《数学分析》教案第三章函数极限（14学时）←引言在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”。二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例。通过数列极限的学习。应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”。例如，数列（a,这种变量即是研究当n一→+oo时，a）的变化趋势。我们知道，从函数角度看，数列(a,)可视为一种特殊的函数f，其定义域为N，值域是(a,)，即f:N,→R(n→a,);或f(n)=an,neN,或f(n)=an研究数列（a,）的极限，即是研究当自变量n→+oo时，函数f(n)变化趋势。此处函数f(n)的自变量n只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即n一→+oo。但是，如果代之正整数变量n而考虑一般的变量为xER，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x可能的变化趋势是否了仅限于×→+0一种呢？为此，考虑下列函数：[1,x+0;f(x)=[0,x= 0.类似于数列，可考虑自变量x→+80时，f(x)的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量x→-00时，f(x)的变化趋势：还可考虑自变量x一→>oo时，f(x）的变化趋势；还可考虑自变量x一>a时，f(x）的变化趋势，··由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化。但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同。而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限。下面，我们就依次讨论这些极限。s1函数极限的概念教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念：会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。教学要求：使学生逐步建立起函数极限的-定义的清晰概念。会应用函数极限的一定义证明函数的有关命题，并能运用6一语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。教学重点：函数极限的概念。教学难点：函数极限的6一8定义及其应用。学时安排：2学时教学方法：讲授：（部分内容自学）教学程序：
《数学分析》教案 第三章 函数极限 （14 学时） ◆ 引言 在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极 限”。二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例。 通过数列极限的学习。应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量 的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”。例如，数列 an 这种变量即是研究当 n → + 时， an 的变化趋势。 我们知道，从函数角度看，数列 an 可视为一种特殊的函数 f ，其定义域为 N+ ，值域是 an ，即 : ( ) n f N R n a + → → ; 或 ( ) , n f n a n N = + 或 ( ) n f n a = . 研究数列 an 的极限，即是研究当自变量 n → + 时，函数 f n( ) 变化趋势。 此处函数 f n( ) 的自变量 n 只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即 n → + 。但是，如 果代之正整数变量 n 而考虑一般的变量为 x R ，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量 x 可能的变化 趋势是否了仅限于 x → + 一种呢？ 为此，考虑下列函数: 1, 0; ( ) 0, 0. x f x x = = 类似于数列，可考虑自变量 x → + 时， f x( ) 的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量 x →− 时， f x( ) 的变化趋势；还可考虑自变量 x → 时， f x( ) 的变化趋势；还可考虑自变量 x a → 时， f x( ) 的变化 趋势, 由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化。但同时我们将看到， 这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同。而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极 限。 下面，我们就依次讨论这些极限。 §1 函数极限的概念 教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。 教学要求：使学生逐步建立起函数极限的 − 定义的清晰概念。会应用函数极限的 − 定义证明函数 的有关命题，并能运用 − 语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。 教学重点：函数极限的概念。 教学难点：函数极限的 − 定义及其应用。 学时安排: 2 学时 教学方法：讲授．（部分内容自学） 教学程序：
《数学分析》教案一、x→+oo时函数的极限1.引言设函数定义在[a,+o)上，类似于数列情形，我们研究当自变量x→>+oo时，对应的函数值能否无限地接近于某个定数A。这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质。f(x)= 1例如，x无限增大时，f(x)无限地接近于0；g(x)=arctgx,x无限增大时，f(x)无限地4接近于号；h(x)=x,x无限增大时，f(x)与任何数都不能无限地接近。正因为如此，所以才有必要考虑2 x→+oo时，(x)的变化趋势。我们把象f(x)，g(x)这样当x→+oo时，对应函数值无限地接近于某个定数A的函数称为“当x→+o时有极限A”。[间题]如何给出它的精确定义呢?类似于数列,当x→+oo时函数极限的精确定义如下2．x→>+o时函数极限的定义定义1设f为定义在[a,+o)上的函数，A为实数。若对任给的>0，存在正数M(≥α)，使得当x>M时有1f(x)-Ak8，则称函数当x→+o时以A为极限。记作lim f(x)= A或 f(x)→ A(x→+o0).3.几点注记(1)定义1中作用ε与数列极限中ε作用相同，衡量f(x)与A的接近程度，正数M的作用与数列极限定义中N相类似，表明x充分大的程度：但这里所考虑的是比M大的所有实数x，而不仅仅是正整数n。(2)limf(x)=A的邻域描述：Vs,3U(+),当xU(+)时，(x)eU(A,)(3)limf(x)=A的几何意义：对V，就有y=A+和y=A-两条直线，形成以A为中心线，以2c为宽的带形区域。“当x>M时有If(x)-AKε”表示：在直线x=M的右方，曲线y=f(x)全部落在这个带形区域内。如果ε给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线X=M一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存在正数M，使得曲线y=f(x)在x=M的右边的全部落在这个更窄的带形区域内。(4)现记f为定义在U(-0)或U(0）上的函数，当x→-00或x一→o0时，若函数值f(x）能无限地接近于常数A，则称f当x→-00或x→>0时时以A为极限，分别记作，lim f(x)= A或f(x)→A(x→-0),lim f(x)= A或 f(x)→ A(x→)。这两种函数极限的精确定义与定义1相仿，简写如下：
《数学分析》教案 一、 x → + 时函数的极限 １．引言 设函数定义在 [ , ) a + 上，类似于数列情形，我们研究当自变量 x → + 时，对应的函数值能否无限地接 近于某个定数Ａ。这种情形能否出现呢？回答是可能出现，但不是对所有的函数都具此性质。 例如 1 f x x ( ) , x = 无限增大时， f x( ) 无限地接近于０； g x arctgx x ( ) , = 无限增大时， f x( ) 无限地 接近于 2 ； h x x x ( ) , = 无限增大时， f x( ) 与任何数都不能无限地接近。正因为如此，所以才有必要考虑 x → + 时， f x( ) 的变化趋势。我们把象 f x( ) ，g x( ) 这样当 x → + 时，对应函数值无限地接近于某个定 数Ａ的函数称为“当 x → + 时有极限Ａ”。 [问题]如何给出它的精确定义呢? 类似于数列,当 x → + 时函数极限的精确定义如下. 2. x → + 时函数极限的定义 定义１ 设 f 为定义在 [ , ) a + 上的函数，Ａ为实数。若对任给的 0 ，存在正数Ｍ ( ) a ，使得当 x M 时有 | ( ) | f x A − , 则称函数 f 当 x → + 时以Ａ为极限。记作 lim ( ) x f x A →+ = 或 f x A x ( ) ( ) → → + . ３．几点注记 （１） 定义１中作用 与数列极限中 作用相同，衡量 f x( ) 与Ａ的接近程度，正数Ｍ的作用与数 列极限定义中Ｎ相类似，表明 x 充分大的程度；但这里所考虑的是比Ｍ大的所有实数 x ，而不仅仅是正 整数 n。 （２） lim ( ) x f x A →+ = 的邻域描述： + , ( ), U 当 x U + ( ) 时， f x U A ( ) ( ; ). （３） lim ( ) x f x A →+ = 的几何意义：对 ，就有 y A = + 和 y A = − 两条直线，形成以Ａ为中 心线，以 2 为宽的带形区域。“当 x M 时有 | ( ) | f x A − ”表示：在直线 x M= 的右方，曲线 y f x = ( ) 全部落在这个带形区域内。 如果 给得小一点，即带形区域更窄一点，那么直线 x M= 一般往右移；但无论带形区域如何窄，总存 在正数Ｍ，使得曲线 y f x = ( ) 在 x M= 的右边的全部落在这个更窄的带形区域内。 （４） 现记 f 为定义在 U( ) − 或 U ( ) 上的函数，当 x →− 或 x → 时，若函数值 f x( ) 能无 限地接近于常数Ａ，则称 f 当 x →− 或 x → 时时以Ａ为极限，分别记作， lim ( ) x f x A →− = 或 f x A x ( ) ( ) → → − ， lim ( ) x f x A → = 或 f x A x ( ) ( ) → → 。 这两种函数极限的精确定义与定义１相仿，简写如下：
《数学分析》教案limf(x)=AV>0,3M>0,当x0,3M>0,当|x>M时,If(x)-A。（5）推论：设f(x)为定义在U()上的函数，则lim f(x)= A lim f(x)= lim f(x)= A。4.利用limf(x)=A的定义验证极限等式举例lim ↓ = 0.例 1 证明1x个V例 2 证明1）limarctgx=；2）limarctgx=A2-X→+二、x→x时函数的极限1.引言上节讨论的函数f当x一→+oo时的极限，是假定f为定义在[a,+oo上的函数，这事实上是U（+oo），即f为定义在U(+o)上，考虑x→+oo时f(x)是否趋于某个定数A。本节假定f为定义在点x。的某个空心邻域U°（x。）内的函数，。现在讨论当x→x。(x+x。）时，对应的函数值能否趋于某个定数A数列。先看下面几个例子：例3f(x)=1(x±0).（f(x)是定义在U(0)上的函数，当x→0时，f(x)→1)x2-4例4f(x)=：（f(x)是定义在U(2)上的函数，当x→2时，f(x)→4）x-2-例5f(x)=.（f(x)是定义在U(O)上的函数，当x→>0时，f(x)→？）x由上述例子可见，对有些函数，当x一→x。(x±x。）时，对应的函数值f(x)能趋于某个定数A；但对有些函数却无此性质。所以有必要来研究当x→x。(x≠x。）时，f(x)的变化趋势。我们称上述的第一类函数f(x)为当x→x。时以A为极限，记作limf(x)=A。和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法。不是严格的数学定义。那么如何给出这类函数极限的精确定义呢？作如下分析：“当自变量x越来越接近于x时，函数值f(x)越来越接近于一个定数A”→只要x充分接近xo，函数值f(α）和A的相差就会相当小→欲使If(x)-A|相当小，只要x充分接近x就可以了。即对>0,>0，当0x-x时，都有I(x)-A。此即limf()=A
《数学分析》教案 lim ( ) x f x A →− = 0, 0, M 当 x M − 时， | ( ) | f x A − ， lim ( ) x f x A → = 0, 0, M 当 | | x M 时， | ( ) | f x A − 。 （５）推论：设 f x( ) 为定义在 U ( ) 上的函数，则 lim ( ) x f x A → = lim ( ) lim ( ) x x f x f x A →+ →− = = 。 ４．利用 lim ( ) x f x →+ ＝Ａ的定义验证极限等式举例 例１ 证明 1 lim 0 x→ x = . 例２ 证明 １） lim x 2 arctgx →− = − ；２） lim x 2 arctgx →+ = . 二、 0 x x → 时函数的极限 １．引言 上节讨论的函数 f 当 x → + 时的极限，是假定 f 为定义在 [ , ) a + 上的函数，这事实上是 U( ) + ，即 f 为定义在 U( ) + 上，考虑 x → + 时 f x( ) 是否趋于某个定数Ａ。 本节假定 f 为定义在点 0 x 的某个空心邻域 ( ) 0 U x 0 内的函数，。现在讨论当 0 0 x x x x → ( ) 时，对应的 函数值能否趋于某个定数Ａ数列。 先看下面几个例子： 例 3 f x x ( ) 1( 0) = .（ f x( ) 是定义在 0 U (0) 上的函数，当 x →0 时， f x( ) 1 → ） 例 4 2 4 ( ) 2 x f x x − = − .（ f x( ) 是定义在 0 U (2) 上的函数，当 x →2 时， f x( ) 4 → ） 例 5 1 f x( ) x = .（ f x( ) 是定义在 0 U (0) 上的函数，当 x →0 时， f x( ) ? → ） 由上述例子可见，对有些函数，当 0 0 x x x x → ( ) 时，对应的函数值 f x( ) 能趋于某个定数Ａ；但对有 些函数却无此性质。所以有必要来研究当 0 0 x x x x → ( ) 时， f x( ) 的变化趋势。 我们称上述的第一类函数 f x( ) 为当 0 x x → 时以Ａ为极限，记作 0 lim ( ) x x f x A → = 。 和数列极限的描述性说法一样，这是一种描述性的说法。不是严格的数学定义。那么如何给出这类函数 极限的精确定义呢？ 作如下分析： “当自变量 x 越来越接近于 0 x 时，函数值 f x( ) 越来越接近于一个定数Ａ” → 只要 x 充分接近 0 x ，函数 值 f x( ) 和Ａ的相差就会相当小 → 欲 使 | ( ) | f x A − 相 当小 ，只要 x 充分 接近 0 x 就可 以 了 。 即 对 0, 0 ，当 0 0 | | − x x 时，都有 | ( ) | f x A − 。此即 0 lim ( ) x x f x A → =
《数学分析》教案2.X→x(xx)时函数极限的s-S定义定义2设函数f(x)在点x的某个空心邻域U(xo;S)内有定义，A为定数，若对任给的>0,88)>0，使得当0x-x时有f(x)-A，则称函数当趋于时以A为极限（或称A为×→x时f(x)的极限），记作limf(x)=A或（f(x)→A(x→xo）3.说明如何用8-8定义来验证这种类型的函数极限4．函数极限的8一0定义的几点说明：（1）1f(x)-Ak是结论，0x-x8是条件，即由0x-x推出。（2）ε是表示函数f(x)与A的接近程度的。为了说明函数f(x)在x→x。的过程中，能够任意地接近于A，6必须是任意的。这即ε的第一个特性一一任意性，即是变量；但ε一经给定之后，暂时就把看作是不变的了。以便通过寻找，使得当0x-x时If(x)-Ak成立。这即的第二特性——暂时固定性。即在寻找的过程中ε是常量；另外，若8是任意正数，则号，c”，V.…均为任2意正数，均可扮演的角色。也即的第三个特性一一多值性；（If(x)-Af(x)-A）(3）是表示x与x的接近程度，它相当于数列极限的ε-N定义中的N。它的第一个特性是相应性。即对给定的ε>0，都有一个8与之对应，所以8是依赖于6而适当选取的，为此记之为(x;6)；一般说来，越小，越小。但是，定义中是要求由0x-x推出If(x)-Aε即可，故若满oA足此要求，则等等比8还小的正数均可满足要求，因此8不是唯一的。这即8的第二个特性一2'3多值性。（4）在定义中，只要求函数在x的某空心邻域内有定义，而一般不要求f在x处的函数值是否存在，或者取什么样的值。这是因为，对于函数极限我们所研究的是当x趋于x的过程中函数的变化趋势，与函数在该处的函数值无关。所以可以不考虑于在点a的函数值是否存在，或取何值，因而限定"04x-xo1"。(5）定义中的不等式0x-xk8xeUx,0)；1f(x)-Akf(x)eU(A)。从而定义2>0,3S>0，当xU(xo,)时，都有f(x)U(A,)>0,3>0，使得f (U°(x0,0)cU(A,3) 。（6）8-8定义的几何意义。x-4例 6 设f(x)=证明limf(x)=4x-2
《数学分析》教案 ２． 0 0 x x x x → ( ) 时函数极限的 − 定义 定义２ 设函数 f x( ) 在点 0 x 的某个空心邻域 ( ) 0 0 U x ; 内有定义，Ａ为定数，若对任给的 0, ( ) 0 ，使得当 0 0 | | − x x 时有 | ( ) | f x A − ，则称函数 f 当 x 趋于 0 x 时以Ａ为极限 （或称Ａ为 0 x x → 时 f x( ) 的极限），记作 0 lim ( ) x x f x A → = 或（ 0 f x A x x ( ) ( ) → → . 3.说明如何用 − 定义来验证这种类型的函数极限 ４．函数极限的 − 定义的几点说明： （１） | ( ) | f x A − 是结论， 0 0 | | − x x 是条件，即由 0 0 | | − x x 推出。 （２） 是表示函数 f x( ) 与Ａ的接近程度的。为了说明函数 f x( ) 在 0 x x → 的过程中，能够任意地接 近于Ａ， 必须是任意的。这即 的第一个特性——任意性，即 是变量；但 一经给定之后，暂时就 把 看作是不变的了。以便通过 寻找 ，使得当 0 0 | | − x x 时 | ( ) | f x A − 成立。这即 的第二 特性——暂时固定性。即在寻找 的过程中 是常量；另外，若 是任意正数，则 2 , , , 2 均为任 意正数，均可扮演 的角色。也即 的第三个特性——多值性；（ | ( ) | f x A − − | ( ) | f x A ） (3) 是表示 x 与 0 x 的接近程度，它相当于数列极限的 −N 定义中的Ｎ。它的第一个特性是相应性。 即对给定的 0 ，都有一个 与之对应，所以 是依赖于 而适当选取的，为此记之为 0 ( ; ) x ；一 般说来， 越小， 越小。但是，定义中是要求由 0 0 | | − x x 推出 | ( ) | f x A − 即可，故若 满 足此要求，则 , 2 3 等等比 还小的正数均可满足要求，因此 不是唯一的。这即 的第二个特性—— 多值性。 （４）在定义中，只要求函数 f 在 0 x 的某空心邻域内有定义，而一般不要求 f 在 0 x 处的函数值是否存 在，或者取什么样的值。这是因为，对于函数极限我们所研究的是当 x 趋于 0 x 的过程中函数的变化趋 势，与函数在该处的函数值无关。所以可以不考虑 f 在点 a 的函数值是否存在，或取何值，因而限定 “ 0 0 | | −x x ”。 （５）定义中的不等式 0 0 | | − x x 0 0 x U x( , ) ； | ( ) | ( ) ( ; ) f x A f x U A − 。从而定 义 ２ 0, 0 ， 当 0 0 x U x ( , ) 时，都有 f x U A ( ) ( ; ) 0, 0 ，使得 ( ) 0 0 f U x U A ( , ) ( ; ) 。 （６） − 定义的几何意义。 例 6 设 2 4 ( ) 2 x f x x − = − ，证明 2 lim ( ) 4 x f x → =
《数学分析》教案例7设f(x)=1(x0)，讨论x→0时 f(x)的极限。例8证明1）lim sinx=sinxo:2）limcosx=cosxox-1_2例9证明1lim2x2-x-13例10证明limV1-x=1-x（xk1)例11证明limC=C,lim x= xox→30X-X0-1=3;2）证明6.x+5lim练习：1）证明limx-1X三、单侧极限1引言有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如Jx,x≥0f(x)=[x,x0而趋于0时，应按fi(x)=x2来考察函数值的变化趋势；当x0而趋于0时来考察。为此，引进“单侧极限”的概念。2．单侧极限的定义定义3设函数f在U°(x;8)内有定义，A为定数。若对任给的>0,38(8)>0，使得当x<x<x+时有If(x)-Ak，则称数A为函数f当x趋于x时的右极限，记作lim f(x)=A或f(x)→A(x→xt)或f(x+0)=A。类似可给出左极限定义（U(xo;0)，x-<x<x，limf(x)=A或f(x)→A(x→x)或f(x-0)=A)注：右极限与左极限统称为单侧极限。3.例子例12讨论函数f(x)在x=0的左、右极限
《数学分析》教案 例 7 设 f x x ( ) 1( 0) = ，讨论 x →0 时 f x( ) 的极限。 例 8 证明 １） 0 0 lim sin sin x x x x → = ；２） 0 0 lim cos cos x x x x → = . 例 9 证明 2 2 1 1 2 lim x 2 1 3 x → x x − = − − . 例 10 证明 0 2 2 0 lim 1 1 x x x x → − = − 0 (| | 1) x . 例 11 证明 0 0 0 lim , lim x x x x C C x x → → = = . 练习：１）证明 3 1 1 lim 3 x 1 x → x − = − ; ２）证明 6 5 lim 6 x x →+ x + = . 三、单侧极限 １．引言 有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同，如 2 1 , 0 ( ) , 0 x x f x x x = 或函数在某些点仅在其一侧有定义，如 2 f x x x ( ) , 0 = 。 这时，如何讨论这类函数在上述各点处的极限呢？此时，不能再用前面的定义（讨论方法），而要 从这些点的某一侧来讨论。如讨论 1 f x( ) 在 x →0 时的极限。要在 x = 0 的左右两侧分别讨论。即当 x 0 而趋于０时，应按 2 1 f x x ( ) = 来考察函数值的变化趋势；当 x 0 而趋于０时，应按 1 f x x ( ) = 来 考察函数值的变化趋势；而对 2 f x( ) ，只能在点 x = 0 的右侧，即 x 0 而趋于０时来考察。为此，引进 “单侧极限”的概念。 ２．单侧极限的定义 定义３ 设函数 f 在 0 0 U x( ; ) + 内有定义，Ａ为定数。若对任给的 0, ( ) 0 ，使得当 0 0 x x x + 时有 | ( ) | f x A − , 则称数Ａ为函数 f 当 x 趋于 0 x 时的右极限，记作 0 lim ( ) x x f x A → + = 或 0 f x A x x ( ) ( ) → → + 或 0 f x A ( 0) + = 。 类似可给出左极限定义（ 0 0 U x( ; ) − ， 0 0 x x x − ， 0 lim ( ) x x f x A → − = 或 0 f x A x x ( ) ( ) → → − 或 0 f x A ( 0) − = ）. 注：右极限与左极限统称为单侧极限。 ３．例子 例 12 讨论函数 1 f x( ) 在 x = 0 的左、右极限
《数学分析》教案例13讨论sgnx在x=0的左、右极限。例14讨论函数/1-x2在±1处的单侧极限。4。函数极限limf(x)与limf(x),limf(x)的关系。定理3.1lim f(x)= A- lim f(x)= lim f(x)= A注：1）利用此可验证函数极限的存在，如由定理3.1知：limf(x)=0。还可说明某些函数极限不存在，如由例2知limsgnx不存在。2）f(+0)，f(x-0)，f(x）可能毫无关系，如例2。82函数极限的性质教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。学时安排：3学时教学方法：讲练结合。教学程序：引言在$1中我们引进了下述六种类型的函数极限：1)limf(x);2)limf(x);3)limf(x);4)limf(x);5)limf(x);6)limf(x)→Xo它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以limf(x）为代表来叙述并证明这些性质。至于其它类型极限的性质及其证明，只要作相应的修改即可。定理3.2(唯一性）若极限limf(x)存在，则此极限是唯一的.证设A,B都是f当x→x时的极限，则对任给的ε>O，分别存在正数8与8,，使得当0<x-x<8时有IF(x)-A|<,(1)当0x-x<时有[(x)-B|<8,(2)取8=min(8,8,），则当0<x-x<8时，（1)式与(2)式同时成立，故有A-B=(f(x)-A)-(f(x)-B) ≤f(x)-A/ +f(x)-B<28
《数学分析》教案 例 13 讨论 sgn x 在 x = 0 的左、右极限。 例 14 讨论函数 2 1− x 在 1 处的单侧极限。 ４。函数极限 0 lim ( ) x x f x → 与 0 0 lim ( ), lim ( ) x x x x f x f x → → + − 的关系。 定理３.１ 0 0 0 lim ( ) lim ( ) lim ( ) x x x x x x f x A f x f x A → → → + − = = = . 注：１）利用此可验证函数极限的存在，如由定理 3.1 知： 1 0 lim ( ) 0 x f x → = 。还可说明某些函数极限不存 在，如由例２知 0 limsgn x x → 不存在。２） 0 f x( 0) + ， 0 f x( 0) − ， 0 f x( ) 可能毫无关系，如例２。 §２ 函数极限的性质 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。 教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。 教学重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。 学时安排: 3 学时 教学方法：讲练结合。 教学程序： ◆ 引言 在§１中我们引进了下述六种类型的函数极限： １） lim ( ) x f x →+ ；２） lim ( ) x f x →− ；３） lim ( ) x f x → ；４) 0 lim ( ) x x f x → ;５） 0 lim ( ) x x f x → + ；６） 0 lim ( ) x x f x → − . 它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以 0 lim ( ) x x f x → 为代表来叙述并证明这些性质。至于其它类型 极限的性质及其证明，只要作相应的修改即可。 定理 3.2(唯一性) 若极限 f (x) x x0 lim → 存在，则此极限是唯一的． 证 设 , 都是 f 当 0 x → x 时的极限，则对任给的 0 ，分别存在正数 1 与 2 ，使得当 0 − 0 1 x x 时有 f (x)− ， (1) 当 0 − 0 2 x x 时有 f (x)− ， (2) 取 ( ) 1 2 = min , ，则当 0 x − x0 时，(1)式与(2)式同时成立，故有 − = ( f (x)− ) − (f (x)−) f (x)− + f (x)− 2
《数学分析》教案由ε的任意性得A=B，这就证明了极限是唯一的定理3.3（局部有限性）若limf(x)存在，则f在x。的某空心邻域U(x）内有界.证设limf(x)=A取g=1，则存在g>0使得对一切xeU(xo;8)有[f(x)-A/0（或r>0 (或f(x)0，对任何re(0,A)，取ε=A-r，则存在>0，使得对一切xeU'(x;0)f(x)>A-8=r,这就证得结论：对于A0，分别存在正数,与S,使得当0<x-xol<8,时有A-ε<f(x),当0<x-<8时有g(x)<B+6令=min(s,j,8)，则当0<x-xo<8时，不等式f(x)≤g(x)与(4)、(5)两式同时成立，于是有A-<f(x)≤g(x)<B+6从而A<B+2.由6的任意性推出A≤B，即(3)式成立定理3.6(迫敛性）设lim f(x)=lim g(x)=A，且在某U°(xo;8)内有f(x)≤h(x)≤g(x)
《数学分析》教案 由 的任意性得 = ，这就证明了极限是唯一的. 定理 3.3（局部有限性）若 f (x) x x0 lim → 存在，则 f 在 0 x 的某空心邻域 ( ) 0 0 U x 内有界． 证 设 ( ) = → f x x x0 lim ．取 =1 ，则存在 0 使得对一切 ( ; ) 0 0 x U x 有 f (x)− 1 f (x) +1 这就证明了 f 在 ( ; ) 0 0 U x 内有界． 定理 3.4(局部保号性) 若 lim ( ) 0 0 = → f x x x (或 0 )，则对任何正数 r （或 r −) ，存在 ( ) 0 0 U x ， 使得对一切 ( ) 0 0 x U x 有 f (x) r 0 （或 f (x) −r 0 ） 证 设 0 ，对任何 r (0,) ，取 = − r ，则存在 0 ，使得对一切 ( ; ) 0 0 x U x f (x) − = r ， 这就证得结论．对于 0 的情形可类似地证明． 注 在以后应用局部保号性时，常取 2 A r = ． 定理 3.5(保不等式性) 设 f (x) x x0 lim → 与都 g(x) x x0 lim → 都存在，且在某邻域 ( ) ' 0 0 U x ; 内有 f (x) g(x) 则 f (x) x x0 lim → g(x) x x0 lim → （３） 证 设 f (x) x x0 lim → ， g(x) x x0 lim → ，则对任给的 0 ， 分别 存在 正数 1 与 2 使 得 当 0 − 0 1 x x 时有 − f (x)， 当 0 − 0 2 x x 时有 g(x) + 令 ( ) 1 2 ' = min , , ，则当 0 x − x0 时，不等式 f (x) g(x) 与(4)、(5)两式同时成立，于是有 − f (x) g(x) + 从而 + 2 ．由 的任意性推出 ，即(3)式成立． 定理 3.6(迫敛性) 设 f (x) x x0 lim → g(x) x x0 lim → Ａ，且在某 ( ) ' 0 0 U x ; 内有 f (x) h(x) g(x)
《数学分析》教案则 lim h(x)= A .r-→x证按假设，对任给的>0，分别存在正数与8，使得当00时有而lim(1-x=1)故由迫敛性得：limX→0xlim另一方面，当x<0有1<-x，故又由迫敛性又可得：-0综上，我们求得limX-→0
《数学分析》教案 则 ( ) = → h x x x0 lim ． 证 按假设，对任给的 0 ，分别存在正数 1 与 2 ，使得当 0 − 0 1 x x 时有， − f (x) (7) 当 0 − 0 2 x x 时有 g(x) + (8) 令 ( ) 1 2 ' = min , , ，则当 0 x − x0 时，不等式(6)、(7)、(8)同时成立， 故有 − f (x) h(x) g(x) + 由此得 h(x)− ，所以 ( ) = → h x x x0 lim 定理 3.7（四则运算法则）若极限 f (x) x x0 lim → 与 g(x) x x0 lim → 都存在，则函数 f g, f g 当 0 x → x 时极限也存在，且 1) 0 lim x→x f (x) g(x) = 0 lim x→x f (x) 0 lim x→x g(x) ； 2） 0 lim x→x f (x)g(x) = 0 lim x→x f (x)． 0 lim x→x g(x) ； 又若 0 lim x→x g(x) 0 ，则 f | g 当 0 x → x 时极限存在，且有 3） 0 lim x→x ( ) ( ) = g x f x f (x) g(x) x x x x 0 0 lim lim → → ． 这个定理的证明类似于数列极限中的相应定理，留给学生作为练习． 利用函数极限的迫敛性与四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发，计算较复杂的函数极限． 例 1 求 0 lim x→ x x 1 解 当 x 0 时有 1− x x x 1 1， 而 lim (1 1) 0 − = → + x x 故由迫敛性得： → − 0 lim x x x 1 1 另一方面，当 x 0 有 1 x x 1 1− x ，故又由迫敛性又可得： → − 0 lim x x x 1 = 1 综上，我们求得 0 lim x→ x x 1 = 1
《数学分析》教案例 2求lim (xtanx-1)3sin x及$1例4所得的，解由xtanx=xcosx_V2lim sin x = sin = lim cosx,421-X并按四则运算法则有lim sin x1--lim1=元-1lim (x tan x -1)= lim xlim cosx41→x3例 3求 limx+1 x3+1解当x+1+0时有13(x +1)(x - 2)x-2x+1 x3+1x3 +1x2-x+1故所求的极限等于x-2-1-2limI-1 x? -X+1(-1)2 -(-1)+1例 4证明limα=1(a>1)证任给8>0（不妨设1时）的严格增性，只要log.(1-s)<x<log.(1+8)于是，令8 = min (log. (1 +s),-log.(1-s))则当0<<8时，就有(9)式成立，从而证得结论，小结与提问：本节要求学生理解掌握函数极限的性质，并利用其讨论相关命题.指导学生对定理的应用作总结课外作业：Ps12、3、5、7、8、9.S3函数极限存在条件教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。教学重点：海涅定理及柯西准则。教学难点：海涅定理及柯西准则运用。学时安排：3学时教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用
《数学分析》教案 例 2 求 lim ( tan 1) 4 − → x x x 解由 x tan x x x x cos sin = 及§1 例 4 所得的， x x lim sin 4 → 4 sin = 2 2 = x x lim cos 4 → = ， 并按四则运算法则有 lim ( tan 1) 4 − → x x x 4 lim x→ x − → → x x x x lim cos lim sin 4 4 4 lim x→ 1 1 4 − 例 3 求 + − →− + 1 3 1 1 lim 3 x 1 x x ． 解 当 x +1 0 时有 ( )( ) 1 2 1 1 2 1 3 1 1 3 3 2 − + − = + + − = + − + x x x x x x x x 故所求的极限等于 ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 1 2 lim 2 2 1 = − − − − + − − = − + − →− x x x x 例 4 证明 lim 1( 1) 0 = → a a x x 证 任给 0 (不妨设 1 )，为使 −1 x a （9） 即 1− x a 1+ ，利用对数函数 x a log （当 a 1 时）的严格增性，只要 log (1− ) log (1+ ) a a x 于是，令 = min log a (1+ ),−log a (1− )， 则当 0 x 时，就有(9)式成立，从而证得结论． 小结与提问:本节要求学生理解掌握函数极限的性质，并利用其讨论相关命题.指导学生对定理的应用作总结. 课外作业: P51 2、3、5、7、8、9. §３ 函数极限存在条件 教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。 教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。 教学重点：海涅定理及柯西准则。 教学难点：海涅定理及柯西准则运用。 学时安排: 3 学时 教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用
《数学分析》教案教学程序：◆引言在讨论数列极限存在条件时，我们曾向大家介绍过“单调有界定理”和“柯西收敛准则”。我们说数列是特殊的函数，那么对于函数是否也有类似的结果呢？或者说能否从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性呢？这是本节的主要任务。本节的结论只对x→x这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的。首先介绍一个很主要的结果一一海涅(Heine)定理（归结原则）。定理3.8(归结原则）设于在U°(ro;8)内有定义，lim(s）存在的充要条件是：对任何含于U°xo;8")且以x。为极限的数列(x)，极限limf(x）都存在且相等.证[必要性】设lim(x)=A则对任给的ε>0，存在正数)，使得当00，存在N>0，使得当n>N时有00，对任何8>0（不论多么小)，总存在一点x，尽管0x-x1<8，但有1f(x)-A%（1习题2)现依次取=8..号，则存在相应的点，，…，使得04x,-xoko,而1f(x.)-A80,n=1,2,..1显然数列(x,)U（xo;8)且limx,=xo，但当×→0时f(x）不趋于A.这与假设相矛盾，所以必有lim f(x) = A.注1归结原则也可简述为：lim (x)=A<对任何xn→xo(n→0)有lim f(x,)= A .注2若可找到一个以x。为极限的(x,),使limf(x）不存在,或找到两个都以x。为极限的数列(x)与(x)，使limf(x)与limf(x）都存在而不相等，则limf(x)不存在.例1证明极限limsin一不存在.x1证设x(n=1,2,),则显然有nx2n元+2
《数学分析》教案 教学程序： ◆ 引 言 在讨论数列极限存在条件时，我们曾向大家介绍过“单调有界定理”和“柯西收敛准则”。我们说数列是 特殊的函数，那么对于函数是否也有类似的结果呢？或者说能否从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性 呢？这是本节的主要任务。 本节的结论只对 0 x x → 这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的。 首先介绍一个很主要的结果——海涅(Heine)定理（归结原则）。 定理 3．8(归结原则) 设 f 在 ( ) ' 0 0 U x ; 内有定义． f (x) x x0 lim → 存在的充要条件是：对任何含于 ( ) ' 0 0 U x ; 且以 0 x 为极限的数列 xn ，极限 ( ) n n f x → lim 都存在且相等． 证 [必要性] 设 f (x) x x0 lim → 则对任给的 0 ，存在正数 ( ) ' ，使得当 0 x − x0 时，有 f (x)− . 另一方面，设数列 xn ( ) ' 0 0 U x ; 且 0 lim x x n n = → ，则对上述的 0 ，存在 0 ，使得当 n 时 有 0 xn − x0 ，从而有 ( )− n f x ． 这就证明了 ( ) = → n n lin f x . [充分性] 设对任何数列 xn ( ) ' 0 0 U x ; 且 0 lim x x n n = → ，有 ( ) = → n n lin f x ，则可用反证法推出 ( ) = → n n lin f x ．事实上，倘若当 0 x → x 时 f 不以 为极限，则存在某 0 0 ，对任何 0 (不论多么小)， 总存在一点 x ，尽管 0 | | 0 x − x ，但有 0 | f (x) − A| (§1 习题 2)． 现依次取 ,, , 3 , 2 , n = ，则存在相应的点 x1 , x2 , x3 , , xn , ，使得 0 | | , | ( ) | , 1,2, . 0 − 0 = − f x A n n x x n n 而 显然数列 { } ( ; ) x U x0 n 且 0 lim x x n n = → ，但当 x → 时 ( ) n f x 不趋于 A ．这与假设相矛盾，所以必有 lim ( ) . 0 f x A x x = → . 注 1 归结原则也可简述为： = → f x A x x lim ( ) 0 对任何 x x n f xn A n n → → = → ( ) lim ( ) 0 有 ． 注 2 若可找到一个以 0 x 为极限的 { }n x ,使 lim ( ) n n f x → 不存在,或找到两个都以 0 x 为极限的数列 { }n x 与 { }n x ，使 lim ( ) n n f x → 与 lim ( ) n n f x → 都存在而不相等，则 lim ( ) 0 f x x→x 不存在． 例 1 证明极限 x x 1 lim sin →0 不存在． 证 设 ( 1,2, ), 2 2 1 , 1 = + = = n n x nx xn n 则显然有