《数学分析》教素第二十章曲线积分教学目的：1.理解第一、二型曲线积分的有关概念；2.掌握两种类型曲线积分的计算方法，同时明确它们的联系。教学重点难点：本章的重点是曲线积分的概念、计算；难点是曲线积分的计算。教学时数：6学时s1第一型曲线积分第一型线积分的定义：1．几何体的质量：已知密度函数，分析线段的质量2.曲线的质量：3.第一型曲线积分的定义：定义及记法．线积分"fas,4.第一型线积分的性质：P198二. 第一型线积分的计算：1。第一型曲线积分的计算：回顾“光滑曲线”概念，Th20.1设有光滑曲线L:x=(t)，y=w(t)，te[a,].f(x,y)是定义在L上的连续函数。则I(x,y)ds -I(e(t),w()e(t) +w"()at.（证）P199若曲线方程为L：=(x)，xE[a,b]，则-1
《数学分析》教案 - 1 - 第二十章 曲线积分 教学目的：1.理解第一、二型曲线积分的有关概念；2.掌握两种类型曲线积分 的计算方法，同时明确它们的联系。 教学重点难点：本章的重点是曲线积分的概念、计算；难点是曲线积分的计 算。 教学时数：6 学时 § 1 第一型曲线积分 一. 第一型线积分的定义: 1. 几何体的质量: 已知密度函数 , 分析线段的质量 2. 曲线的质量: 3. 第一型曲线积分的定义: 定义及记法. 线积分 ,. 4. 第一型线积分的性质: P198 二. 第一型线积分的计算: 1. 第一型曲线积分的计算: 回顾“光滑曲线”概念 . Th20.1 设有光滑曲线 , . 是定 义在 上的连续函数 . 则 . ( 证 ) P199 若曲线方程为 : , 则
《数学分析》教素I(x,v)ds -f(x, w(x)/h+w"(x)axL的方程为x=()时有类似的公式例1设L是半圆周x=acost，y=asint，otI( +y)ds:P200 例 1例2设Z是曲线2=4x上从点O(0,0)到点A(1,2)的一段计算第一型曲线积分vds．P200例2空间曲线L上的第一型曲线积分：设空间曲线L：x=(),y=w(),z=x(t),te[a,].函数(t),(t)，x()连续可导，则对上的连续函数(x,y,z)，有L(x,y,z)ds=(g0), w(),2()e"()+"() +"()dt.例3计算积分ds，其中Z是球面x++z2=α被平面x++z=0截得的圆周。P201例3解由对称性知，x'as-ds-[2ds，(**+y+2)s-1s-0mIx'ds=（注意Z是大圆）382第二型曲线积分第二型曲线积分的定义：1.力场F(x,J)=(P(x,J)，Q(x,)沿平面曲线从点A到点B所作的功：- 2 -
《数学分析》教案 - 2 - . 的方程为 时有类似的公式. 例 1 设 是半圆周 , . . P200 例 1 例 2 设 是曲线 上从点 到点 的一段. 计 算第一型曲线积分 . P200 例 2 空间曲线 上的第一型曲线积分: 设空间曲线 , . 函数 连续可导, 则 对 上的连续函数 , 有 . 例 3 计算积分 , 其中 是球面 被平面 截得的圆周 . P201 例 3 解 由对称性知 , , = . ( 注意 是大圆 ) § 2 第二型曲线积分 一. 第二型曲线积分的定义: 1. 力场 沿平面曲线 从点 A 到点 B 所作的功:
《数学分析》教素先用微元法，再用定义积分的方法讨论这一问题，得W-Ja·(dx,d)，即W-as.2.．稳流场通过曲线（从一侧到另一侧）的流量：解释稳流场。（以磁场为例）.设有流速场(x,)=(P(x,)，Q(x,)。求在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的流量E设曲线AB上点M-处的切向量为=(cosα,sina)，（α是切向量方向与X轴正向的夹角：切向量方向按如下方法确定：法线方向是指从曲线的哪一侧到哪一侧，在我们现在的问题中是指从左侧到右侧的方向。切向量方向与法线向按右手法则确定，即以右手拇指所指为法线方向，则食指所指为切线方向.）.在弧段M-M，上的流量dE=（，n)dscos(α-),sin(α-=(sin a, -cosa),n因此，dE-(P(x,y),Q(x,y)) (sin a,-cosa)|ds = P(x,y) sin a| ds| -Q(x,y)cos a |ds ].由as=(dx,dy),=sin dsay，cosadsdx得dE=P(x,y)dy-Q(x,y)dx.于是通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为Ja-JaP(x)-(x)dx3第二型曲线积分的定义：闭路积分的记法.按这一定义，有-3-
《数学分析》教案 - 3 - 先用微元法 , 再用定义积分的方法讨论这一问题 , 得 , 即 . 2. 稳流场通过曲线 ( 从一侧到另一侧 ) 的流量: 解释稳流场. ( 以 磁场为例 ). 设有流速场 . 求在单位时间内通过曲线 AB 从 左侧到右侧的流量 E . 设曲线 AB 上点 处的切向量为 , ( 是切向量方向与 X 轴正向的夹角. 切向量方向按如下方法确定: 法线方 向是指从曲线的哪一侧到哪一侧, 在我们现在的问题中是指从左侧到右侧的方 向. 切向量方向与法线向按右手法则确定, 即以右手拇指所指为法线方向, 则 食指所指为切线方向 .) .在弧段 上的流量 . , 因此 , . 由 , 得 . 于是通过曲线 AB 从左侧到右侧的总流量 E 为 . 3. 第二型曲线积分的定义: 闭路积分的记法. 按这一定义 , 有
《数学分析》教案力场F(x,y)=(P(x,)，Q(x,))沿平面曲线L从点A到点B所作的功为W - LaPdx+ Qdy.流速场v(x,)=(P(x,J)，Q(x,)在单位时间内通过曲线AB从左侧到右侧的总流量E为为E=LPay-Qdx.第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性，对二型曲线积分有Ja=-Jea，因此,定积分是第二型曲线积分中当曲线为X轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场F(x,y,z)=(P(x,,z)，Q(x,y,z)，R(x,y,z))沿空间曲线AB所作的功.导出空间曲线上的第二型曲线积分l,P(x,y,z)dx+e(x,y,z)ay+R(x,y,z)dz4第二型曲线积分的性质：第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题：与我们以前讨论过的积分相比，除多了一层方向性的考虑外，其余与以前的积累问题是一样的，还是用Riemma的思想建立的积分．因此，第二型曲线积分具有（R）积分的共性，如线性、关于函数或积分曲线的可加性：但第二型曲线积分一般不具有关于函数的单调性，这是由于一方面向量值函数不能比较大小，另一方面向量值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关二。第二型曲线积分的计算：曲线的自然方向：设曲线L由参数式给出。称参数增大时曲线相应的方向为自然方向- 4 -
《数学分析》教案 - 4 - 力场 沿平面曲线 从点 A 到点 B 所作的功为 . 流速场 在单位时间内通过曲线 AB 从左侧到 右侧的总流量 E 为 . 第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分有 ,因此,定积分是第二型曲线积分中当曲线为 X 轴上的线段时的特 例. 可类似地考虑空间力场 沿空间 曲线 AB 所作的功. 导出空间曲线上的第二型曲线积分 . 4. 第二型曲线积分的性质: 第二型曲线积分可概括地理解为向量值函数的积累问题 . 与我们以前讨论 过的积分相比, 除多了一层方向性的考虑外, 其余与以前的积累问题是一样的, 还是用 Riemma 的思想建立的积分 . 因此 , 第二型曲线积分具有(R )积分的共 性 , 如线性、关于函数或积 分曲线的可加性 . 但第二型曲线积分一般不具有 关于函数的单调性 , 这是由于一方面向量值函数不能比较大小, 另一方面向量 值函数在小弧段上的积分还与弧段方向与向量方向之间的夹角有关. 二. 第二型曲线积分的计算: 曲线的自然方向: 设曲线 L 由参数式给出. 称参数增大时曲线相应的方向 为自然方向
《数学分析》教素设为光滑或按段光滑曲线，：x=()，=()，.A(e(a),w(a)，B(e(p),()：函数P(x,)和Q(x,)在L上连续，则沿L的自然方向（即从点A到点B的方向)有LP(x,)dx+Q(x,)y=[P(e(),(0)e()+(g(),(t)()t. (证略)例 1 计算积分［xydx+(y-x)ay，L的两个端点为A（1，1），B（2，3）.积分从点A到点B或闭合，路径为i>直线段ABi>抛物线=2(x-1)2+1;ii>A（1，1）→D（２，1）→B（2，3）→A（1，1），折线闭合路径：P205例1例2计算积分「xdy+ydx，这里L：i>沿抛物线=2x从点0（0，0）到点B（1，2）;i>沿直线V=2x从点0（0，0）到点B（1，2）;i>沿折线闭合路径0(0,0）→A(1,0）→B(1,2）→0(0,0).P205例1例3计算第二型曲线积分I=ydx+（x-)dy+xdz，其中L是螺旋线x=acost，y=asint，z=bt，从t=0到t=元的一段，P207例3例4求在力场F(，-x，x+y+z)作用下，-5
《数学分析》教案 - 5 - 设 L 为光滑或按段光滑曲线 , L : . A , B ; 函数 和 在 L 上连续, 则沿 L 的自然方向( 即从点 A 到点 B 的方向)有 . (证略) 例 1 计算积分 , L 的两个端点为 A( 1, 1 ) , B( 2 , 3 ). 积分从点 A 到点 B 或闭合, 路径为 ⅰ> 直线段 AB ⅱ> 抛物线 ; ⅲ> A( 1, 1 ) D( 2 , 1 ) B( 2 , 3 ) A( 1, 1 ), 折线闭合 路径 . P205 例 1 例 2 计算积分 , 这里 L : ⅰ> 沿抛物线 从点 O( 0 , 0 )到点 B( 1 , 2 ); ⅱ> 沿直线 从点 O( 0 , 0 )到点 B( 1 , 2 ); ⅲ> 沿折线闭合路径 O(0,0) A(1,0 ) B(1,2 ) O(0,0). P205 例 1 例 3 计算第二型曲线积分 I = , 其中 L 是 螺旋线 , 从 到 的一段 . P207 例 3 例 4 求在力场 作用下
《数学分析》教案i>质点由点A（α,0,0）沿螺旋线到点B（α,0,2mb）所作的功，其中LI:x=acost,y=asint,z=bt,(0stx2元).质点由点A（α,0,0）沿直线L2到点B（α,0,2m）所作的功i>P207例4- 6 -
《数学分析》教案 - 6 - ⅰ> 质点由点 A 沿螺旋线到点 B 所作的功, 其中 L : , . ⅱ> 质点由点 A 沿直线 L 到点 B 所作的功 P207 例 4