多连域中复势的一般形式 1 ( )z 1 函数 和 ( )z 在多连通域中可能是多值的。而应力 和位移总是单值的。如何选择这些复变函数，保证应力 和位移的单值性？考察如图3-2所示多连通体，先考虑仅 有一个内边界s k和一个外边界sm+1的情形。 1 应力单值条件 k s 一周，虚数增量为 由式(3-8) 1 4Re ( ) y x + = z 知， 1 ( )z 的实部单值。虚部 可多值。绕 考察Ak ln (z-zk )，其中zk是边界sk之外的任意一点。 ln( ) ln | | ln ( ) i A z z A z z e A z z A i k k k k k k k − = − = − + 绕sk一周后，右边有增量 2 k iA 。令 1 1* ( ) ln ( ) z A z z z = − + k k ( ) (1) 2 Aik
积分，得 x y 1 z 0 z 2 z k z m z 1 s 2 s k s m s N m 1 s + 图3-2 o z0为弹性体内的任选定点，如图3-2所 示。 * 0 1 ( )d ln( ) z k k z z z c z z = − +全纯函数。 代入式(2)，并将-Ak zk ln (z-zk )与 ck ln(z-zk )合并写成 ln( ) k k z z − ，即得 其中 1* ( )z 全纯。 k 为复常数。 1 1 ( ) ln( ) ln( ) ( ), k k k k z A z z z z z z = − + − + (3) 0 1 1* ( ) ( )ln( ) ( ) ( )d z k k k k z z A z z z z z z z z = − − − − + + 常数. (2) 式中 ( ) 全纯。 ' 1* z
k 为复常数， ( ) 1 z 全纯。 又由式(3-9) 2 y x xy − + = i 2 ( ) ( ) z z z 1 1 + 可知，函数 1 ( )z 在多 连域全纯。类似地 2 位移单值条件 位移单值对 1 ( )z 1 及 ( )z 的要求。将3.2.1中的(1)、(3)、(4) 三式代入式(3-10)有 ' 1 1 1 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 E u iv z z z z − + = − − − + 1 3 ( ) ln( ) ln( ) ( ) 1 1 k k k k k E u iv A z z z z z z − + = − + − + − + ' ' 1 1 ln( ) ( ) ln( ) ( ) k k k k k − − + − − + z A z z z z z z 1 1* ( ) ln( ) ( ) k k z z z z = − + (4)
当z绕sk一周后，增量为： 3 ' (2 2 ) 2 2 1 k k k k iA z i izA i − + + + + 3 3 2 1 1 1 k k k i A z − − = + + + + + 令增量为零，即 3 有限多连域的复势 确定应力函数(3)和(4)式中的复常数 k k 及 ,需将式(3-11) 应用于整个内边界sk ,积分一周得, k k F iF x y + 是sk上面力主矢量。z沿sk绕行的方向必须是顺时针 Ak = 0 , 且 3 0 1 k k − + = + (5) 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) k k k x y s z z z z i F iF + + = + (6)
转向（使外法线向右），将式(1),(3),(4)代入式(6)得 由式(5)及式(7)求得 ( ) ( ) 1 3 0, , 8 8 k k k A F iF F iF k k x yk k x y + − = = − + = − 将它们代入式(3)及式(4)，得 2 ( ) ( ) k k k k x y − − = + i i F iF (7) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ln ( ), 8 3 ( ) ln ( ). 8 k k k k m x y k k m x y k k z F iF z z z z F iF z z z = = + = − + − + − = − − + (3-13) 式中 1* (z) 、 1* (z)在多连域全纯
4 无限多连域的复势 考察函数 1 ( )z 1 及 ( )z 在无限远邻域的性态。 原点为圆心，作半径为R的大圆周sR ，所有内边界s1到sm 包围在其内，对于sR之外的任意一点z 在 之外的解析函数。 式(3-13)可写 为 ( ) ( ) 1 1** 1 1** 1 ( ) ln ( ), 8 3 ( ) ln ( ), 8 x y x y z F iF z z z F iF z z + = − + + − = − + (1) z z R 当R 趋于零时为原点作用集中力解. 2 3 1 1 ln( ) ln ln 1 ln 2 3 k k k k k z z z z z z z z z z z z − = + − = − − − − ln R = +z s
1 k m x x k F F = = 及 = = m k y y k F F 1 1** (z) 及 ** 1 ( )z 可展为罗朗级数 将式(1)中的第一式代入式(3-8)，然后再将式(2)中的第一 式代入，得 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 . 8 8 n n y x x x x y n n F iF F iF n a z a z z z − − − + + + = − + − − + + 因无限远处应力有界 由式(3-9)， z → 时，应力有限，必有 1** 1** ( ) , ( ) n n n n z a z z b z − − = = (2) 0. ( 2) n a n = (3) 0. ( 2 n b n = ） (4)
于是 式(5)可简化为 其中 ( ) ( ) 0 1 1 0 1 1 1 ( ) ln ( ) ( ), 8 3 ( ) ln ( ) ( ), 8 x y x y z F iF z B iC z z z F iF z B iC z z + = − + + + + − = − + + + (5) 0 1 1 0 1 1 1 ( ) ( )ln ( ), 8 3 ( ) ( )ln ( ) ( ), 8 x y x y z F iF z Bz z z F iF z B iC z z + = − + + + − = − + + + (3-14)
设σ1及σ2为无限远处的主应力，σ1与x轴之间的夹角 为α，由坐标变换 值得指出，公式(3-14)和(3-15)只能描述多连域的远场(sR 之外)，只含有一个圆孔时，才是该域复应力函数的精确 公式。无限多连通域的复势可由式(3-13)给出，其中 = + + = + + ( ) , ( ) , 2 0 1 2 1 2 0 1 2 1 z b z b z z a z a z (3-15) 4 , 2 2( ) y x y x xy + = − + = + B i B iC (6) ( ) 2 1 2 1 2 1 1 ( ), 4 2 i B B iC e − = + + = − − (3-16) 再由式(3-8)及式(3-9)，在无限远处，令 z → ( ) 0 1 1 Bz z = + ( ) ( ) ' ' 0 1 1 B iC z z = + +
对于无限多连域,应为 0 1 1 1 ' ' 0 1 1 1 1 ( ) ( )ln( ) ( ) 8 3 ( ) ( )ln( ) ( ) ( ) 8 m xk yk k k m xk yk k k z F iF z z Bz z z F iF z z B iC z z = = + = − + − + + − = − − − + + +