运城学院2021一2022学年第二学期常微分方程试题及答案（A）一、填空题（每空3分，共30分）1、方程xy+2xy+3y+6=0的常数解为y=-22、方程y"+2xy2y+y4-sinx=0的阶为2_。3、若y=x+1是方程y"+ay+by=x+2的一个解，则a=14、微分方程y=1+2x满足条件Jdx=1的解为=J=x*+x+65、当α=0或1时，方程y+P(x)y=Q(x)y是一阶线性方程。6、已知方程+p()会+(1)y=()有三个解 yl=x, y=e y=e*，则此方dx?"dx程满足y(0)=1，y(0)=2的特解为v=e2x7、常数a等于2时，方程(3x+axe)dx+3y2-xe)dy=0是全微分方程。8、方程y"+2y+y=e+t具有形为_Ate+Bt+C_的特解。[dx=dt9、方程组的平衡点为(0.0)、(L.0)dy-x+x'e"dt[dx =-3x-2ydt10、有二维系统，其平衡点(0.0)的类型为稳定结点dy=x[dt二、简答题（每小题10分，共40分）11、解方程(x+1)y+e'(x+1)?。dxdy.y+e(x+1)，其对应的齐次方程虫=一解：将方程变形得y的解为dxx+1dxx+1y=C(x+1)。令原方程的解为y=C(x)(x+1)，并带入到原方程得C(x)=e，所以C(x)=e+y，所以原方程的解为y=(x+1)e+)。..10分
运城学院 2021—2022 学年第二学期 常微分方程试题及答案（A） 一、填空题（每空 3 分，共 30 分） 1、方程 2 x y xy y ′′ ′ + + += 2 3 60 的常数解为 y = -2 。 2、方程 2 4 y xy y y x ′′ ′ + +− = 2 sin 0的阶为 2 。 3、若 y=x+1 是方程 y ay by x ′′ ′ + + =+ 2的一个解，则 a= 1 。 4、微分方程 y x ′ = +1 2 满足条件 1 0 ydx = 1 ∫ 的解为 2 1 6 yx x = ++ 。 5、当 α= 0 或 1 时，方程 y Pxy Qx ' ( ) ( )yα + = 是一阶线性方程。 6、已知方程 2 2 () () () d y dy px qxy f x dx dx + += 有三个解 y1=x，y2=ex ，y3=e2x，则此方 程满足 y(0)=1，y′(0)=2 的特解为 y=e2x 。 7、常数 a 等于 2 时，方程(3x2 +axe-y )dx + (3y2 -x 2 e -y )dy = 0 是全微分方程。 8、方程 2 e t y yy t − ′′ ′ + += + 具有形为 2 e t At Bt C − + + 的特解。 9、方程组 2 ey dx y dt dy x x dt = =− + 的平衡点为 (0, 0)、(1, 0) 。 10、有二维系统 3 2 dx x y dt dy x dt =− − = ，其平衡点(0, 0)的类型为 稳定结点 。 二、简答题（每小题 10 分，共 40 分） 11、解方程 2 ( 1) e ( 1) dy x x yx dx + =+ + 。 解：将方程变形得 1 e ( 1) 1 dy x y x dx x = ++ + ，其对应的齐次方程 1 1 dy y dx x = + 的解为 y Cx = + ( 1) 。令原方程的解为 y Cx x = + ( )( 1) ，并带入到原方程得 () ex C x ′ = ，所以 () ex C x = + γ ，所以原方程的解为 ( 1)(e ) x y x =+ + γ 。.10 分
12、解方程（x+3y2)dx+2xydy=0。aman6y,%=2y，所以原方程不是全微分方程，因为_2，解：由于%=6y.9xNayx所以方程有积分因子x，...5分方程两边同乘x?得xd+3x*yd+2xydy=0，解得x+xy?=C。.5分413、解方程会_(1-α)dtt(1+ tx)dudx2u原方程转化为典有=x+t解：令u=tx，...6分dtdtdtt(1 +u)解得ue=ct”，即xe=ct。.4分14、解方程y(4)-5y"+4y=0。解：特征方程为24_522+4=0，其根为2=1,-1,2,-2。.5分所以，通解为y=Cie*+c2e+C3e2x+Ce-2x。.5分三、计算、证明、应用题（每小题10分，共30分）[3-1115(计算题)、求x=Ax的基解矩阵，其中A=-1 5 -1[1 -1 3解：由A-E=-(元-2)-3)(元-6)=0得三个单特征根2、3、6。......3分.4分特征根2、3、6所对应的特征向量分别为11e2te3te6te3-2e6r所以基解矩阵为0.3分e6te3t-e216(证明题)、设齐次线性方程组x=A(t)和x=B(t)x有一相同的基解矩阵，证明 A(t)= B(t) 。证明：设(t)是这两个方程组相同的基解矩阵，则有'=A(t)Φ和=B(t)Φ
12、解方程 2 ( 3) 2 0 x y dx xydy + += 。 解：由于 6, 2 M N y y y x ∂ ∂ = = ∂ ∂ ，所以原方程不是全微分方程，因为 2 M N y x N x ∂ ∂ − ∂ ∂ = ， 所以方程有积分因子 x 2 ，.5 分 方程两边同乘 x 2 得 3 22 3 x dx x y dx x ydy + += 3 20 ，解得 1 4 32 4 x xy C + = 。.5 分 13、解方程 (1 ) (1 ) dx x tx dt t tx − = + 。 解：令 u=tx，有 du dx x t dt dt = + ，原方程转化为 2 t(1 ) du u dt u = + 。.6 分 解得 u 2 ue ct = ，即 tx xe ct = 。.4 分 14、解方程 y(4) – 5y" + 4y = 0。 解：特征方程为 λ4 – 5λ2 + 4 = 0，其根为 λ = 1, -1, 2, -2。.5 分 所以，通解为 y = c1e x + c2e -x + c3e 2x + c4e -2x。.5 分 三、计算、证明、应用题（每小题 10 分，共 30 分） 15(计算题)、求 x Ax ′ = 的基解矩阵，其中 3 11 15 1 1 13 A − =− − − 。 解：由 A E − =− − − − = λ λλλ ( 2)( 3)( 6) 0 得三个单特征根 2、3、6。.3 分 特征根 2、3、6 所对应的特征向量分别为 1 0 1 − 、 1 1 1 、 1 2 1 − ，.4 分 所以基解矩阵为 23 6 3 6 23 6 0 2 tt t t t tt t ee e e e ee e − − 。.3 分 16(证明题)、设齐次线性方程组 x At x ′ = ( ) 和 x Btx ′ = ( ) 有一相同的基解矩阵，证 明 At Bt () () = 。 证明：设Φ( )t 是这两个方程组相同的基解矩阵，则有Φ= Φ ′ A t( ) 和Φ= Φ ′ B t( )
所以有At)Φ=B(t)...5分又因为Φ(t)是这两个方程组的基解矩阵，所以Φ(t)可逆，上式两边同时右乘-()得A(t)=B(t)。...5分17(应用题）、种群是在一定空间中同种生物个体的组合。用x()表示1时刻的种群规模(个体数量)，其满足Logistic模型=x(1-)dt其中r为种群的内增长率，K为环境容纳量，均为正的常数，Logistic模型满足初始KK。试求经过多长时间种群规模是环境容纳量K的一半。条件x(t)=8KT下的解为x(t)=解：Logistic模型在初始条件x(to）=1+7e(--)...5分9KK/若有子则有t-t。=-1n7，即经过时间-In7种群规模是环境容纳21+7er(-%)，1量K的一半。..5分
所以有 At Bt () () Φ= Φ .5 分 又因为 Φ( )t 是这两个方程组的基解矩阵，所以 Φ( )t 可逆，上式两边同时右乘 1 ( )t − Φ 得 At Bt () () = 。.5 分 17(应用题)、种群是在一定空间中同种生物个体的组合。用 x(t)表示 t 时刻的种群 规模(个体数量)，其满足 Logistic 模型 (1 ) dx x rx dt K = − 其中 r 为种群的内禀增长率，K 为环境容纳量，均为正的常数，Logistic 模型满足初始 条件 0 ( ) 8 K x t = 。试求经过多长时间种群规模是环境容纳量 K 的一半。 解：Logistic 模型在初始条件 0 ( ) 8 K x t = 下的解为 0 ( ) ( ) 1 7 rt t K x t e− − = + ，.5 分 若有 0 ( ) 2 17 rt t K K e− − = + ，则有 0 1 t t ln 7 r − = ，即经过时间 1 ln 7 r 种群规模是环境容纳 量 K 的一半。.5 分
运城学院2021一2022学年第二学期常微分方程试题及答案（B）一、填空题（每空3分，共30分）1、方程ycosy+ye+2=0的常数解为y=-22、方程2"+(y）+2xe"=sinx的阶为2。3、若y=x+1是方程y"+ay+by=x+2的一个解，则b=14、微分方程y"=2+6x满足条件y(0)=1,y(1)=4的解为y=x+x2+x+15、当α=—0或1时，方程y'+P(x)y=Q(x)y是一阶线性方程。如有三个解力程满足y(0)=l，y(0)=1 的特解为_y=e7、常数a等于1时，方程(3x~+2xe)dx+（3y-axe)dy=0是全微分方程。8、方程y"-4y+4y=sin2t具有形为Acos2t+Bsin2t_的特解。dxdi=y9、方程组的平衡点为(0.0)、（1.0)dy-x+x?cosydtdxx-ydt10、有二维系统，其平衡点(0,0)的类型为不稳定焦点dy=2x+y(dt二、简答题（每小题10分，共40分）11、解方程(x+2)业=y+e*(x+2)?。dx解：将方程变形得虫=-5+e(x+2)，其对应的齐次方程=y的解为dxx+2dxx+2y=C(x+2)。令原方程的解为y=C(x)(x+2)，并带入到原方程得C(x)=e，所以C(x)=e+，所以原方程的解为y=(x+2)e+y)。..10分
运城学院 2021—2022 学年第二学期 常微分方程试题及答案（B） 一、填空题（每空 3 分，共 30 分） 1、方程 cos e 2 0 y y yy ′ ′ + += 的常数解为 y = -2 。 2、方程 3 2 ( ) 2 e sin y y yy x x ′′ ′ + += 的阶为 2 。 3、若 y=x+1 是方程 y ay by x ′′ ′ + + =+ 2的一个解，则 b= 1 。 4、微分方程 y x ′′ = +2 6 满足条件 y y (0) 1, (1) 4 = = 的解为 3 2 yx x x = + ++1 。 5、当 α= 0 或 1 时，方程 y Pxy Qx ' ( ) ( )yα + = 是一阶线性方程。 6、已知方程 2 2 () () () d y dy px qxy f x dx dx + += 有三个解 y1=x，y2=ex ，y3=e2x，则此方 程满足 y(0)=1，y′(0)=1 的特解为 y=ex 。 7、常数 a 等于 1 时，方程(3x 2 +2xe-y )dx + (3y2 -ax 2 e -y )dy = 0 是全微分方程。 8、方程 yyy t ′′ ′ − += 4 4 sin 2 具有形为 A tB t cos2 sin 2 + 的特解。 9、方程组 2 cos dx y dt dy xx y dt = =− + 的平衡点为 (0, 0)、(1, 0) 。 10、有二维系统 2 dx x y dt dy x y dt = − = + ，其平衡点(0, 0)的类型为 不稳定焦点 。 二、简答题（每小题 10 分，共 40 分） 11、解方程 2 ( 2) e ( 2) dy x x yx dx + =+ + 。 解：将方程变形得 1 e ( 2) 2 dy x y x dx x = ++ + ，其对应的齐次方程 1 2 dy y dx x = + 的解为 y Cx = + ( 2) 。令原方程的解为 y Cx x = + ( )( 2) ，并带入到原方程得 () ex C x ′ = ，所以 () ex C x = + γ ，所以原方程的解为 ( 2)(e ) x y x =+ + γ 。.10 分
12、解方程(+3y2)dx+2xydy=0。4aMan%=2y，所以原方程不是全微分方程，因为_2，解：由于%=6y.9xNayx所以方程有积分因子x，...5分方程两边同乘x?得xdx+3xy°dx+2xydy=0，解得+y2=C。.5分2xdx=21sinx-21 。13、解方程cosxdt解令u=six，原方程转化为崇=2mu-21。..6 分dt解得u-1=ce?，即sinx-1=ce。.4分14、解方程y(4)-y=0。解：特征方程为24_1=0，其根为入=1,-1,i,-i。….5分所以，通解为y=Cje*+C2e+C3cosx+C4sinx。..5分三、计算、证明、应用题（每小题10分，共30分）[2-33]15(计算题)、求x=Ax的基解矩阵，其中A=4-53[4-42]解：由A-E=-(-2)(+1)(+2)=0得三个单特征根2、-1、-2。....3分0..4分特征根2、-1、-2所对应的特征向量分别为[1101[e20e所以基解矩阵为3分le2016(证明题）、设齐次线性方程组x=A(t)和x=B(t)x有一相同的基解矩阵，证明A(t)= B(t) 。证明：设(t)是这两个方程组相同的基解矩阵，则有=A(t)Φ和'=B(t)Φ，所以有At)Φ=Bt)....5分
12、解方程 1 2 ( 3) 2 0 y dx xydy x + += 。 解：由于 6, 2 M N y y y x ∂ ∂ = = ∂ ∂ ，所以原方程不是全微分方程，因为 2 M N y x N x ∂ ∂ − ∂ ∂ = ， 所以方程有积分因子 x 2 ，.5 分 方程两边同乘 x 2 得 22 3 xdx x y dx x ydy + += 3 20 ，解得 1 2 32 2 x xy C + = 。.5 分 13、解方程cos 2 sin 2 dx x txt dt = − 。 解：令 u=sinx，原方程转化为 2 2 du tu t dt = − 。.6 分 解得 2 1 t u ce − = ，即 2 sin 1 t x ce − = 。.4 分 14、解方程 y(4) – y = 0。 解：特征方程为 λ4 – 1 = 0，其根为 λ = 1, -1, i, -i。.5 分 所以，通解为 y = c1e x + c2e -x + c3cosx + c4sinx。.5 分 三、计算、证明、应用题（每小题 10 分，共 30 分） 15(计算题)、求 x Ax ′ = 的基解矩阵，其中 2 33 4 53 4 42 A − = − − 。 解：由 A E − =− − + + = λ λ λλ ( 2)( 1)( 2) 0 得三个单特征根 2、-1、-2。.3 分 特征根 2、-1、-2 所对应的特征向量分别为 1 1 1 、 1 1 0 、 0 1 1 ，.4 分 所以基解矩阵为 2 2 2 2 2 0 0 t t tt t t t e e eee e e − − − − 。.3 分 16(证明题)、设齐次线性方程组 x At x ′ = ( ) 和 x Btx ′ = ( ) 有一相同的基解矩阵，证 明 At Bt () () = 。 证明：设Φ( )t 是这两个方程组相同的基解矩阵，则有Φ= Φ ′ A t( ) 和Φ= Φ ′ B t( ) ， 所以有 At Bt () () Φ= Φ .5 分
又因为Φ(t)是这两个方程组的基解矩阵，所以Φ(t)可逆，上式两边同时右乘.-(t)得A(t)= B(t)。..5 分17(应用题）、种群是在一定空间中同种生物个体的组合。用x(t)表示t时刻的种群规模(个体数量)，其满足Logistic模型虫=x(-元)dtK其中r为种群的内烹增长率，K为环境容纳量，均为正的常数，Logistic模型满足初始K。试求经过多长时间种群规模是环境容纳量K的一半。条件x(to)=XK解：Logistic模型在初始条件x(.)=会下的解为x(l)=1+3e-(-)→...5分4个若有≤二一=1+3e--，则有1-6=—ln3，即经过时间=in3种群规模是环境容纳量K的一半。..5分
又因为 Φ( )t 是这两个方程组的基解矩阵，所以 Φ( )t 可逆，上式两边同时右乘 1 ( )t − Φ 得 At Bt () () = 。.5 分 17(应用题)、种群是在一定空间中同种生物个体的组合。用 x(t)表示 t 时刻的种群 规模(个体数量)，其满足 Logistic 模型 (1 ) dx x rx dt K = − 其中 r 为种群的内禀增长率，K 为环境容纳量，均为正的常数，Logistic 模型满足初始 条件 0 ( ) 4 K x t = 。试求经过多长时间种群规模是环境容纳量 K 的一半。 解：Logistic 模型在初始条件 0 ( ) 4 K x t = 下的解为 0 ( ) ( ) 1 3 rt t K x t e− − = + ，.5 分 若有 0 ( ) 2 13 rt t K K e− − = + ，则有 0 1 t t ln3 r − = ，即经过时间 1 ln3 r 种群规模是环境容纳 量 K 的一半。.5 分