《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第三章 函数极限

第三章函数极限教学要求“&-M"定义1理解函数极限的“ε-8”，及单侧极限概念：2掌握函数极限的基本性质及两个重要极限；3理解广义极限、无穷大量及无穷小量等概念

教学要求 1 理解函数极限的“ε-δ”，“ε-M”定义 及单侧极限概念； 2 掌握函数极限的基本性质及两个重 要 极限； 3 理解广义极限、无穷大量及无穷小 量 等概念。 第三章 函数极限

第一节 函数极限概念

第一节 函数极限概念

一、自变量趋向无穷大时函数的极限sinx当x→+8时的变化趋势观察函数xsinxV

x . x sin x 观察函数 当 → + 时的变化趋势 x x y sin = 一、自变量趋向无穷大时函数的极限

问题:函数y= f(x)在x→+o 的过程中， 对应函数值f(x)无限趋近于确定值A通过上面的观察sinx无限接近于0当x无限增大时,f(x)x如何用数学语言刻划函数“无限接近”问题：女f(x)-A X 表示x →+8的过程

问题:函数 y = f ( x)在x → +  的过程中, 对 应函数值 f (x)无限趋近于确定值 A. f (x) − A   表示 f (x) − A任意小; x  X 表示x → +的过程. 0. sin 当 无限增大时, ( ) 无限接近于 x x x f x = 通过上面的观察: 问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近

1、定义定义1 设f(x为定义在α,+o)上的函数,A为定数若对任给的正数ε（不论它多么小）总存在着正数M,使得当x>M (≥a)时有f(x)-A0,3M>0,使当x>M时,恒有f(x)-A<

" − M"定义   0,M  0,使当x  M时,恒有 f (x) − A  . lim x→+  f (x) = A  定义1 设 为定义在 上的函数， 为定数 若对任给的正数 (不论它多么小),总存在着正 数 ,使得当 时有 则称函数 当 时以 极限,记作  M x  M [a,+) f (x) f (x) − A   A f (x) x → + ( ) = ( ) → ( → +) →+  lim f x A f x A x x 或 当 A ( a) 1、定义

2.另两种情形lim f(x) = A1. x →-8 情形:X-→-8V>0,X>0,使当x0,X >0,使当/x>X时,恒有f(x)-A<8.定理: lim f(x) = A ← lim f(x) = A且 lim f(x)= A

. x →  情形 : 0 2   0, X  0,使当| x | X时,恒有 f (x) − A   . . x → − 情形 : 0 1 f x A x = →− lim ( )   0,X  0,使当x  −X时,恒有 f ( x ) − A   . lim f x A x = → ( ) 定理:lim x→ f (x) = A  lim f (x) A lim f (x) A. x x = = →+  且 →−  2.另两种情形:

3.几何解释： lim f(x)= ATsinxVX?A0XX当xX时,函数y= f(x)图形完全落在以直线y= A为中心线，宽为2ε的带形区域内

x x y sin = −   − X X , 2 . , ( ) 直线 为中心线 宽为 的带形区域内 当 或 时 函数 图形完全落在以 =   −  = y A x X x X y f x A lim f x A x = → 3.几何解释: ( )

1证明lim -—=0例1x→0 x1证-00, 取X=-,S则当 x>X时恒有811L故 lim - = 0.Y=-00 Xx

例 1 0 . 1 lim = x →  x 证明 证 x x1 0 1  − =   ,   0 , , 1 取 X = 则当 x  X时恒有 0 , 1 −   x 0. 1 lim = x →  x 故

元证明 lim arctan x =例22x→-8证元V> 0,larctan x-(m介2元元0,取X=tan则当 x>X时恒有2 元元< , 故 lim arctan xarctan x -20

例2 . 2 lim arctan  = →−  x x 证明 证   0, , 2 tan       = −  取 X 则当 x  X时恒有 ) , 2 arctan (   x − −  2 arctan 2 )| 2 0,| arctan (        − −   −   − −   x x 左半部分成立，只考察右半部分 的范围， ，则有： 2           = − −       −     2 tan 2 x tan . 2 lim arctan  = →−  x x 故

二、自变量趋向有限值时函数的极限问题:函数=f(x)在x→x,的过程中,对应函数值f(x)无限趋近于确定值Af(x)-A<ε表示f(x)-A任意小;0<-x< s表示x→x,的过程88x -8xoxxo +8点x，的去心邻域8体现x接近x程度

问 题:函 数 y = f ( x)在 x → x0的过程中,对 应 函数值 f (x)无限趋近于确定值 A. f (x) − A   表示 f (x) − A任意小; x0 −  x0 +  x x0   , 点x0的去心邻域 体现x接近x 程度.  0 x x 表示x x的过程. 0 0 0  −   → 二、自变量趋向有限值时函数的极限