2、直角坐标系下二重积分的计算定理21、8设f(x,y)在矩形区域D=[a,b]*[c,d]上可积，且对每个x e[a,b],积分[~ (x, y)dy存在，则累次积分~dx[。 f(x,y)dy也存在,且[[ f(x, y)do=[~dx[~ f(x,y)dy. (1)D证：令F(x,y)=["f(x,y)dy,定理要求证明F(x,y)在[a,b]上可积,且积分的结果恰为二重积分。为此，对区间[a,b] [c,d]分别作分割 α= x <x, <...<x, =b,c= y<.….<y, =d。按这些
2、直角坐标系下二重积分的计算 定理21、8设f(x,y)在矩形区域D=[a,b]*[c,d]上可积，且对每个 [ , ], ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . 1 d b d c a c b d a c D x a b f x y dy dx f x y dy f x y d dx f x y dy = 积分 存在，则累次积分 也存在，且 （ ） 0 1 0 ( , ) ( , ) ( , ) [ , ] , [ , ] [ , ] , d c r s F x y f x y dy F x y a b a b c d a x x x b c y y d = = = = = 证：令 ，定理要求证明 在 上可积 且积分的结果恰为二重积分。为此，对区间 分别作分割 。按这些
分点作直线x = x,(i =1,2,·.·,r -1)及y= yr(k = 1,2,·.·s-1)它把矩形D分为rs个小矩形（如图）记△为小矩形[x,-1,x,]*[yk-1, y,](i = 1, 2, ...r, k = 1, 2, ...s); 设f(x, y)在,上的上确界和下确界为M,和mi.在区间[xi-1,x,}中任取一点s,于是就有不等式miAy,≤f(s,y)dy≤MikAyko其中△yk = Yk - Yk-1°yt因此dC+Xa
它把矩形D分为rs个小矩形（如图） x y a b c d ( 1,2, , 1) ( 1,2, 1) i k 分点作直线x x i r y y k s = = − = = − 及 1 1 [ , ] [ , ]( 1,2, , 1,2, ); i i k k x x y y i r k s − − = = 1 . [ , ] 上的上确界和下确界为M m x x ik ik i i 和 在区间 − 中任取一 1 , ( , ) k k y i ik k i ik k y m y f y dy M y − 点 于是就有不等式 。 k k k 1 y y y 其中 = − − 。 因此 记ik为小矩形 ( , ) ik 设f x y 在
2maAy, ≤F(s)= J" (e, y)dy≤≥MuAyr,k=1k=1(2)22mAy,Ax, =2F(6)4x, ≤22MikAyAx-i-1i-1 k=1i=1 k=-l其中△x, =x,-xi-1,记△,的对角线长度为d;,和|T=max diki,k由于二重积分存在，由定理21、4，当T→0时,ZmikAy;△xi,k
1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( , ) , ( ) s s d ik k i i ik k c k k r s r r s ik k k i i ik k i i k i i k m y F f y dy M y m y x F x M y x = = = = = = = = (2) → = − − = i k i k k i i k i k i i i i k i k T m y x x x x d T d , , 1 21 4 0 . | | max 由于二重积分存在，由定理 、，当 时， 其中 记 的对角线长度为 和
ZMiAy;△x，有相同的极限,且极限值等于[[ f(x,y)doi,kD因此当T|→0时，由不等式（2）可得：Z F(e,)Ax, = JJ f(x, )do.(3)lim11-0i=1D由于当|T→0时，必有 max△x,→0,因此由1≤i≤r定积分定义，（3）式左边lim≥F(e,)Ax, = T' F(x)dx = J'dx]" f(x,y)dyT→>0
, 0 1 ( , ) 0 2 lim ( ) ( , ) .(3) ik k i i k D r i i T i D M y x f x y d T F x f x y d → = → = ，有相同的极限，且极限值等于 因此当 时，由不等式（ ）可得： 1 0 1 0 max 0, 3 lim ( ) ( ) ( , ) i i r r b b d i i T a a c i T x F x F x dx dx f x y dy → = → → = = 由于当 时，必有 因此由 定积分定义（，）式左边
定理21、9设f(x,y)在矩形区域D=[a,b]*[c,d]上可积，且对每个ye[c,d],积分, f(x, y)dx存在，则累次积分"dy" f(x,y)dx也存在, 且[[ f(x,y)da =[" dyf, f(x, y)dxD特别当f(x,y)在矩形区域D[a,b]x[c,d]上连续时，则有[J f(x, y)do = I" dx" f(x, y)dy= f' dyf, f(x, y)dxD例1计算[[(x+y)’do,其中D =[0,1]×[0,1]D解：应用定理21.8（或21.9），有业
定理21、9设f(x,y)在矩形区域D=[a,b]*[c,d]上可积，且对每个 = = = b a d c d c b a D b a d c D b a d c b a f x y d dx f x y dy dy f x y dx f x y D a b c d f x y d dy f x y dx y c d f x y dx dy f x y dx ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) [ , ] [ , ] ( , ) ( , ) [ , ], ( , ) ( , ) 特别当 在矩形区域 上连续时，则有 也存在，且 积分 存在，则累次积分 2 1 ) , [0 1] [0 1] 21.8 21.9 D x y d D + = 例 计算（ 其中 ， ，。 解：应用定理 （或 ），有
x71(x+1)3Jf f(x, y)do= f, dxf(x+y)dy=-]dx =6330称平面点集D=((x,y)/ yi(x)≤y≤y2(x),α≤x≤b)(4)yydd=(x)x=x(y)Dx=x(y)Dc(aly=y(a)Cxbx0a0(b)为x型区域（图a),称平面点集(5)D=(x,y)/x(y)≤x≤x2(y),c≤y≤d)为y型区域 (图b)
1 2 称平面点集D x y y x y y x a x b = {( , ) | ( ) ( ), } 4 （ ） y d y a x b c d D ( ) 1 y = y x o (a) 为x型区域（图a),称平面点集 c D o x ( ) 1 x = x y ( ) 2 x = x y (b) D x y x y x x y c y d = { , ) | ( ) ( ), } 5 1 2 （ ） 为y型区域 (图b) 2 y y x = ( ) 3 3 1 1 1 2 0 0 0 ( 1) 7 ( , ) ( ) [ ] 3 3 6 D x x f x y d dx x y dy dx + = + = − =
定理2110若f(x,y)在如（4）式所表示的x型区域上连续其中yi(x),y2(x)在[a,b]上连续，则J f(x,y)do =f' dx r() f(x,y)dy.V(XD即二重积分克化为先对y，后对x的累次积分证：由于yi(x),y2(x)在闭区间[α,b]上连续，故总在矩形区域[a,b]×[c,d]2 D (如图a),现作一定义在[a,b]x[c,d]上的函数。f(x, y),(x,y)eDF(x,y) =T0,(x, y) @ D
即二重积分克化为先对 ，后对 的累次积分 其中 在 上连续，则 定理 、 若 在如（ ）式所表示的 型区域上连续， y x f x y d dx f x y dy y x y x a b f x y x y x y x b a D = ( ) ( ) 1 2 2 1 ( , ) ( , ) . ( ), ( ) [ , ] 21 10 ( , ) 4 1 2 ( ), ( ) [ , ] [ , ] [ , ] ( ), [ , ] [ , ] y x y x a b a b c d D a a b c d 证：由于 在闭区间 上连续，故 总在矩形区域 如图 现作一定义 在 上的函数。 F(x, y) = f (x, y),(x, y) D, 0,(x, y) D
可以验证，函数F(x,y)在[a,b]x[c,d]上可积，而且[] F(x, y)do =" dx" F(x, y)dy[l f(x, y)do =D[a,b][c,d]V2(x)XF(x, y)dy= ' dx Jr() f(x,y)dydxyi(x)例2、设D是由直线x=0,y=1及y=x围城的区域（图21-7）试计算I =「[x’e-" do的值。D解：若用先y对后对x的积分,则I=「x~dxe-"d)由于函数e-的函数无法用初等函数形式表示，因此改用另一种顺序的累次积分，则有11y3e-y?I - f' dy f' xe-" dx =-{63e
= = = = ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ] [ , ] 2 1 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) [ , ] [ , ] y x y x b a y x y x b a d c b a D a b c d dx F x y dy dx f x y dy f x y d F x y d dx F x y dy F x y a b c d 可以验证，函数 在 上可积，而且 例2、设D是由直线x=0,y=1及y=x围城的区域（图21-7）试计算 e I dy x e dx y e dy e y x I x dx e dy I x e d y y y y x y y D 3 1 6 1 3 1 , 1 0 3 1 0 0 2 1 1 0 2 2 2 2 2 2 2 = = = − = = − − − − − 因此改用另一种顺序的累次积分，则有 由于函数 的函数无法用初等函数形式表示， 解：若用先 对后对 的积分 则 的值
yTy=2xD2V=xx = 2y120X10X图21-7图21-8x+y=3例3、记算二重积分「do,其中直线y=2x,x=2yD及x+y=3所围城的三角形区域（图21-8)解：当把D看作x型区域时，相应的2x0≤x≤1y2(x)=xyi(x) =23-x1≤x≤211ii1
x yo1 D y = x 图21 - 7 x y o 1 2 12 y = 2 x x = 2 y x + y = 3 图21 - 8 = + = − = = ( ) 3 21 8 3 , 2 , 2 2 y x D x x y d y x x y D 解：当把 看作 型区域时，相应的 及 所围城的三角形区域（图 ） 例 、记算二重积分 其中直线 2x 3− x 0 x 1 1 x 2 2 ( ) 1 x y x =
所以[] do = J] do + ] do=f dx[dy+dxDDiD2- f (2x- )dx+f(3- x- )dx233-[2 x 11 +[3x - 31X244例4、求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V解：设圆柱底面积为a,两个圆柱方程为x2+y2=α与x2+z2=α2利用对称性，只要求出在第一限部分(即x≥0,≥0,z≥0)的体积，然后再乘以8即得所求的体积
2 3 ]| 4 3 ]| [3 4 3 [ ) 2 ) (3 2 (2 2 1 1 2 0 2 2 1 1 0 3 2 2 1 2 2 1 0 1 2 = + − = = − + − − = + = + − x x x dx x dx x x x d d d dx dy dx dy x x x x D D D 所以 例4、求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V 的体积 （即 的体积，然后再乘以 即得所求 与 利用对称性，只要求出在第一限部分 解：设圆柱底面积为 两个圆柱方程为 0, 0, 0) 8 , 2 2 2 2 2 2 + = + = x y z x z a a x y a