83函数的概念函数的定义定义1给定两个实数集D和M，若有对应法则f，使得对D中每一个数x ，都有唯一个实数 yE M 与它相对应则称f是定义在数集D上的函数，记作f :DHMxHy数集D称为函数的定义域， 所对应的数y称为f在点x的函数值，常记为f(x），全体函数值的集合f(D) = (yl y= f(x),xeD)(c M)称为函数于的值域
1 §3函数的概念 一、函数的定义 称为函数 的值域 定义1 给定两个实数集D和M，若有对应法则 ，使得 对D中每一个数 ，都有唯一个实数 与它相对应， 则称 f 是定义在数集D上的函数，记作 f x y M f : D M x y f 数集D称为函数 的定义域， 所对应的数y称为 在点 的函数值，常记为 ，全体函数值的集合 f f f (x) x x f (D) ={y | y = f (x), x D}( M )
注意：1、函数的两要素2、求函数的定义域3、多值函数，单值函数二、 函数的表示法主要有三种：解析法（公式法）、列表法和：图象法分段函数y如符号函数[1, x≥0x=0sgn x = 3 0,X[-1, x≤02
2 注意： 1、函数的两要素 2、求函数的定义域 3、多值函数，单值函数 二、函数的表示法 主要有三种：解析法（公式法）、列表法和；图象法 分段函数 如符号函数 • 1 −1 x y − = = 1, 0 0, 0 1, 0 sgn x x x x
思考题：下列函数是否相同，为什么？1、f(x)=2lgx 与 g(x)=lgx2元2、 f (x)=x 与 g(x)=x(arcsinx+arccosx)23、f(x)=[μl 与 g(x)=Vx23
3 ( ) 2 2 1 ( ) 2lg ( ) lg 2 ( ) arcsin arccos . 2 3 ( ) ( ) . f x x g x x x g x x x x f x x g x x = = = + = = 思考题： 下列函数是否相同，为什么？ 、 与 、f(x)= 与 、 与
三函数的四则运算给定两个函数 f, x D 和 g,xE D,,记 D=D,nD,,并设D≠Φ，我们定义f与 g 在D上的和、差、积运算如下：F(x)=f(x)+g(x), xEDG(x)=f(x)-g(x), xEDH(x)=f(x)g(x), x ED若在 D中剔除使 g(x)=0的 x值，即令D* = D, N (xg(x) ± 0,x e D,) ± p,可在D*上定义f与g的商运算如下：L (x)= f (x)xe D*g(x)注：若D=D,D,=Φ，则f与g不能进行四则运算，例如:
4 三 函数的四则运算 1 2 1 2 1 2 * 1 2 , , , , , . ( ) 0 ( ) 0, , , . f x D g x D D D D D D D D D g x x D x g x x D f g x D D D D = = = = = * * 给定两个函数 和 记 ，并设 ，我们定义 f 与 g 在 D 上的和、差、积运算如下： F(x)=f(x)+g(x),x G(x)=f(x)-g(x),x H(x)=f(x)g(x),x 若在 中剔除使 的 值，即令 D 可在 D 上定义 与 的商运算如下： f(x) L(x)= g(x) 注：若 ， 则 与 不能进行四则运算，例如： f g
f(x)= /1-x2, xe D, =(x|x|≤1), g(x)= /x2 -4, xe D, =(xx|≥2)因 D,nD, = Φ， 所以表达式f(x)+g(x)= /1-x2 + /x2 -4 是没有意义的
5 2 2 1 2 1 2 2 2 ( ) 1 , 1 , ( ) 4, 2 , ( ) ( ) 1 4 f x x x D x x g x x x D x x D D f x g x x x = − = = − = = + = − + − 因 ， 所以表达式 是没有意义的
四 复合函数设有两个函数y=f(u),uED,u=g(x),xEE,若E"=(xlg(x)EDNE)+Φ, 则 VxEE",通过函数g对应D内唯一π，而u通过函数对应唯一J=f(u)u = g(x)DgxE*E(x/ g(x) E D)6
6 四 复合函数
这样，VxEE都有唯一y和它对应，因此确定了一个以x为自变量，y为因变量的函数，记作y=f(g(x），称为函数f和g的复合函数，并称f为外函数，g为内函数，u为中间变量。思考题：f(u)=/l-u2与u=arcsin(x2 + 1)是否可复合成函数?
7 2 2 f u u u x ( ) 1 arcsin( 1) = − = + 思考题： 与 是否可复合成函数？
五、反函数y反函数 =(x)Q(b,a)直接函数 =f(x)P(a,b)x六初等函数1、常数函数2、幂函数8
8 五 反函数 0 x 0 y 0 x 0 y x y 函 数 y = f (x) o x 反函数 x = ( y ) o 直接函数 y = f ( x ) x y o Q (b , a ) P ( a , b ) 反函数 y = ( x ) 六 初等函数 1、常数函数 2、幂函数 五、反函数
(α>0)的图象，以=x、2、3 的图象为例:V=xαV2-12
9 1 1 2 2 3 y x y x x x ( 0) = = 的图象，以 、 、 的图象为例:
3、指数函数图象y=ax(a>0,a ±1)4、对数函数y=log,x (a>0,a±1l) 图象:0.5-0.510
10 4 x a a ( 0, 1) x a 3、指数函数图象 y=a (a>0,a 1) 、对数函数 y=log 图象: