第三节函数极限存在的条件
第三节 函数极限存在的条件
函数极限与数列极限的关系（海涅定理定理f(x)在U(xo;8)内有定义,lim f(x)存在,←任意含于U°(xo;8)数列(xn),若 lim x, = Xo 且x,± Xo:lim f(x,)都存在且相等注：本定理有如下几点注释：1本定理建立了函数极限与数列极限的关系，将函数极限的存在性转化为数列极限的存在性。2本定理通常用来证明函数极限的不存在性
lim ( ) . ( ; ) { } , lim , ( ) ( ; ) lim ( ) , 0 0 0 0 0 0 0 都存在且相等 任意含于 数列 若 且 在 内有定义， 存在 n n n n n n x x f x U x x x x x x f x U x f x → → → = 定理 注： 本定理有如下几点注释： 1 本定理建立了函数极限与数列极限的关系，将 函数极限的存在性转化为数列极限的存在性。 2 本定理通常用来证明函数极限的不存在性。 函数极限与数列极限的关系(海涅定理)
证:必要性 : lim f(x)= Ax-→xo: V>0,38>0,使当00,3N>0,使当n>N时,恒有0 <xn -xo|<8.故 lim f(xn)= A从而有f(xn)-A<8，x→00
证： ( ) . 0, 0, 0 , 0 − − f x A 使当 x x 时 恒有 f x A x x = → lim ( ) 0 0 . 0, 0, , 0 − x x N n N n 对上述 使当 时 恒有 f (x ) − A , 从而有 n lim f (x ) A. n x = → 故 lim , xn x0 xn x0 n = → 又 且 必要性
充分性的证明（略sin xsinx例如，limXx→0xlim nsin --=1n-→>8n2nn+limr2n-→8 n+lnn→8
例如, x x y sin 1 = sin lim 0 = → x x x 1, 1 lim sin = → n n n 1, 1 lim sin = → n n n 1 1 sin 1 lim 2 2 = + → + n n n n n 充分性的证明（略）
证明 lim sin－不存在,例1x-→0x证取x,[n元]y=sinlimx, = 0, 且x, ± 0;Xn->00-0.250.20.5-0.750.50.751取(x,limx, = 0, 且 x, ± 04n+ 1n>元2
x y 1 = sin 例 1 . 1 limsin 0 证明 不存在 x→ x 证 , 1 = n 取 x n lim = 0, → n n x 0 ; 且 x n , 2 4 1 1 + = n 取 x n lim = 0 , → n n x 0 ; 且 x n
1而 lim sin: limsin nπ = 0,一n→00Xnn-→004n+11而 lim sinlim sin元2n→on-→8x= lim 1= 1,n→0二者不相等，故 lim sin－不存在x→0x
n x n n n limsin 1 limsin → → 而 = = 1, 2 4 1 limsin 1 limsin + = → → n x n n n 而 lim1 → = n 二者不相等, . 1 limsin 0 故 不存在 x→ x = 0
有相互对应的单调有界准则的4种极限lim f(x);lim f(x);x→+8x→>xlim1 f(x);lim f(x);x→xx→-8lim f(x)的单调有界准则如下x→xo定理 设f(x)为定义在U°(xo;)上的单调有界函数;则右极限 lim f(x)存在。x>xo
lim f (x); x→+ lim f (x); x→− lim ( ); 0 f x x x → + lim ( ); 0 f x x x → + 则右极限 存在。 设 为定义在 上的单调有界函数， lim ( ) ( ) ( ; ) 0 0 0 f x f x U x x x → + 定理 + 有相互对应的单调有界准则的4种极限。 lim ( )的单调有界准则如下 0 f x x x → +
Cauchy收敛准则设函数 f(x) 在 U(xo;8) 内有定义。lim f(x)存在的充要条件为：V>0,3正数S<S', Vx',x"U(x;)f(x')-f(x)<8收敛函数的函数值在U°(x;)几乎“挤”在了一起。通常用Cauchy收敛准则证明函数的极限不存在
Cauchy收敛准则： 设函数 在 内有定义。 存在 的充要条件为： − | ( ') ( '')| 0, , ' , '' ( ; ), 0 0 f x f x 正数 x x U x 1 收敛函数的函数值在 几乎“挤”在了一起。 2 通常用 Cauchy收敛准则证明函数的极限不存在。 f ( x) ( ; ) 0 0 U x lim ( ) 0 f x x→x ( ; ) 0 0 U x