运城学院2023一2024学年第二学期常微分方程试题及答案（A）、填空题（每空3分，共30分）/i+d'rdr3的阶数为21、方程(ds2ds2、方程2=(y-1)sinx的所有常数解为y=1dx3、若方程(3x2+axe-")dx+(3y2-x2e-")dy=0是全微分方程，则常数a=4、方程（2y-4x)dx+xdy=0的一个积分因子为x5、方程dyd'yd'y210=x+2可通过变量代换降低4阶。.sirdxsdx4dx46、方程y"-4y+4y=e+e2x+1具有形如Ae+Bxe2+C的特解。[110]2a@(t)不是方程组x=Ax的7、设@(t)是方程组x=Ax的基解矩阵，而1011基解矩阵，则α=8、已知x(t)=e"+te"、x(t)=e"+te"、x(t)=e"+e+te"是二阶线性非齐次方程x"+a(t)x'+b(t)x=c(t)的3个解，则此方程的通解为x(t)=ce"+c,e+te-[些= x(I-x- )dt9、方程组、的平衡点为(0.2)、(0.5.0.5)dy=2-3x-y(dt[×=-2x-y+的零解的稳定性为10、方程组渐近稳定y=4x-7y-)二、简答题（每小题10分，共40分）11、求方程y(1+x)dx+x(1-y)dy=0的通解。解：方程变形为(+x)_(-1)d，两边积分得方程的通解为Inlsl+x-y=C。xy
运城学院 2023—2024 学年第二学期 常微分方程试题及答案（A） 一、填空题（每空 3 分，共 30 分） 1、方程 2 3 2 d d () 1 d d r r s s = + 的阶数为 2 。 2、方程 d ( 1)sin d y y x x = − 的所有常数解为 y=1 。 3、若方程 2 2 2 (3 e ) (3 e ) 0 y y x ax dx y x dy − − + +− = 是全微分方程，则常数 a= 2 。 4、方程 2 (2 4 ) 0 y x dx xdy − += 的一个积分因子为 x 。 5、方程 5 4 3 5 4 sin 2 dy dy x dx dx + =+ 可通过变量代换 4 4 d y z dx = 降低 4 阶。 6、方程 2 4 4 ee 1 x x yyy ′′ ′ − + =+ + 具有形如 2 2 e e x x A Bx C + + 的特解。 7、设Φ ( )t 是方程组 x Ax ′ = 的基解矩阵，而 110 1 2 () 011 a t Φ 不是方程组 x Ax ′ = 的 基解矩阵，则 a= 1 。 8、已知 3 1() e e t t xt t − = + 、 2 () e e t t xt t − − = + 、 3 3 () e e e tt t xt t − − =++ 是二阶线性非齐次 方程 x at x bt x ct ′′ ′ + += () () () 的 3 个解，则此方程的通解为 3 1 2 () e e e t tt xt c c t − − =+ + 。 9、方程组 (1 ) 2 3 dx x xy dt dy x y dt = −− =− − 的平衡点为 (0, 2)、(0.5, 0.5) 。 10、方程组 2 2 4 7 x x y xy y x yx ′ =− − + ′ =−− 的零解的稳定性为 渐近稳定 。 二、简答题（每小题 10 分，共 40 分） 11、求方程 y x dx x y dy (1 ) (1 ) 0 + +− = 的通解。 解：方程变形为 (1 ) ( 1) x dx y dy x y + − = ，两边积分得方程的通解为ln xy x y c +−=
另外方程还有解y=0。..10分12、求方程ydx+（x-yx）dy=0的通解。解：方程变形为xdx+ydy-Jx'dy=0，两边同除(xy)>得xdx+yy-dv=0......6(xy)2y分=0，所以方程的通解为二+In=c。.4分进一步有dnxyxy13、求方程虫=4xe--1的通解。dx=-+4x，令?=e，得坐解：方程可化为de+4x，......5分dxdx求解得z=4(x-1)+ce，所以原方程的解为e=4(x-1)+ce*。..5分14、求方程x"+4x"+5x+2x=0的通解。解：方程的特征方程为3+42+5+2=（+2)(+1)=0，特征根为-2、-1(2重），故通解为x(t)=ce-"+c,e"+c,te。..10分三、计算题、证明题、应用题（每小题10分，共30分）[1 22]A2115(计算题)、解方程组x=Ax，其中A[2 2 1]x.[1-元221-元2解：特征方程为A-E=2=-(-5)+1)=0，所以特征根为221-元21=5,22=入3=-1。...4分12i=5对应的特征向量为α,=22=入3-1对应两个线性无关的特征向量[1].4分和α0
另外方程还有解 y=0。.10 分 12、求方程 2 ydx x yx dy +− = ( )0的通解。 解：方程变形为 2 xdx ydy yx dy +− = 0 ，两边同除(xy)2 得 2 1 0 ( ) xdx ydy dy xy y + − = 。.6 分 进一步有 1 d y ln 0 xy −− = ，所以方程的通解为 1 ln y c xy + = 。.4 分 13、求方程 4e 1 dy y x dx − = − 的通解。 解：方程可化为 e e 4 y d y x dx =− + ，令 ey z = ，得 4 dz z x dx =− + ，.5 分 求解得 4( 1) e x zx c − = −+ ，所以原方程的解为e 4( 1) e y x x c − = −+ 。.5 分 14、求方程 x xxx ′′′ ′′ ′ + ++= 4 520 的通解。 解：方程的特征方程为 3 2 2 λλλ λ λ + + += + + = 4 5 2 ( 2)( 1) 0，特征根为-2、-1(2 重)， 故通解为 2 1 23 () e e e ttt xt c c ct − −− = ++ 。.10 分 三、计算题、证明题、应用题（每小题 10 分，共 30 分） 15(计算题)、解方程组 x Ax ′ = ，其中 122 212 221 = A ， 1 2 3 x x x = x 。 解：特征方程为 2 1 22 2 1 2 ( 5)( 1) 0 2 21 A E λ λ λ λλ λ − − = − =− − + = − ，所以特征根为 λ1 = 5，λ2 =λ3 = -1。.4 分 λ1=5 对应的特征向量为 1 1 1 1 α = ，λ2=λ3=-1 对应两个线性无关的特征向量 2 1 0 1 α = − 和 3 1 1 0 α = − 。.4 分
所以通解为x=ce2分16(证明题)、设方程组x'=A(t)x中A(t)的周期为T，即A(t+T)=A(t)，且Φ(t)是它的基解矩阵。证明对任意的正整数k，Φ(t+kT)是x=A(t)x的基解矩阵，并且存在可逆矩阵B使得Φ(t+kT)=Φ(t)Bk。证明: 由 dα(+ ) _ d(+k (+ T)(+ T) 4()(+ T)得到 (kT)dtd(t+kT)是x'=A(t)x的解矩阵，又当 t=0 时(t+kT)=(kT)+0，所以Φ(tkT)是x'=A(t)x的基解矩阵。..5分由于Φ(t)和Φ(t+T)都是x=A(t)x的基解矩阵，所以存在可逆常矩阵B使得D(t+T)=Φ(t)B ，所 以Φ(t+2T)=Φ(t+T)B=Φ(t)B2,Φ(t+3T)=Φ(t+2T)B=Φ(t)B3 ，.*D(t+kT)=D(t)Bk。.5 分17(应用题)、设在时刻t，某种微生物的个体数为x(t)，已知x(t)满足Malthus模型x=rx，其中正的常数r表示微生物的增长率。设在时刻to微生物的个体数为xo，问经过多长时间微生物的个体数为to时刻的2倍？解：x'=rx的解为x=cet，由初始条件x(to)=xo得c=xe-"o，所以() e -- ..6 分.。=2，即经过时间2微生物的个体数为若x(t)=2xo，则2=er(t-to)，从而t-t=Fto时刻的2倍。..4分
所以通解为 5 12 3 11 1 10 1 1 10 tt t x ce ce ce − − = + +− − 。.2 分 16(证明题)、设方程组 x Ax ′ = ( )t 中 A(t)的周期为 T，即 A(t+T)=A(t)，且 Φ(t)是它 的基解矩阵。证明对任意的正整数 k，Φ(t+kT)是 x Ax ′ = ( )t 的基解矩阵，并且存在可逆 矩阵 B 使得 Φ(t+kT)=Φ(t)Bk 。 证明：由 () () ( ) ( ) () ( ) ( ) d t kT d t kT A t kT t kT A t t kT dt d t kT Φ+ Φ+ = = + Φ+ = Φ+ + 得到 Φ(t+kT) 是 x′=A(t)x 的解矩阵，又当 t=0 时 Φ + =Φ ≠ ( ) ()0 t kT kT ，所以 Φ(t+kT)是 x′=A(t)x 的基 解矩阵。.5 分 由于 Φ(t)和 Φ(t+T)都是 x′=A(t)x 的基解矩阵，所以存在可逆常矩阵 B 使得 Φ(t+T)=Φ(t)B ，所以 Φ(t+2T)=Φ(t+T)B=Φ(t)B2 ， Φ(t+3T)=Φ(t+2T)B=Φ(t)B3 ， . ， Φ(t+kT)=Φ(t)Bk 。.5 分 17(应用题)、设在时刻 t，某种微生物的个体数为 x(t)，已知 x(t)满足 Malthus 模 型 x rx ′ = ，其中正的常数 r 表示微生物的增长率。设在时刻 t0 微生物的个体数为 x0，问 经过多长时间微生物的个体数为 t0 时刻的 2 倍？ 解 ： x rx ′ = 的解为 x=cert ，由初始条件 x(t0)=x0 得 0 0 rt c xe− = ，所以 0 ( ) 0 ( ) rt t xt xe − = 。.6 分 若 x(t)=2x0，则 0 ( ) 2 rt t e − = ，从而 0 ln 2 t t r − = ，即经过时间 ln 2 r 微生物的个体数为 t0 时刻的 2 倍。.4 分
运城学院2023一2024学年第二学期常微分方程试题及答案（B）、填空题（每空3分，共30分）/it d'rdry2的阶数为31、方程（ds3ds2、方程％=(e"-2)cosx的所有常数解为—y=ln2dx3、若方程（3x2+2xe-）dx+(3y2+bxe-）dy=0是全微分方程，则常数b=4、方程(y?+x)dx+xydy=0的一个积分因子为x。d'y.r?d'yz=dty5、方程x=cosx+2可通过变量代换降低4阶。dx4dxtdxs的特解。6、方程y"-y=3xe+2x?具有形如x(A+Bx)e+C+Dx+Ex?[110]7、设@(t)是方程组x=Ax的基解矩阵，而1@()不是方程组x=Ax的a1[011基解矩阵，则α28、已知x(t)=e"+t、x()=e+t、x(t)=e"+e-+t是二阶线性非齐次方程x"+a(t)x+b(t)x=c(t)的3个解，则此方程的通解为x(t)=c,e"+c,e+t[ddt9、方程组的平衡点为(0.0)、(-1.0)dy-x+y-x?dt[x=-2x-y+的零解的稳定性为10、方程组渐近稳定y=4x-7y-xy二、简答题（每小题10分，共40分）11、求方程tanydx-cotxdy=0的通解。解：方程变形为sinx_cosa，两边积分得lnlcosxsiny=c，所以方程的通cosxsiny
运城学院 2023—2024 学年第二学期 常微分方程试题及答案（B） 一、填空题（每空 3 分，共 30 分） 1、方程 3 2 3 d d () 1 d d r r s s = + 的阶数为 3 。 2、方程 d (e 2)cos d y y x x = − 的所有常数解为 y=ln2 。 3、若方程 2 2 2 (3 2 e ) (3 e ) 0 y y x x dx y bx dy − − + ++ = 是全微分方程，则常数b= -1 。 4、方程 2 () 0 y x dx xydy ++ = 的一个积分因子为 x 。 5、方程 5 4 2 5 4 cos 2 dy dy xx x dx dx + =+ 可通过变量代换 4 4 d y z dx = 降低 4 阶。 6、方程 2 3e 2 x yy x x ′′ −= + 具有形如 2 ( )ex x A Bx C Dx Ex + ++ + 的特解。 7、设Φ ( )t 是方程组 x Ax ′ = 的基解矩阵，而 110 1 1 () 011 a t Φ 不是方程组 x Ax ′ = 的 基解矩阵，则 a= 2 。 8、已知 3 1() e t xt t = + 、 2 () e t xt t − = + 、 3 3 () e e t t xt t − =++ 是二阶线性非齐次方程 x at x bt x ct ′′ ′ + += () () () 的 3 个解，则此方程的通解为 3 1 2 () e e t t xt c c t − =+ + 。 9、方程组 2 dx y dt dy xyx dt = =− + − 的平衡点为 (0, 0)、(-1, 0) 。 10、方程组 2 2 4 7 x xyy y x y xy ′ =− − + ′ =−− 的零解的稳定性为 渐近稳定 。 二、简答题（每小题 10 分，共 40 分） 11、求方程 tan cot 0 ydx xdy − = 的通解。 解：方程变形为 sin cos cos sin xdx ydy x y = ，两边积分得ln cos sin x yc = ，所以方程的通
解为cosxsiny=c。另外方程还有解y=k元，k=0.±l±2...。....10分12、求方程[x+x(x2+y)]dx+ydy=0的通解。解：方程变形为xdx+ydy+x2(x2+y2)dx=0，两边同除x2+y2得xdx+ ydxdx= 0...6 分x?+ y2-In(x2 + y2)所以方程的通解为进一步有IIn(x* +y°)+..4分234x13、求方程也-tany的通解。dxcos y解：方程可化为dsiy--siny+4x，令≥=siny，得崇...5分-z+4x，dxdx求解得z=4(x-1)+ce-，所以原方程的解为siny=4(x-1)+ce-。....5分14、求方程x(4)+6x"+9x=0的通解。解：方程的特征方程为2*+622+9=(a2+3)=0，特征根为±V3i(2重)，故通解为x(t)=(c, +c,t)cos /3t+(c, +c.t)sin /3t。.....10分三、计算题、证明题、应用题（每小题10分，共30分）[-2 1 1]X015(计算题)、解方程组x=Ax，其中A203[-4 1 X1-2- 1102-元0解：特征方程为A-入E=-(+1)-2)=0，所以特征根-413-元为入=-1，入2=3=2。..4分+入2=入3=2对应两个线性无关的特征向量2i=-1对应的特征向量为α
解为cos sin x yc = 。另外方程还有解 yk k = = ±± π , 0, 1, 2,。.10 分 12、求方程 22 2 [ ( )] 0 x x x y dx ydy + + += 的通解。 解 ： 方程变形为 22 2 xdx ydy x x y dx ++ + = ( )0 ，两边同除 x 2 +y2 得 2 2 2 0 xdx ydy x dx x y + + = + 。.6 分 进一步有 1 1 22 3 ln( ) 0 2 3 d xy x ++ = ，所以方程的通解为 1 1 22 3 ln( ) 2 3 xy xc ++ = 。.4 分 13、求方程 4 tan cos dy x y dx y = − 的通解。 解：方程可化为 sin sin 4 d y y x dx =− + ，令 z y = sin ，得 4 dz z x dx =− + ，.5 分 求解得 4( 1) e x zx c − = −+ ，所以原方程的解为sin 4( 1) e x yx c − = −+ 。.5 分 14、求方程 (4) x xx + += 6 90 ′′ 的通解。 解：方程的特征方程为 4 2 22 λλ λ + += + = 6 9 ( 3) 0，特征根为 ± 3i (2 重)，故通 解为 1 2 3 4 xt c ct t c ct t ( ) ( )cos 3 ( )sin 3 =+ ++ 。.10 分 三、计算题、证明题、应用题（每小题 10 分，共 30 分） 15(计算题)、解方程组 x Ax ′ = ，其中 211 0 20 413 − = − A ， 1 2 3 x x x = x 。 解：特征方程为 2 2 11 0 2 0 ( 1)( 2) 0 4 13 A E λ λ λ λλ λ − − − = − =− + − = − − ，所以特征根 为 λ1 = -1，λ2 =λ3 = 2。.4 分 λ1 = -1 对应的特征向量为 1 1 0 1 α = ，λ2=λ3= 2 对应两个线性无关的特征向量
4分1所以通解为x=02分4]116(证明题)、设方程组x=A(t)x中A(t)的周期为T，即A(t+T)=A(t)，且Φ()是它的基解矩阵。证明对任意的正整数k，@Φ(t+kT)是x=A(t)x的基解矩阵，并且存在可逆矩阵B使得d(t+kT)=Φ(t)Bk。证明: 由 d(+k)_d(+)= 4(+ )(+ )= 40)(+ T)得到 (+T)dtd(t+kT)是x'=A(t)x的解矩阵，又当 t=0 时|(t+kT)=Φ(kT)+0，所以d(t+kT)是x'=A(t)x的基解矩阵。..5分由于Φ(t)和Φ(t+T)都是x'=A(t)x的基解矩阵，所以存在可逆常矩阵B使得D(t+T)=Φ(t)B ,所 以 Φ(t+2T)=Φ(t+T)B=D(t)B°, Φ(t+3T)=Φ(t+2T)B=Φ(t)B3,Φ(t+kT)-Φ(t)Bk。...5 分17(应用题)、设在时刻t，某种微生物的个体数为x(t)，已知x(t)满足Malthus模型x=rx，其中正的常数r表示微生物的增长率。设在时刻to微生物的个体数为xo，问经过多长时间微生物的个体数为to时刻的2倍？解：x'=rx的解为x=cet，由初始条件x(to)=xo得c=xoe-to，所以() e-.) .6 分若x(0)=2x0，则2=er-)，从而1-。=-2，即经过时间微生物的个体数为Pto时刻的2倍。..4分
2 0 1 1 α = − 和 3 1 0 4 α = 。.4 分 所以通解为 2 2 12 3 101 010 1 14 tt t x ce ce ce − =+ + − 。.2 分 16(证明题)、设方程组 x Ax ′ = ( )t 中 A(t)的周期为 T，即 A(t+T)=A(t)，且 Φ(t)是它 的基解矩阵。证明对任意的正整数 k，Φ(t+kT)是 x Ax ′ = ( )t 的基解矩阵，并且存在可逆 矩阵 B 使得 Φ(t+kT)=Φ(t)Bk 。 证明：由 () () ( ) ( ) () ( ) ( ) d t kT d t kT A t kT t kT A t t kT dt d t kT Φ+ Φ+ = = + Φ+ = Φ+ + 得到 Φ(t+kT) 是 x′=A(t)x 的解矩阵，又当 t=0 时 Φ + =Φ ≠ ( ) ()0 t kT kT ，所以 Φ(t+kT)是 x′=A(t)x 的基 解矩阵。.5 分 由于 Φ(t)和 Φ(t+T)都是 x′=A(t)x 的基解矩阵，所以存在可逆常矩阵 B 使得 Φ(t+T)=Φ(t)B ，所以 Φ(t+2T)=Φ(t+T)B=Φ(t)B2 ， Φ(t+3T)=Φ(t+2T)B=Φ(t)B3 ， . ， Φ(t+kT)=Φ(t)Bk 。.5 分 17(应用题)、设在时刻 t，某种微生物的个体数为 x(t)，已知 x(t)满足 Malthus 模 型 x rx ′ = ，其中正的常数 r 表示微生物的增长率。设在时刻 t0 微生物的个体数为 x0，问 经过多长时间微生物的个体数为 t0 时刻的 2 倍？ 解 ： x rx ′ = 的解为 x=cert ，由初始条件 x(t0)=x0 得 0 0 rt c xe− = ，所以 0 ( ) 0 ( ) rt t xt xe − = 。.6 分 若 x(t)=2x0，则 0 ( ) 2 rt t e − = ，从而 0 ln 2 t t r − = ，即经过时间 ln 2 r 微生物的个体数为 t0 时刻的 2 倍。.4 分