第七章实数的完备性教学目标：理解确界定理、区间套定理柯西收敛准则，有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理单调有界定理及其相互推证、应用。2培养严密的逻辑推理能力
数 学 分 析 第七章 实数的完备性 教学目标： 1 理解确界定理、区间套定理、 柯西收敛准则，有限覆盖定 理、聚点定理、致密性定理 、单调有界定理及其相互推 证、应用。 2 培养严密的逻辑推理能力
81关于实数集完备性的基本定理区间套定理与柯西收敛准则定义1区间套：设([αn,bn ])是一闭区间序列．若满足条件i)对Vn,有[an+I,bn+]c[an,b,],即α,≤αn+1<bn+1≤bn，亦即后一个闭区间包含在前一个闭区间中;ii） b,-a,→0,（n→α)．即当n→ 时区间长度趋于零,则称该闭区间序列为闭区间套，简称为区间套。区间套还可表达为
第七章 实数的完备性 §1 关于实数集完备性的基本定理 一 区间套定理与柯西收敛准则 定义 1 区间套: 设{[ , ]} an bn 是一闭区间序列. 若满足条件 ⅰ） 对 n , 有 [ , ] an +1 bn +1 [ , ] an bn , 即 an an+1 bn+1 bn , 亦即 后一个闭区间包含在前一个闭区间中; ⅱ） − → 0, bn an (n → ) . 即当n → 时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 . 区间套还可表达为: § 1 关于实数集完备性的基本定理
b, -an →0,α≤a ≤..≤an ≤...<...≤b ≤..≤b, ≤b..(n → ) .我们要提请大家注意的是，这里涉及两个数列（α，}和（b，}，其中(a递增,(b,}递减例如 ([-,-])和([0,-])都是区间套．但Y([1+(1), 1+21) nn(0,= 1) 和([-1 , 1+-1) 都不是.hnn区间套定理
, a1 a2 an bn b2 b1 − → 0, bn an (n → ) . 我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列{ } an 和 { } bn , 其 中{ } n a 递增,{ } n b 递减. 例如 ]} 1 , 1 {[ n n − 和 ]} 1 {[ 0 , n 都是区间套. 但 ]} 2 , 1 ( 1 ) {[1 n n n + − + 、 ]} 1 { ( 0 , n 和 ]} 1 , 1 1 {[ n n − + 都不是. 一 区间套定理
定理 7.1(区间套定理）设([α，,b,J是一闭区间套．则在实数系中存在唯一的点 ，使对Vn有e[α,,b,]简言之，区间套必有唯一公共点二聚点定理与有限覆盖定理定义设E是无穷点集．若在点（未必属于E)的任何邻域内有E的无穷多个点，则称点三为E的一个聚点数集 E={-}有唯一聚点 0，但 0 E;n开区间（0,1)的全体聚点之集是闭区间[0,1];
定理 7.1(区间套定理) 设{[ , ]} n n a b 是一闭区间套. 则在实数系 中存在唯一的点 , 使对 n 有 [ , ] n n a b . 简言之, 区间套必有 唯一公共点. 二 聚点定理与有限覆盖定理 定义 设 E 是无穷点集. 若在点 (未必属于 E )的任何邻域内 有 E 的无穷多个点, 则称点 为 E 的一个聚点. 数集 E = } 1 { n 有唯一聚点 0 , 但 0 E ; 开区间 ( 0 ,1 )的全体聚点之集是闭区间[ 0 ,1];
定理7.2（Weierstrass）任一有界数列必有收敛子列2.聚点原理：Weierstrass聚点原理Th 6每一个有界无穷点集必有聚点，l．列紧性：亦称为 Weierstrass收敛子列定理四. Cauchy 收敛准则— 数列收敛的充要条件：1. 基本列：回顾基本列概念·基本列的直观意义．基本列亦称为Cauchy列例1 验证以下两数列为 Cauchy 列 :(1) x, = 0.9sin 0.9+0.92 sin 0.9 +...+0.9" sin ^/0.9(-1)"+11.1(2)an =1352n -1
定理 7.2 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列. 2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理. Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点. 1. 列紧性: 亦称为 Weierstrass 收敛子列定理. 四． Cauchy 收敛准则 —— 数列收敛的充要条件 : 1. 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列 亦称为 Cauchy 列. 例1 验证以下两数列为 Cauchy 列 : ⑴ n n n x 0.9sin 0.9 0.9 sin 0.9 0.9 sin 0.9 2 = + ++ . ⑵ 2 1 ( 1 ) 5 1 3 1 1 1 − − = − + − + + n a n n
解(1)I xn+p - x, /=10.9n+1 sin "t/0.9 +...+0.9n+P sin "+/0.91 ≤≤0.9n+1 +...+0.9n+p 0，为使 「x+p-x,|lg 0.9于是取N=(-1) "+3(-1)"+2(-1)n+p+1(2)Ian+p-a2n+32(n+p)- 12n +1(-1)pPl112n+1 2n+32(n+ p) -1
解 ⑴ − = + + + + + + + | | | 0.9 sin 0.9 0.9 sin 0.9 | n 1 n 1 n p n p n p n x x + + + + 0.9 0.9 n 1 n p 0.9 n +1 ++ 0.9 n+ p + 1 1 10 0.9 1 0.9 0.9 + + = − = n n ; 对 0，为使 | − | n+ p n x x ，易见只要 lg 0.9 10 lg 1 n + . 于是取 N = . ⑵ 2( ) 1 ( 1) 2 3 ( 1) 2 1 ( 1) | | 2 3 1 + − − + + + − + + − − = + + + + + n n n p a a n n n p n p n 2( ) 1 ( 1) 2 3 1 2 1 1 1 + − − + + + − + = + n n n p p
当p为偶数时，注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号，有1112n+1 2n +32(n + p) - 1 福1111三+2n+32n+52n+ 72n+1 11≥0+2(n + p) -3 2(n + p) -1111又2n + 12n +32(n + p)-11112n+12n +32n+5
当 p 为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个 括号均为正号 , 有 = + − + − + − + 2( ) 1 1 2 3 1 2 1 1 n n n p 0 2( ) 1 1 2( ) 3 1 2 7 1 2 5 1 2 3 1 2 1 1 + − − + − + + + − + + + − + = n p n p n n n n , 又 = + − + − + − + 2( ) 1 1 2 3 1 2 1 1 n n n p − + − + − + = 2 5 1 2 3 1 2 1 1 n n n
2(n+ p)-12(n+p)-5 2(n+p)-3)12n+1当p为奇数时，1112n+ 12n +32(n+p)-111112n+12n+32(n+ p)-5 2(n+p)-310>2(n+p)-11112n+1 2n+32(n+ p)-1
+ − − + − − + − − 2( ) 1 1 2( ) 3 1 2( ) 5 1 n p n p n p 2 1 1 + n . 当 p 为奇数时, = + − + − + − + 2( ) 1 1 2 3 1 2 1 1 n n n p 0 2( ) 1 1 2( ) 3 1 2( ) 5 1 2 3 1 2 1 1 + − + + − − + − + + + − + = n p n n n p n p = + − + − + − + 2( ) 1 1 2 3 1 2 1 1 n n n p
1112n +12n+3 2n+52(n+p)-3 2(n+p)-11L2n+1综上，对任何自然数p，有(-1) P+11110<2n+1 2n + 32n + 12(n+p)-1 2nCauchy列的否定：例1 x, =21验证数列(x,不是 Cauchy列k=i k证对Vn，取p=n，有
2 1 1 2( ) 1 1 2( ) 3 1 2 5 1 2 3 1 2 1 1 + + − − + − − − + − + − + = n n n n n p n p . 综上 , 对任何自然数 p , 有 2 1 1 2( ) 1 ( 1) 2 3 1 2 1 1 0 1 + + − − + + + − + + n n n p n p n 1 . . Cauchy 列的否定: 例1 = = n k n k x 1 1 . 验证数列{ }n x 不是 Cauchy 列. 证 对n , 取 p = n , 有
1nI Xn+p -Xn22nn + 2n+1n+n1因此，取%=21.Cauchy收敛原理：Th 4 数列(a,收敛 （a}是 Cauchy列.（要求学生复习函数极限、函数连续的 Cauchy准则，并以Cauchy收敛原理为依据，利用Heine归并原则给出证明）五． 致密性定理：六.Heine -Borel 有限复盖定理:1．复盖：先介绍区间族G=（I，，EΛ
2 1 2 1 2 1 1 1 | | = + + + + + + + − = n n n n n n x x n p n . 因此, 取 2 1 0 = ,. 1. Cauchy 收敛原理: Th 4 数列{ an }收敛 { an }是 Cauchy 列. ( 要求学生复习函数极限、函数连续的 Cauchy 准则，并以 Cauchy 收 敛原理为依据，利用 Heine 归并原则给出证明 ) 五. 致密性定理: 六. Heine–Borel 有限复盖定理: 1. 复盖: 先介绍区间族G = { I , }