第二章数列极限杨建雅
第二章 数列极限 杨建雅
教学目标：1°使学生初步掌握数列极限这一重要概念的内涵与延2°使学生学会用定义证明极限的基本方法3°通过知识学习，加深对数学的抽象性特点的认识；体验数学概念形成的抽象化思维方法；体验数学“符号化的意义及“数形结合”方法4°了解我国古代数学家关于极限思想的论述，增强爱国主义观念
1°使学生初步掌握数列极限这一重要概念 的内涵与延； 2°使学生学会用定义证明极限的基本方法 3°通过知识学习，加深对数学的抽象性特 点的认识；体 验数学概念形成的抽象化思 维方法；体验数学“符号化” 的意义及“数 形结合”方法； 4°了解我国古代数学家关于极限思想的论 述，增强爱国 主义观念。 教学目标：
第一节数列极限的概念一、概念的引入1、割圆术:0.5“割之弥细，所失1-0.50.5弥少，割之又割，以-0.5至于不可割，则与圆周合体而无所失笑刘徽
“割之弥细，所失 弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣” 1、割圆术： ——刘徽 一、概念的引入 第一节 数列极限的概念
正六边形的面积A正十二边形的面积A,R正6×2n-1形的面积 A,A,A,A.,...,An,... S
R 正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2 正 6 2 n−1 形的面积 An A1 , A2 , A3 , , An , S
2、截丈问题：“一尺之捶，日截其半，万世不竭”第一天截下的杖长为X,=11第二天截下的杖长总和为X,22第n天截下的杖长总和为X,2 2n
2、截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭” ; 2 1 第一天截下的杖长为 X1 = ; 2 1 2 1 2 2 第二天截下的杖长总和为 X = + ; 2 1 2 1 2 1 Xn 2 n 第n天截下的杖长总和为 = + ++ Xn n 2 1 = 1 − 1
二、数列的定义定义：按自然数编号依次排列的一列数(1)X,X2,*",Xn*称为无穷数列，简称数列.其中的每个数称为数列的项，x,称为通项（一般项).数列(1)记为(x,)例如[2")2,4,8,...,2",.111on,24'8′0
定义:按自然数编号依次排列的一列数 x1 , x2 ,, xn , (1) 称 为无穷数列,简 称数 列.其中的每个数称为 数列的项, n x 称为通项(一般项).数列(1)记为 { }n x 例如 2,4,8, ,2 , ; n , ; 2 1 , , 8 1 , 4 1 , 2 1 n {2 } n } 2 1 { n 二、数列的定义
1,-1,1,.,(-1)+1,.; ((-1)"-)rn +(-1)n-1n +(-1)n-11 422'3nn注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取Xi,X2，,Xn，…X Xi X2 X4 xn2.数列是整标函数 xn = f(n)
注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 , , , , . x1 x2 xn 1 x 2 x 3 x 4 x n x 2.数列是整标函数 x f (n). n = 1, 1,1, ,( 1) , ; − − n+1 {( 1) } −1 − n , ; ( 1) , , 3 4 , 2 1 2, 1 n n n− + − } ( 1) { 1 n n n− + −
三、数列的极限观察数列(1+ (-1)"1当 n→8时的变化趋势1.751.51.2510.750.50.2581012
} . ( 1) {1 1 观察数列 当 → 时的变化趋势 − + − n n n 三、数列的极限
问题：当n无限增大时，x，是否无限接近于某一确定的数值？如果是如何确定？通过上面的观察：(-1)n-1当 n无限增大时,x,=1-无限接近于1.n问题：“无限接近"意味着什么？如何用数学语言刻划它-1X
问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某一 确定的数值?如果是,如何确定? n n x 1. ( 1) , 1 1 当 无限增大时 无限接近于 n n x n n − − = + 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. xn − 1 = n n n 1 1 ( 1) 1 − = − 通过上面的观察：
?只要 n>100时,有|x,-11000时，有|x,-11000100011给定只要 n>10000时，有|x,-10,只要 n>N(=[-I)时,有x,-1<8成立P
, 100 1 1 n 由 只要 n 100时, , 100 1 有 xn − 1 , 1000 1 给定 只要 n 1000时, , 10000 1 , 有 xn − 1 10000 1 给定 只要 n 10000时, , 1000 1 有 xn − 1 给定 0, ]) , 1 只要 ( [ 时 n N = 有 − 1 成立. xn 100 1 给定