4二重积分的变量变换引理 设变换T:x=x(u,v),y=y(u,v)将uv平面上的由按段光滑封闭曲线所围的闭区域△，一对一地映成xy平面上的闭区域D，函数x(u,v),(u,v)在△内分别具有一阶连续a(x,y)偏导数且它们的函数行列式J(u,v)+0,(u,v) e △,三a(u, v)则区域D的面积u(D)=[J(u,v)]dudv△
( , ), ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) , ) 0,( , ) , ( , ) ( , ) T x x u v y y u v uv xy D x u v y u v x y J u v u v u v D D J u v dudv = = = = 设变换 ： 将 平面上的由按 段光滑封闭曲线所围的闭区域 ，一对一地映成 平面上 的闭区域 ，函数 在 内分别具有一阶连续 偏导数且它们的函数行列式（ 则区域 的面积（ ） 4 二重积分的变量变换 引理
12u.3yuv由于J(u,v)=>0,(u,v)e△,71u2V所以 μ(D)=[[doDurr-dudyV>rβ dvChuduAαJmV(n2 -m")(β3 -α")6α'β3
2 3 4 2 4 2 2 3 3 3 3 1 2 ( , ) 0,( , ) 1 ( ) ( )( ) 6 D n m u v v u J u v u v u v v v D d u dudv v dv udu v n m − = = − = = = − − = 由于 ， 所以
x-y例]: 求[[ eex+ydxdy，其中D是由x=0,y=0,Dx+y=1所围区域解：为了简化被积函数，令u=x-y,=x+y。1为此作变换T:x=-(v-u), 则(u+y)121122J(u,v) =>C1122 2华在变换T的作用下，区域D的原象△如图所示所以
所以 在变换 的作用下，区域 的原象 如图所示。 为此作变换 ，则 解：为了简化被积函数，令 。 所围区域 例 ：求 ，其中 是由 = − = = + = − = − = + + = = = + − T D J u v T x u v y v u u x y v x y x y e dxdy D x y D x y x y 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( , ) ( ) 2 1 ( ), 2 1 : , 1 1 0, 0
证明：下面给出当y(u,v)在△内具有二阶连续偏导数时的证明，对y=(u,)具有一阶连续偏导数条件下的证明在本章9中给出。由于T是一对一变换，且J(u,v)≠0,因而T把△的内点变为D的内点，所以△的按段光滑曲线L变为D时，其边界曲线L,也是按段光滑的。设曲线L的参数方程为u=u(t), v= v(t),(α≤t ≤β)
( ), ( ),( ) ( , ) 0, 9 ( , ) ( , ) = = = u u t v v t t L L D L D T J u v T y u v y u v D 设曲线 的参数方程为 滑的。 曲线 变为 时，其边界曲线 也是按段光 的内点变为 的内点，所以 的按段光滑 由于 是一对一变换，且 因而 把 续偏导数条件下的证明在本章 中给出。 续偏导数时的证明，对 具有一阶连 证明：下面给出当 在 内具有二阶连
由于L按段光滑，所以u'(t),v(t)在[α，βi上除去有限个第一类间断点外，在其它的点上连续。因为L，=T（L），所以L,的参数方程为x = x(t) = x(u(t), v(t)y= y(t) = y(u(t),v(t), (α≤t≤β)若规定t从α变到β时，对应L,的正向，则根拒格林公式，取P(x,y)=0.Q(x,y)= x,有μ (D)= fxdy= [" x(t)y(t)dt =JL(D)u) v()]dt,(6)Ox(u, v)[+OvOu
( , )[ ( ) ( )] ,(6) ( ) ( ) , ) 0. ( , ) , ( ) ( ( ), ( )),( ) ( ) ( ( ), ( )), ( ), ( ) [ ] ( ) v t dt v y u t u y x u v D xdy x t y t dt P x y Q x y x t L y y t y u t v t t x x t x u t v t L T L L L u t v t L D D D D + = = = = = = = = = = = （ ） 拒格林公式，取 （ 有 若规定 从 变到 时，对应 的正向，则根 参数方程为 的点上连续。因为 （ ），所以 的 上除去有限个第一类间断点外，在其它 由于 按段光滑，所以 在
另一方面，在uv平面上1du+l$x(u,v)[avduOy v(1)]dt,(7)Bt+())x(u(t)auavayoy令P (u,v)= x(u,v)O(u, v)) = x(u, v)avou在平面上对上式应用格林公式，得到apaQμ(D)=+dudyJJQuOv△由于函数y(u,v)具有二阶连续偏导数，即有
由于函数 具有二阶连续偏导数，即有， （ ） （ 在平面上对上式应用格林公式，得到 令 （ 另一方面，在 平面上 ( , ) ) , ) ( , ) , ( , ) ( , ) ( ( ), ( ))[ ( ) ( )] ,(7) ( , )[ ] y u v dudv v P u Q D v y Q u v x u v u y P u v x u v v t dt v y u t u y x u t v t dv v y du u y x u v uv L − = + = = + = + + − −
aPaQ'y-o'y因此μ(D)=OvQuOuOvOvOu+ JJ J (u, )dudv.△又因为μ（D）总是非负的，而J(u,v)在△上不为零且连续，故其连续值在△上不变号，所以μ(D) = J J (u, v)ldudv△
D J u v dudv D J u v J u v dudv D v P u Q v u y u v y − = + = = − = ( ) ( , ) ( , ) ( , ) . , ( ) 2 2 变号，所以 上不为零且连续，故其连续值在 上不 又因为 （ ）总是非负的，而 在 因此
定理21、13设在有界闭区域D上可积，变换T将平面上的按段光滑封闭曲线所围成的闭区域一对一的应成平面上的闭区域D，函数在么内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式a(x,y)+ 0,(u,v) E △,则J (u,v)=(u, v)[ f(x, y)dxdy= [[ f(x(u, v), y(u, v)]J(u, v)]dud)DA
f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv u v u v x y J u v D D T D = = ( , ) ( ( , ), ( , )) ( , ) 0,( , ) , ( , ) ( , ) , ) 21 13 （ 则 数行列式 在 内分别具有一阶连续偏导数且它们的函 域 一对一的应成平面上的闭区域 ，函数 将平面上的按段光滑封闭曲线所围成的闭区 定理 、 设在有界闭区域 上可积，变换 ：
证明用区域网把么分成n个小区域△，在变换T作用下，区域D也被分成n个小区域D，记△及D,的面积μu(△,)及μ(D,)。有μ(D,)= [[J(u,v)]dudv=J(ui,v,)u(△,),其中A,(u, v,)e ,(i= 1,2,3, ....n)作二重积分的积分和[f(x,y)dxd)的积分和Dα=Ef(8,n,)μ(D)=f(x(u, V), y(u,v)i=1i=1J(u,v,u(A,)
( , ( ) ( , ) ( ) ( ( , ), ( , )) ( , ) , ) ( 1,2,3, ). ( ) ( , ) ( , ) ( ), ( ) ( ) 1 1 i i i n i i i n i i D i i i i i i i i i i i i i J u v f D f x u v y u v f x y dxdy u v i n D J u v dudv J u v D D T D n D n i = = = = = = = − − 作二重积分的积分和 的积分和 （ 其中 及 的面积 及 。有 作用下，区域 也被分成 个小区域 ，记 证明用区域网把 分成 个小区域 ，在变换
上式右边的和式是△上的积分函数f(x(u,v),y(u,v)J(u,v)的积分和.又有变换T的连续性可得，当区域△的分割T△，2"….△n的分割TD→O,T:{Di,D2,…·Dn的分割TD也趋于零，因此得到[ f(x, y)dxdy= [[ f(x(u, v), y(u, v)]J(u, v)]dudyDA
f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv T T D D D T T f x u v y u v J u v T D n D D n D = → ( , ) ( ( , ), ( , ) ( , ) } 0, :{ , , } { ( ( , ), ( , ) ( , ) . 1 2 1 2 也趋于零，因此得到 的分割 的分割 连续性可得，当区域 的分割 ： ， ， 的积分和又有变换 的 上式右边的和式是 上的积分函数