第二十章曲线积分S1第一型曲线积分
第二十章 曲线积分 §1 第一型曲线积分
一、第一类型的曲线积分的概念1.定义设L为xoy面内一条光滑曲线弧函数f(x,y)在L上有界.用L上的点Mj,M2,,Mn-,把L分成n个小段.设第i个小段的长度为As,又(S;,n;)为第个小段上任意取定的一点yB作乘积f(Si,n;)△s;Mn-1(ntMM,并作和f(S;,n;)·△s;Mi-MAi=1x1
( , ) , ( , ) , , . , ( , ) . , , , , ( , ) 1 1 2 1 = − n i i i i i i i i i i n f s f s i i s L L M M M L n L xoy f x y 并作和 作乘积 个小段上任意取定的一点 个小段设 第 个小段的长度为 又 为 第 在 上有界用 上的点 把 分 成 设 为 面内一条光滑曲线弧函 数 1.定义 o x y A B Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) i i L 一、第一类型的曲线积分的概念
如果当各小弧段的长度的最大值入→0时这和的极限存在 则称此极限为函数f(x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作[,f(x,y)ds, 即Zf(5,n,) ·As,.[, f(x,y)ds = lim2一01
( , ) lim ( , ) . , ( , ) , , ( , ) 0 , 1 0 = → = → n i i i i L L f x y ds f s f x y ds L f x y 线积分 记 作 即 在曲线弧 上对弧长的曲线积分或第一类曲 这和的极限存在 则称此极限为函数 如果当各小弧段的长度的最大值 时
2.存在条件：当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时,对弧长的曲线积分[,f(x,y)ds存在3.推广函数f(x,y,z)在空间曲线弧r上对弧长的曲线积分为f(x,y,z)ds=limEf(Sr,niS).As,20i1
2.存在条件： ( , ) . ( , ) , 对弧长的曲线积分 存 在 当 在光滑曲线弧 上连续时 L f x y ds f x y L 3.推广 曲线积分为 函 数 f (x, y,z)在空间曲线弧上对弧长的 ( , , ) lim ( , , ) . 1 0 i n i i i i f x y z ds = f s = →
注意：1. 若 L(或I)是分段光滑的，(L=L,+L,)f(x,y)ds=Jf(xy)ds+Jf(x)ds2． 函数f(x,y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为,f(x,y)ds
注意： 1. ( ) , ( ) 若 L 或 是分段光滑的 L = L1 + L2 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 1 2 = + L +L L L f x y ds f x y ds f x y ds ( , ) . 2. ( , ) L f x y ds f x y L 曲线积分记为 函 数 在闭曲线 上对弧长的
4.性质(I) ,If(x,y)± g(x,y)]ds =, f(x, y)ds± J,g(x, y)ds(2) ,kf(x, y)ds =k],f(x,y)ds (k为常数),(3) J, f(x,y)ds =J, f(x, )ds + J f(x,y)ds
4.性质 (1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) . = L L L f x y g x y ds f x y ds g x y ds (2) kf (x, y)ds k f (x, y)ds (k为常数). L L = (3) ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 = + L L L f x y ds f x y ds f x y ds
三、对弧长曲线积分的计算定理20.1设f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续x = p(t),L的参数方程为(α≤t≤β)其中(y=y(t),p(t),(t)在[α,β]上具有一阶连续导数，且J, (x, y)ds = , lp(t),y(t)/p"(t) +y"(1)dt(α<β)
二、对弧长曲线积分的计算 ( ) ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) ( ), ( ) [ , ] , ( ) ( ), ( ), ( , ) , 2 2 = + = = f x y ds f t t t t dt t t t y t x t L f x y L L 在 上具有一阶连续导数 且 的参数方程为 其中 设 在曲线弧 上有定义且连续 定理20.1
注意：1. 定积分的下限α一定要小于上限β;2.f(x,y)中x,y不彼此独立,而是相互有关的特殊情形a≤x≤b.(1) L : y = y(x)J, f(x,y)ds = f' f[x,y(x)I /1 + y"(x)dx
注意: 1. 定积分的下限 一定要小于上限 ; 2. f (x, y)中x, y不彼此独立, 而是相互有关的. 特殊情形 (1) L : y =(x) a x b. ( , ) [ , ( )] 1 ( ) . 2 f x y ds f x x x dx b L a = +
c≤y≤d.(2) L : x = @p(y)J, f(x,y)ds = J' f[o(y),yl/1+ p"(y)dy.推广: I:x=p(t), y=(t), z=w(t). (α≤t ≤β)J,f(x,y,z)ds- f" f(p(t),y(t),(t)g"(t)+y"(t) + a"(t)dt(α<β)
推广: : x = (t), y =(t), z =(t). ( t ) ( ) [ ( ), ( ), ( )] ( ) ( ) ( ) ( , , ) 2 2 2 = + + f t t t t t t dt f x y z ds (2) L : x = ( y) c y d. ( , ) [ ( ), ] 1 ( ) . 2 f x y ds f y y y dy d L c = +
x = acost,例1 求 I =[,xyds, L:椭圆(第I象限)y = bsint,41例2 求1=J,yds,0.5其中L: y2 = 4x,从(1,2)到(1,-2)一段,例3 求I =[,xyzds, 其中:x=acos o, y=asin0,z = k0的一段. (0 ≤0≤2元)
例 1 ( ). sin , cos , 求 , :椭圆 第象限 == = y b t x a t I xyds L L 例 2 : 4 , (1,2) (1, 2) . , 其中 2 从 到 一段 求 = − = L y x I yds L 例 3 . (0 2 ) , : cos , sin , = = = = 的一段 求 其中 z kI xyzds x a y a y 4x 2 =