《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第一章实数集与函数.docx_大学文库

《数学分析》教案 3 第一章实数集与函数（10 学时） §１．实数教学目的：使学生掌握实数的基本性质．教学重点：（１）理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；（２）牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是分析论证的重要工具）教学难点：实数集的概念及其应用．学时安排: 2 学时教学方法：讲授．（部分内容自学）教学程序：引言上节课中，我们与大家共同探讨了《分析》这门旅程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主要内容．首先，从大家都较为熟悉的实数和函数开始． [问题] 为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实数集”上的（《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解一下实数的有关性质．一实数及其性质１、实数 ( , q p q p          正分数, 有理数为整数且q 0)或有限小数和无限小数. 负分数, 无理数:用无限不循环小数表示. R x x = − −  | 为实数全体实数的集合  ． [问题] 有理数，无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此作如下规定：对于正有限小数 0 1 , n x a a a = 其中 0 0 9, 1,2, , , 0, i n   =  a i n a a 为非负整数，记 0 1 19999 n x a a a = − ；对于正整数 0 x a = , 则记 0 x a = − ( 1).9999 ；对于负有限小数（包括负整数） y ，则先将 − y 表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．０＝ 0.0000 例： 2.001 2.0009999 → 3 2.9999 2.001 2.009999 3 2.9999 → − → − − → − 利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．但新的问题又出现了：在此规定下，如何比较实数的大小？２．两实数大小的比较

《数学分析》教案 4 1）定义１给定两个非负实数 0 1 n x a a a = ， 0 1 n y b b b = . 其中 0 0 a b, 为非负整数， , k k a b ( 1, 2, ) k = 为整数， 0 9,0 9 k k     a b ．若有 , 1,2, k k a b k = = ，则称 x 与 y 相等，记为 x y = ；若 0 0 a b  或存在非负整数 l ，使得 , 1,2, , k k a b k l = = ，而 l l 1 1 a b + +  ，则称 x 大于 y 或 y 小于 x ，分别记为 x y  或 y x  ．对于负实数 x 、 y ，若按上述规定分别有 − = − x y 或 −  − x y ，则分别称为 x y = 与 x y  （或 y x  ）．规定：任何非负实数大于任何负实数． 2）实数比较大小的等价条件（通过有限小数来比较）．定义２（不足近似与过剩近似）： 0 1 n x a a a = 为非负实数，称有理数 0 1 n x a a a = 为实数 x 的 n 位不足近似； 1 10 n n n x x = + 称为实数 x 的 n 位过剩近似；对于实数 0 1 n x a a a = − ，其 n 位不足近似 0 1 1 10 n n n x a a a = − − ； n 位过剩近似 n n 0 1 x a a a = − . 注：实数 x 的不足近似 n x 当 n 增大时不减，即有 0 1 2 x x x x     ; 过剩近似 n x 当 n 增大时不增，即有 0 1 x x x x     ．命题：记 0 1 n x a a a = ， 0 1 n y b b b = 为两个实数，则 x y  的等价条件是：存在非负整数 n，使 n n x y  （其中 n x 为 x 的 n 位不足近似， n y 为 y 的 n 位过剩近似）．命题应用————例１例１．设 x y, 为实数， x y  ，证明存在有理数 r ，满足 x r y   ．证．由 x y  ，知：存在非负整数 n，使得 n n x y  ．令 ( ) 1 2 n n r x y = + ，则 r 为有理数，且 n n x x r y y     ．即 x r y   ．３．实数常用性质（详见附录Ⅱ．Ｐ２８９－３０２）． ⚫ 封闭性（实数集Ｒ对 + −   , , , ）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为０）仍是实数． ⚫ 有序性：任意两个实数 a b, 必满足下列关系之一： a b a b a b = , , ． ⚫ 传递性； a b b c a c     , ． ⚫ 阿基米德性：       a b R b a n N , , 0 使得 na b  ． ⚫ 稠密性：两个不等的实数之间总有另一个实数． ⚫ 实数集Ｒ与数轴上的点有着一一对应关系．例２．设   a b R , ，证明：若对任何正数  ，有 a b  + ，则 a b  ．（提示：反证法．利用“有序性”，取  = −a b ）

《数学分析》教案 6 ４．设 x y R x y , ,   ，证明：存在有理数 r 满足 y r x   . [引申]：①由题１可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之一。而不要做完就完了！而要多想想，能否具体问题引出一般的结论：一般的方法？②由上述几个小题可以体会出“大学数学” 习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，而非凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语言应用。提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和工具（至此，复习告一段落）。本节主要内容：１．先定义实数集Ｒ中的两类主要的数集——区间邻域；２．讨论有界集与无界集；３．由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）。一区间与邻域１．区间（用来表示变量的变化范围）设 a b R ,  且 a b  。                   | ( , ) . | [ , ]. | [ , ) | ( , ] | [ , ). | ( , ]. | ( , ). | ( , ). | . x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R          =       =      =        =       = +    = −      = +    = −    −   + =  开区间: 有限区间闭区间: 闭开区间: 半开半闭区间开闭区间: 区间无限区间             ２．邻域联想：“邻居”。字面意思：“邻近的区域”。（看左图）。与 a 邻近的“区域”很多，到底哪一类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于 a 的对称区间”；如何用数学语言来表达呢？（１） a 的  邻域：设 a R   , 0  ，满足不等式 | | x a −   的全体实数 x 的集合称为点 a 的  邻域，记作 U a( ; )  ，或简记为 U a( ) ，即 U a x x a a a ( ; ) | | ( , )     = −  = − +   . （２）点 a 的空心  邻域 ( ; ) 0 | | ( , ) ( , ) ( )   o o U a x x a a a a a U a     =  −  = −  + . （３） a 的  右邻域和点 a 的空心  右邻域     0 0 ( ; ) [ , ) ( ) ; ( ; ) ( , ) ( ) . U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a       + + + + = + =   + = + =   + （４）点 a 的  左邻域和点 a 的空心  左邻域

《数学分析》教案 7     0 0 ( ; ) ( , ] ( ) ; ( ; ) ( , ) ( ) . U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a       + − − − = − = −   = − = −   （５）  邻域， + 邻域， − 邻域 U x x M ( ) | | ,  =    （其中Ｍ为充分大的正数）； U x x M ( ) , + =    U x x M ( ) − =  −   二有界集与无界集什么是“界”？定义１（上、下界）：设 S 为 R 中的一个数集。若存在数 M L( ) ，使得一切 x S  都有 x M x L   ( ) ，则称Ｓ为有上（下）界的数集。数 M L( ) 称为Ｓ的上界（下界）；若数集Ｓ既有上界，又有下界，则称Ｓ为有界集。若数集Ｓ不是有界集，则称Ｓ为无界集。注：１）上（下）界若存在，不唯一；２）上（下）界与Ｓ的关系如何？看下例：例 1 讨论数集 N n n + = | 为正整数 的有界性。分析：有界或无界  上界、下界？下界显然有，如取 L =1 ；上界似乎无，但需要证明。解：任取 0 n N  + ，显然有 0 n 1 ，所以 N+ 有下界１；但 N+ 无上界。证明如下：假设 N+ 有上界 M, 则 M>0，按定义，对任意 0 n N  + ，都有 0 n M ，这是不可能的，如取 0 n M = + [ ] 1, 则 0 n N  + ，且 0 n M . 综上所述知： N+ 是有下界无上界的数集，因而是无界集。例 2 证明：（１）任何有限区间都是有界集；（２）无限区间都是无界集；（３）由有限个数组成的数集是有界集。 [问题]：若数集Ｓ有上界，上界是唯一的吗？对下界呢？(答：不唯一，有无穷多个)。三确界与确界原理１、定义定义２（上确界）设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数  满足：(1) 对一切 x S  , 有 x  （即  是Ｓ的上界）; (2) 对任何   ，存在 0 x S  ，使得 0 x  （即  是Ｓ的上界中最小的一个），则称数  为数集Ｓ的上确界，记作  = sup . S 定义３（下确界）设Ｓ是Ｒ中的一个数集，若数  满足：（１）对一切 x S  , 有 x   （即  是Ｓ的下界）；（２）对任何    ，存在 0 x S  ，使得 0 x   （即  是Ｓ的下界中最大的一个），则称数  为数集Ｓ的下确界，记作  = inf S . 上确界与下确界统称为确界

《数学分析》教案83函数概念教学目的：使学生深刻理解函数概念。教学要求：（1）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法：（2）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象。会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系。教学重点：函数的概念。教学难点：初等函数复合关系的分析。学时安排：1学时教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学。教学程序：引言：关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解。为便于今后的学习，本节将对此作进一步讨论。一函数的定义1.定义1设D,MCR，如果存在对应法则f，使对VxED，存在唯一的一个数yEM与之对应则称f是定义在数集D上的函数，记作f:D→M（x→y）函数f在点x的函数值，记为f(x)，全体函数值的集合称为函数f的值域，记作f(D)。即f(D)=(yly= f(x),xeD)。2.几点说明（1）函数定义的记号中“f：D→M”表示按法则f建立D到M的函数关系，x→y表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作x→f(x）。习惯上称x自变量，y为因变量。（2）函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来。因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则。所以函数也常表示为：y=f(x),xeD.由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则。例如：1）f(x)=1,xER，g(x)=1,xERIO)（不相同，对应法则相同，定义域不同）2）p(x)=xl,xeR，y(x)=/x2,xER.（相同，对应法则的表达形式不同)。（3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）。此时，函数的记号中的定义域D可省略不写，而只用对应法则f来表示一个函数。即“函数y=f(x)”或“函数f”。（4)“映射”的观点来看，函数f本质上是映射，对于aeD，f(a)称为映射f下a的象。a称为f(a)8

《数学分析》教案 8 §３函数概念教学目的：使学生深刻理解函数概念。教学要求：（１）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表示方法；（２）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象。会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系。教学重点：函数的概念。教学难点：初等函数复合关系的分析。学时安排: 1 学时教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学。教学程序： ◆ 引言：关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解。为便于今后的学习，本节将对此作进一步讨论。一函数的定义１．定义１设 D M R ,  ，如果存在对应法则 f ，使对  x D ，存在唯一的一个数 y M 与之对应，则称 f 是定义在数集Ｄ上的函数，记作 f D M : → ( x y |→ ). 函数 f 在点 x 的函数值，记为 f x( ) ，全体函数值的集合称为函数 f 的值域，记作 f D( ) 。即 f D y y f x x D ( ) | ( ), = =   。２．几点说明（1）函数定义的记号中“ f D M : → ”表示按法则 f 建立Ｄ到Ｍ的函数关系， x y |→ 表示这两个数集中元素之间的对应关系，也记作 x f x | ( ) → 。习惯上称 x 自变量， y 为因变量。（2）函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域。当对应法则和定义域确定后，值域便自然确定下来。因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则。所以函数也常表示为： y f x x D =  ( ), . 由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则。例如：1） f x x R ( ) 1, , =  g x x R ( ) 1, \ 0 . =    （不相同，对应法则相同，定义域不同） 2） ( ) | |, , x x x R =  2 ( ) , . x x x R =  （相同，对应法则的表达形式不同）。（3）函数用公式法（解析法）表示时，函数的定义域常取使该运算式子有意义的自变量的全体，通常称为存在域（自然定义域）。此时，函数的记号中的定义域Ｄ可省略不写，而只用对应法则 f 来表示一个函数。即“函数 y f x = ( ) ”或“函数 f ”。（4）“映射”的观点来看，函数 f 本质上是映射，对于 a D ，f a( ) 称为映射 f 下 a 的象。 a 称为 f a( )

《数学分析》教案 9 的原象。（5）函数定义中，  x D ，只能有唯一的一个 y 值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同一个 x 值，可以对应多于一个 y 值，则称这种函数为多值函数。本书中只讨论单值函数（简称函数）。（６）定义１中的定义是 Cauchy 于 1834 年给出。不是完美的、现代意义上的函数定义。事实上，函数定义的产生也经历了一个从无到有，从具体到抽象。从特殊到一般，从不完美到逐步完美的过程。这个进程中充满了斗争。历史上，原始的“函数观念”伴随着数学的出现而产生，经过近两个世纪，明确提出“函数” 一词，并将其作为数学概念研究，则在１７世纪以后，现代函数定义是在１９２１年，则库拉托夫斯基给出。定义如下：设 f 是一个序偶集合，若当 ( , ) x y f  时， y z = ，则 f 称为一个函数。 —（朱家麟《浅谈函数概念的历史演讲》，《河北师范大学学报》，1990 年第４期）二函数的表示方法 1 主要方法：解析法（分式法）、列表法和图象法。 2 可用“特殊方法”来表示的函数。（１）分段函数：在定义域的不同部分用不同的公式来表示。例如 1, 0 sgn 0, 0 1, 0 x x x x    = =   −  ，（符号函数）（借助于 Sgnx 可表示 f x x ( ) | |, = 即 f x x x x ( ) | | sgn = = ）。（２）用语言叙述的函数。（注意；以下函数不是分段函数）例１） y x = [ ] （取整函数）２） 1, ( ) 0, x D x x  =   当为有理数, 当为无理数, （Ｄirichlet）３） 1 , ( , , ( ) 0, 0,1 (0,1) p p x p q N R x q q q x   =  + =    = 当为假分数), 当和内的无理数. （Riemman 函数）三函数的四则运算给定两个函数 1 2 f x D g x D , , ,   ，记 D D D = 1 2 ，并设 D   ，定义 f 与 g 在Ｄ上的和、差、积运算如下： F x f x g x x D ( ) ( ) ( ), = +  ； G x f x g x x D ( ) ( ) ( ), = −  ； H x f x g x x D ( ) ( ) ( ), =  . 若在Ｄ中除去使 g x( ) 0 = 的值，即令 D D x g x x D =    \ ( ) 0,  2  ，可在 D 上定义 f 与 g 的商运算如下； ( ) ( ) , ( ) f x L x x D g x = 

《数学分析》教案 10 注：１）若 D D D =  = 1 2  ，则 f 与 g 不能进行四则运算。２）为叙述方便，函数 f 与 g 的和、差、积、商常分别写为： , , , f f g f g fg g + − . 四复合运算１．引言在有些实际问题中函数的自变量与因变量通过另外一些变量才建立起它们之间的对应关系。例：质量为 m 的物体自由下落，速度为 v，则功率Ｅ为 2 2 2 1 1 2 2 E mv E mg t v gt  =   = =   . 抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数 1 2 ( ) , 2 f v mv v gt = = ，把 vt() 代入 f ，即得 1 2 2 ( ( )) 2 f v t mg t = . 这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”。 [问题] 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例； 2 y f u u u D u g x x x E R = =  = − = = +  = ( ) arcsin , [ 1,1], ( ) 2 , . 就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数”的定义域的交集不空（从而引出下面定义）。 2．定义（复合函数）设有两个函数 y f u u D u g x x E =  =  ( ), , ( ), ，记 E x f x D E =    ( )  ，若 E   ，则对每一个 x E  ，通过 g 对应Ｄ内唯一一个值 u ，而 u 又通过 f 对应唯一一个值 y ，这就确定了一个定义在 E 上的函数，它以 x 为自变量， y 因变量，记作 y f g x x E =  ( ( )), 或 y f g x x E =  ( )( ), 。简记为 f g 。称为函数 f 和 g 的复合函数，并称 f 为外函数， g 为内函数，u 为中间变量。 3. 例子例 1 讨论函数 y f u u u = =  + ( ) , [0, ) 与函数 2 u g x x x R = = −  ( ) 1 , 能否进行复合，求复合函数。 4 说明１）复合函数可由多个函数相继复合而成。每次复合，都要验证能否进行？在哪个数集上进行？复合函数的最终定义域是什么？例如： 2 y u u v v x = = = − sin , , 1 ，复合成： 2 y x x = −  − sin 1 , [ 1,1]. ２）不仅要会复合，更要会分解。把一个函数分解成若干个简单函数，在分解时也要注意定义域的变化。 ① 2 2 log 1 , (0,1) log , , 1 . a a y x x y u u z z x = −  → = = = − ② 2 2 y x y u u x = + → = = + arcsin 1 arcsin , 1

《数学分析》教案 11 ③ 2 sin 2 2 2 , , sin . x u y y u v v x = → = = = 五、反函数１引言在函数 y f x = ( ) 中把 x 叫做自变量， y 叫做因变量。但需要指出的是，自变量与因变量的地位并不是绝对的，而是相对的，例如： 2 f u u u t ( ) , 1, = = + 那么 u 对于 f 来讲是自变量，但对 t 来讲， u 是因变量。习惯上说函数 y f x = ( ) 中 x 是自变量， y 是因变量，是基于 y 随 x 的变化现时变化。但有时我们不公要研究 y 随 x 的变化状况，也要研究 x 随 y 的变化的状况。对此，我们引入反函数的概念。２反函数概念设函数 y f x x D =  ( ), 。满足：对于值域 f D( ) 中的每一个值 y ，Ｄ中有且只有一个值 x ，使得 f x y ( ) = ，则按此对应法则得到一个定义在 f D( ) 上的函数，称这个函数为 f 的反函数，记作 1 f f D D y x : ( ) ,( | ) − → → 或 1 x f y y f D ( ), ( ) − =  . ３注释 a) 并不是任何函数都有反函数，从映射的观点看，函数 f 有反函数，意味着 f 是Ｄ与 f D( ) 之间的一个一一映射，称 1 f − 为映射 f 的逆映射，它把 f D D ( ) → ； b) 函数 f 与 1 f − 互为反函数，并有: 1 f f x x x D ( ( )) , , −   1 f f x y y f D ( ( )) , ( ). −   c) 在反函数的表示 1 x f y y f D ( ), ( ) − =  中，是以 y 为自变量， x 为因变量。若按习惯做法用 x 做为自变量的记号， y 作为因变量的记号，则函数 f 的反函数 1 f − 可以改写为 1 y f x x f D ( ), ( ) − =  . 应该注意，尽管这样做了，但它们的表示同一个函数，因为其定义域和对应法则相同，仅是所用变量的记号不同而已。但它们的图形在同一坐标系中画出时有所差别。六初等函数 1.．基本初等函数（６类）常量函数 y C= （Ｃ为常数）；幂函数 y x R ( )  =  ；指数函数 ( 0, 1) x y a a a =   ；对数函数 log ( 0, 1) a y x a a =   ；

《数学分析》教案 12 三角函数 y x y x y tgx y tgx = = = = sin , cos , , c ；反三角函数 y x y x y arctgx y arcctgx = = = = arcsin , arccos , , 。注：幂函数 y x R ( )  =  和指数函数 ( 0, 1) x y a a a =   都涉及乘幂，而在中学数学课程中只给了有理指数乘幂的定义。下面我们借助于确界来定义无理指数幂，便它与有理指数幂一起构成实指数乘幂，并保持有理批数幂的基本性质。定义２．给定实数 a a   0, 1 ，设 x 为无理数，我们规定：     sup | , 1 | , 0 1 r x r x r a r a a a r a     =      r<x 为有理数当时, inf 为有理数当时. [问题]：这样的定义有意义否？更明确一点相应的“确界是否存在呢？” ２．初等函数定义３．由基本初等函数经过在有限次四则运算与复合运算所得到的函数，统称为初等函数如： sin 2 2 1 1 2sin cos , sin( ), l g , | | . x a e y x x y y o x y x x x − = + = = + = 不是初等函数的函数，称为非初等函数。如 Dirichlet 函数、Riemann 函数、取整函数等都是非初等函数。注：初等函数是本课程研究的主要对象。为此，除对基本初等函数的图象与性质应熟练掌握外，还应常握确定初等函数的定义域。确定定义域时应注意两点。例２．求下列函数的定义域。（１） 1 x y x = − ；（２） y x = ln | sin | . §4 具有某些特性的函数教学目的与要求 1.理解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性. 并利用定义证明函数是否具有有界性、单调性、奇偶性、周期性. 2.掌握有界函数、单调函数、奇（偶）函数、周期函数的图形特征，并加以合理地应用. 教学重点: 有界函数、单调函数、奇（偶）函数、周期函数的概念. 教学难点: 有界函数、单调函数、奇（偶）函数、周期函数的概念. 学时安排: 2 学时教学方法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可自学。教学程序：一有界函数定义 1 设 f 为定义在 D 上的函数．若存在数 M(L)，使得对每一个 x D 有 f (x)  M ( f (x)  L)

《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第一章 实数集与函数

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