运城学院2020一2021学年第二学期常微分方程试题及答案（A）一、填空题（每空3分，共30分）1、设方程y"+ay+2y=-e*有特解y=e2x+e+xe，则常数a=-3_。(dy)*++2y=-e'的阶为2。2、方程(dx)dx2将伯努利方程崇+兰=户lnx转化为线性方程。3、可通过变量代换u=-dxxy4、当常数a=2_时方程(3x2+axe")dx+(3y2-xe-)dy=0是全微分方程。5、三个函数sint、cost、e’所构成的伏朗斯基行列式W(t)=etsintcost-sint-2elcosteter-sint-cost6、方程(x2+y?+y)dx-xdy=0的积分因子为+ 1d'x adx7、方程×-3x=e"具有形为_()=Ate的特解。d?dtd'x+p()8、方程+q(t)x=fi(t）有解e2+e3和e'+e2"+e"，方程dt?dtd'x+p(o)dr有解e'+e't和e'+e"+et+q(t)x = f(t)则方程，dt?dtd'xdx+q(t)x=f(t)+f()的通解为_x(t)=ce+ce2"+e"+e+p(t)dt?dtdx=y-xdt9、方程组的平衡点为(0.0)、（1.1)。dy= y-x2 -(x-y)(y2-2xy+x3)dt
运城学院 2020—2021 学年第二学期 常微分方程试题及答案（A） 一、填空题（每空 3 分，共 30 分） 1、设方程 2 ex y ay y ′′ ′ + + =− 有特解 2 ee e xx x y x = ++ ，则常数 a = -3 。 2、方程 4 2 2 2 e dy d y x y dx dx + + =− 的阶为 2 。 3、可通过变量代换 1 u y = 将伯努利方程 2 ln dy y y x dx x + = 转化为线性方程。 4、当常数 a= 2 时方程 2 2 2 (3 e ) (3 e ) 0 y y x ax dx y x dy − − + +− = 是全微分方程。 5 、 三个函数 sint 、 cost 、 et 所构成的 伏 朗斯基行列式 W(t)= sin cos cos sin 2 sin cos t t t t t te t te e t te − =− − − 。 6、方程 2 2 ()0 x y y dx xdy ++ − = 的积分因子为 2 2 1 x y + 。 7、方程 2 2 2 3e d x dx t x dt dt − − −= 具有形为 () e t ϕ t At − = 的特解。 8 、 方 程 2 2 1 () () () d x dx pt qtx f t dt dt + += 有 解 2 3 e e t t + 和 2 3 ee e ttt + + ，方程 2 2 2 () () () d x dx pt qtx f t dt dt + += 有 解 4 e e t t + 和 2 4 ee e ttt + + ，则方程 2 2 1 2 () () () () d x dx pt qtx f t f t dt dt + + =+ 的通解为 234 1 2 () e e e e t ttt xt c c = + ++ 。 9、方程组 2 23 ( )( 2 ) dx y x dt dy y x x y y xy x dt = − =− − − − + 的平衡点为 (0, 0)、(1, 1)
dx2x-Vdt10、有二维系统，其平衡点(0,0)的类型为稳定结点。dy=4x-7y[ dt二、简答题（每小题10分，共40分）11、求解微分方程ydx+(xy3+xlnx)dy=0。OmOnaman=1+y+lnx+1=解：由于.3，方程不是全微分方程，但由于ayax-1，axayNxJd1方程有积分因子e....5分x方程两边同乘一得些+(p+ln)dy=0，即d(ylnx+y)=0，所以通解为xx1=c。..分ylnx+412、求解微分方程会=(t+x)-1。dt=1+d则du原方程化为=u.解：....5分今u=t+x，dtdtdt-1-1求解得u=所以原方程的解为x=......5分-.t+ct+cdy13、求解微分方程+y=e'rdx解：方程虫+y=0的解为y=cex，....3分dx崇=1，所以c(x)=x+，所以原方程的解为令y=c(x)ex并代入原方程得dxy-(x+r)e.。..7分14、求微分方程x(4)-3x"+3x"-x=0的通解。解：方程的特征方程为*-3+3-=(3-3+3-1)=(-1)=0，其特征根为单根0和三重根1，.5分因此方程的通解为x(t)=C,+(c,+c,t+c.t")e，其中cI、C2、C3、C4为任意常数。...5分三、证明、计算、推理题（每小题10分，共30分）
10、有二维系统 2 4 7 dx x y dt dy x y dt =− − = − ，其平衡点(0, 0)的类型为 稳定结点 。 二、简答题（每小题 10 分，共 40 分） 11、求解微分方程 3 ydx xy x x y ++ = ( ln )d 0 。 解：由于 3 1 ln 1 M N y x y x ∂ ∂ =≠ + += ∂ ∂ ，方程不是全微分方程，但由于 1 M N y x N x ∂ ∂ − ∂ ∂ − = ， 方程有积分因子 1 1 e dx x x − ∫ = 。.5 分 方程两边同乘 1 x 得 3 ( ln )dy 0 ydx y x x ++ = ，即 1 4 ( ln ) 0 4 dy x y + = ，所以通解为 1 4 ln 4 yx y c + = 。.5 分 12、求解微分方程 2 ( )1 dx t x dt =+ − 。 解：令 u=t+x，则 1 du dx dt dt = + ，原方程化为 du 2 u dt = ，.5 分 求解得 1 u t c − = + ，所以原方程的解为 1 x t t c − = − + 。.5 分 13、求解微分方程 e dy x y dx − + = 。 解：方程 0 dy y dx + = 的解为 y=ce-x ，.3 分 令 y=c(x)e-x 并代入原方程得 1 dc dx = ，所以 c(x)=x+r，所以原方程的解为 y=(x+r)e-x 。.7 分 14、求微分方程 (4) x x xx − + −= 33 0 ′′′ ′′ ′ 的通解。 解：方程的特征方程为 432 32 3 λ λ λ λ λλ λ λ λλ − + −= − + −= − = 3 3 ( 3 3 1) ( 1) 0 ，其 特征根为单根 0 和三重根 1，.5 分 因此方程的通解为 2 1 23 4 () ( ) t xt c c ct ct e =+ + + ，其中 c1、c2、c3、c4 为任意常数。.5 分 三、证明、计算、推理题（每小题 10 分，共 30 分）
x = 2x -3x2 +3xx=4x-5x+3x的基解矩阵。15(计算题）、求方程组3x,=4x-4x2+2x[2-3 3]4-5 3解：系数矩阵A=的特征方程为[4 -4 2][2-元-33 4[A-E|=-5-^3=-(-2)(+1)(+2)= 04-42-元所以A有3个单特征根2、-1、-2。..3分[1]1特征根2有特征向量特征根-1有特征向量，特征根-2有特征向量1[][0][o].3分1[e2t0e-te~2e2/e-!因此基解矩阵为Φ(t)=.4分le20e16(证明题）、设@t)是方程组x'=Ax满足初始条件@(t)=n的解，证明g(t) =e4(-) n 。证明：方程组的通解为x(t)=e"c，将初始条件带入得n=e4c，所以e-4n=c，所以(t)= -(--) 。...10 分17(推理题）、种群是在一定空间中同种生物个体的组合。用x(0)表示1时刻的种群规模（个体数量），其满足Logistic模型虫=x(l-元)dtK其中r为种群的内豪增长率，K为环境容纳量，均为正的常数，Logistic模型满足初始条件x(t)=。+0，试求limx(t)。Kxo解：Logistic模型在初始条件x(to)=xo下的解为x(t)=o +(K-x)e-r(-)，所以
15(计算题)、求方程组 1 123 2 123 3 123 233 453 442 x xxx x xxx x xxx ′ =−+ ′ =−+ ′ =−+ 的基解矩阵。 解：系数矩阵 2 33 4 53 4 42 A − = − − 的特征方程为 2 33 4 5 3 ( 2)( 1)( 2) 0 4 42 A E λ λ λ λ λλ λ − − − = − − =− − + + = − − 所以 A 有 3 个单特征根 2、-1、-2。.3 分 特征根 2 有特征向量 1 1 1 ，特征根-1 有特征向量 1 1 0 ，特征根-2 有特征向量 0 1 1 ，.3 分 因此基解矩阵为 2 2 2 2 2 ee 0 () e e e e 0e t t tt t t t t − − − − Φ = 。.4 分 16(证明题)、设 ϕ( )t 是方程组 x Ax ′ = 满足初始条件 0 ϕ η ( ) t = 的解，证明 0 ( ) () e t t t − ϕ η = A 。 证明：方程组的通解为 () eAt xt c = ，将初始条件带入得 0 eAt η = c，所以 0 e At η c − = ， 所以 0 ( ) () e t t t − ϕ η = A 。.10 分 17(推理题)、种群是在一定空间中同种生物个体的组合。用 x(t)表示 t 时刻的种群 规模(个体数量)，其满足 Logistic 模型 (1 ) dx x rx dt K = − 其中 r 为种群的内禀增长率，K 为环境容纳量，均为正的常数，Logistic 模型满足初始 条件 0 0 x t() x 0 = ≠ ，试求 lim ( ) t x t →+∞ 。 解：Logistic 模型在初始条件 x(t0)=x0 下的解为 0 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) rt t Kx x t x K xe− − = + − ，所以
lim x(t)=K。..10分t→+00
lim ( ) K t x t →+∞ = 。.10 分
运城学院2020一2021学年第二学期常微分方程试题及答案（B）一、填空题（每空3分，共30分）1、设方程y"-3y+ay=-e有特解y=e2x+er+xe，则常数a=2。.d'y2、方程）++y=2e'的阶为2。(dx)3、可通过变量代换=将齐次方程+=ln二转化为变量分离方程。dxxXX4、当常数a=-1时方程（3x2+2xe-)dx+（3y*+axe-）dy=0是全微分方程。1er21=(t2-2t+2)el5、三个函数t、、e'所构成的伏朗斯基行列式W(t)=02e16、方程(axy+y)dx-xdy=0的积分因子为7、方程4x-2x-3x=te"具有形为_(I)=(A+Bt)e"_的特解。dt?dtd’xdx8、方程+q(t)x=fi(t)有解e+e"r和2e'+e+e3r，方程dr+p(o)dtd'x+podr有解e'+et和+g(t)x=f(t)e+e2+e4t，则方程dt?dtd'xdx+p()+q(t)x=f(t)+f(t)的通解为x()=ce'+c,e2"+e"+edt?dxy-xdt9、方程组的平衡点为(0,0)、（1,1)。dyy-x2 +2(x-y)(y?+2xy+x)dtdx=x-3ydt10、有二维系统，其平衡点(0,0)的类型为鞍点。dy-3x+y( dt
运城学院 2020—2021 学年第二学期 常微分方程试题及答案（B） 一、填空题（每空 3 分，共 30 分） 1、设方程 3 ex y y ay ′′ ′ − + =− 有特解 2 ee e xx x y x = ++ ，则常数 a = 2 。 2、方程 3 2 2 2e dy d y x y dx dx + += 的阶为 2 。 3、可通过变量代换 y u x = 将齐次方程 ln dy y y dx x x + = 转化为变量分离方程。 4、当常数 a= -1 时方程 2 2 2 (3 2 e ) (3 e ) 0 y y x x dx y ax dy − − + ++ = 是全微分方程。 5、三个函数 t、t 2 、e t 所构成的伏朗斯基行列式 W(t)= 2 2 1 2 ( 2 2) 0 2 t t t t tt e te t t e e = −+ 。 6、方程() 0 xy y dx xdy + −= 的积分因子为 1 xy 。 7、方程 2 2 2 2 3e d x dx t x t dt dt − −= 具有形为 2 ( ) ( )e t ϕ t A Bt = + 的特解。 8 、 方 程 2 2 1 () () () d x dx pt qtx f t dt dt + += 有 解 2 3 e e t t + 和 2 3 2e e e ttt + + ，方程 2 2 2 () () () d x dx pt qtx f t dt dt + += 有 解 4 e e t t + 和 2 4 ee e ttt + + ，则方程 2 2 1 2 () () () () d x dx pt qtx f t f t dt dt + + =+ 的通解为 234 1 2 () e e e e t ttt xt c c = + ++ 。 9、方程组 2 23 2( )( 2 ) dx y x dt dy y x x y y xy x dt = − =− + − + + 的平衡点为 (0, 0)、(1, 1) 。 10、有二维系统 3 3 dx x y dt dy x y dt = − =− + ，其平衡点(0, 0)的类型为 鞍点
二、简答题（每小题10分，共40分）11、求解微分方程d+(y2+lnx)dy=0。xyanOmam1N=0±解：由于方程不是全微分方程，但由于axoy1，方程axayxyMJ有积分因子=y。....5分方程两边同乘y得些-y4)=0，所以通解为+(y+lnx)dy=0，即d(ylnx+x1V=Cylnx+.5分412、求解微分方程会x+te!dtdxu+du原方程化为u解：令u==，则x=tu，......5分dtdtdt1求解得u=ln(t+c)，所以原方程的解为x=tln(t+c)。.....5分13、求解微分方程％+2.=edx解：方程崇+2xy=0的解为y=ce-..3分dx=1，所以c(x)=x+r，所以原方程的解为令y=c(x)e-并代入原方程得dxy=(x+r)e。.7分14、求方程y(4)+2"+y=0的通解。解：方程的特征方程为4+222+1=（a2+1)=0，其特征根为二重根±i，：分因此方程的通解为x(t)=C,cost+C,sint+ctcost+ctsint，其中cl、C2、C3、c4为任意常数。.5分三、证明、计算、推理题（每小题10分，共30分）3-11x5-115(计算题)、解方程组x=Ax，其中A=1-13x
二、简答题（每小题 10 分，共 40 分） 11、求解微分方程 1 1 2 dx y x dy ( ln ) 0 x y ++ = 。 解：由于 1 0 M N y xy x ∂ ∂ =≠ = ∂ ∂ ，方程不是全微分方程，但由于 1 N M x y M y ∂ ∂ − ∂ ∂ = ，方程 有积分因子 1 e dy y y ∫ = 。.5 分 方程两边同乘 y 得 3 ( ln )dy 0 ydx y x x ++ = ，即 1 4 ( ln ) 0 4 dy x y + = ，所以通解为 1 4 ln 4 yx y c + = 。.5 分 12、求解微分方程 2 e x t dx t xt dt − = + 。 解：令 x u t = ，则 x tu = ， dx du u t dt dt = + ，原方程化为 du u e dt − = ，.5 分 求解得 u=ln(t+c)，所以原方程的解为 x=tln(t+c)。.5 分 13、求解微分方程 2 2 e dy x xy dx − + = 。 解：方程 2 0 dy xy dx + = 的解为 2 x y ce− = ，.3 分 令 2 ( ) x y cxe− = 并代入原方程得 1 dc dx = ，所以 cx x r ( ) = + ，所以原方程的解为 2 ( ) x y x re− = + 。.7 分 14、求方程 (4) y yy + += 2 0 ′′ 的通解。 解：方程的特征方程为 4 2 22 λλ λ + += + = 2 1 ( 1) 0 ，其特征根为二重根 ±i ，.5 分 因此方程的通解为 1 23 4 xt c t c t ct t ct t ( ) cos sin cos sin =++ + ，其中 c1、c2、c3、c4 为 任意常数。.5 分 三、证明、计算、推理题（每小题 10 分，共 30 分） 15(计算题)、解方程组 x´=Ax，其中 3 11 15 1 1 13 A − =− − − ， 1 2 3 x x x x =
解：特征方程为A-E=-(-2)(-3)(-6)=0，所以特征根为2、3、6。...3分特征根2、3、6所对应的特征向量分别为.3分ee-20所以通解为x=ce.4分-116(证明题）、设p(t)是方程组x=Ax满足初始条件(t)=n的解，证明g(t) =e4(-) n 。证明：方程组的通解为x(t)=e"c，将初始条件带入得n=e4c，所以e-4n=c，所以p(t)=e4-) n。..10分17(推理题)、种群是在一定空间中同种生物个体的组合。用x()表示1时刻的种群规模（个体数量），其满足Logistic模型=x(-)dtK其中r为种群的内增长率，K为环境容纳量，均为正的常数，Logistic模型满足初始条件x(t。)=X0，试求limx(t)。Kx解：Logistic模型在初始条件x(to)=xo下的解为x(t)=o +(K-x0)e-r(c-6)，所以limx(t)=K。...10分
解：特征方程为 A E − =− − − − = λ λλλ ( 2)( 3)( 6) 0 ，所以特征根为 2、3、6。.3 分 特征根 2、3、6 所对应的特征向量分别为 1 0 1 − 、 1 1 1 、 1 2 1 − 。.3 分 所以通解为 2 36 1 23 111 01 2 11 1 t tt x ce ce ce = + +− − 。.4 分 16(证明题)、设 ϕ( )t 是方程组 x Ax ′ = 满足初始条件 0 ϕ η ( ) t = 的解，证明 0 ( ) () e t t t − ϕ η = A 。 证明：方程组的通解为 () eAt xt c = ，将初始条件带入得 0 eAt η = c，所以 0 e At η c − = ， 所以 0 ( ) () e t t t − ϕ η = A 。.10 分 17(推理题)、种群是在一定空间中同种生物个体的组合。用 x(t)表示 t 时刻的种群 规模(个体数量)，其满足 Logistic 模型 (1 ) dx x rx dt K = − 其中 r 为种群的内禀增长率，K 为环境容纳量，均为正的常数，Logistic 模型满 足初始条件 0 0 x t() x 0 = ≠ ，试求 lim ( ) t x t →+∞ 。 解：Logistic 模型在初始条件 x(t0)=x0 下的解为 0 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) rt t Kx x t x K xe− − = + − ，所以 lim ( ) K t x t →+∞ = 。.10 分