂ (u(x))< ∂ (g1(x)), ∂ (v (x)< ∂ (f1(x)) P47.3 若 ( ) ( ) , 1, ( ( ) m m fx x m fx x 与g 互素 则∀ ≥ 与g 也互素 证：∵ ∵ f x x ux vx ux f x vxgx ( ) ( ) , ( ), ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) 1 与g 互素 ∃ + = = m 由推广 () ,( ) ( ) ( )( ) 1 mm m m m 令ϕ x x ux f x vx gx = + ( ( ), ( )) 1, ( ) ( ) mm m ∴ f x gx f x x = 即 与g 互素 P47 补 4 由定义有 1, 2 1 1 ( ) (( , , ), ), s s s f ff f f f " " = − 1 2 ( ) ( , ) i s ∃ = d x " " f f f 证明 使得u f +u f + +u f 11 2 2 ss . 证：设d=(f1,f2.fs)，d1=(f1.fs-1) d′=(d1,fs) 显然 s d f 及d|d1⇒d|d′, 反之，d′⇒d|d1′, ' s d f ⇒d|fi（∀i ）⇒d′|d。 又d,d′首项系数=1⇒d=d′. 证：由归纳方式 ，使 ′ ∃ui ' ' 1 1 1 1 1 1 , , s s s s u f u f d v u vd u f d − − ' +"+ = ∃ += 又 使得 ′ ∴d=d′= 1 s s vd u f + =v（ ）+ 1 ' 1 s i i i u f − = ∑ s s u f 令 i=1,2.,s-1 ' i u vu = i =u1f1+.+us-1fs-1+ s s u f . P48，补 5 证明 若：f(x)g(x)首项系数都=1 则[f,g]= gf ),( fg 证：令(f,g)=d,f=f1d,g=g1d,则(f1,g1)=1,设m(x)=f1g1d 显然① f|m, g|m, 故 m 是一个公倍式
再设② f l gl dl , .∴ ，令l=dl1，⇒f1|l1,g1|l1 ∵(f1g1)=1, ∴f1g1|l1⇒f1g1d1|l 即m|l m 是 f、g 的一个最小 公倍 式 即证得：[f(x)、g(x)]=f1(x)g1(x)d(x)= ))()(( )()( xgxf xgxf ⋅ ⋅ p fx fx 48.7 : ( ) 1. ( ( )) 0, 首项系数 =∂ > 则 f ( ) x p 为某不可约多项式 ( ) x 的方幂的充要条件是 ∀g( ) x 或者( , f g) 1 = 或者 : ( )| ( ) m ∃m fx g x 证明 1 1 " " ( ) ( ) ( ), ( ( )) 0, ( ) ( ) r ⇐ = ∂> 反设不是则f x p xhx hx p x hx 而 + ⇒ 1 11 ( , ) 1, | , ( ) ( ), ( , ) 1, ph h p x px fg = = 即 取g 则 且 ≠ ∀ , | , ( ), m s mf g h p x 否则 矛盾. = “ ” , ( ), ( , ) 1 ( , ) ( , ) 1, ( , ) 1 | | ( ) r r r 1 ⇒ = ∀ =⇒ = = ≠⇒ ⇒ f p gx pg p g f g pg p g f g x 若 若 p fx fx fx 48.8: ( ) 1, ( ( )) 0, ( ) 首项系数 =∂ > 则 为某不可约多项式的方幂 ⇔ ( ) | ( ), | | , ( ) / ( ) m ∀ ⇒∃ g x h x f gh f g m f x h x 由 或者 证明" " , | ,( , ) 1 ( , ) 1 ( , ) 1 | r r ⇒ = 设 若f f p gh p h p h f h f =⇒ =⇒ =⇒ g (,) 1 | | () rr r p h p h p h fh ≠⇒ ⇒ ⇒ x m 1 11 " " , , ( ) 0, , , ( ), r r ⇐ =∂ 反设不是 则 而 f ph h p h p h hx >+ = = 令g 则 | , , ( ( , ) 1 ( , ) 1) m r f gh f g f h m p h p h 却 + + ∀ =⇒ = ∵ P48，补 9 证： ＞2 的非零根 n nm x ax b − + + 没有重数 证：反设 ( ) , n nm f x x ax b k α − =+ + 有 重根 (k＞2，α ≠ 0 ) 1 1 1 /1 / / () () ( ) 0 ( ) ( )0 ( ) ( ) 0 1 ( ) ( ( ) ( )) ( ) 0 n n m nm m m m g x f x nx a n m x k an m nx x n an m hx x n h x mx h x h x h x α α α − − − − − − = = +− ′ ≠ − ⇒+ ≠ − ∴ = + ≠ ⎧ ⎧ =∴ = ⎨ ⎨ ⎩ ⎩ 有 重根 有重根 有重根 无重数根 但 重根 P48、补 10 0 ( ) [ ], ( ) ( ), 1 n ≠ ∈ f x Cx f x f x n 且 > , () 0 m 证明 的根只能为 或单位根(即满足某x =1的根) f x . α 证:设 为f(x)的根,由f(x )==f(x)g(x) n ∴ α α f x( ) n n f( )=0, 为 的根 , 2 2 ( ) 0, ( ) n n ∴ f f α α = 为 的根 x