第二节 函数极限的性质杨建雅
第二节 函数极限的性质 杨建雅
六种极限lim f(x);lim f(x);x→+8x-→>xolim f(x);lim f(x);x→>-8x→xlim f(x);lim f(x);x-→8x-→xo
六种极限 . . lim f (x); x→+ lim f (x); x→− lim f (x); x→ lim ( ); 0 f x x→x lim ( ); 0 f x x x → + lim ( ); 0 f x x x → −
函数极限的性质一1.唯一性定理若lim f(x)存在,则极限唯一2.局部有界性定理若当x→x,时f(x)有极限,则存在x,的一个邻域U(x,),在此邻域内f(x)有界
2.局部有界性 定理若当x → x0时 f (x)有极限,则存在x0的 一个邻域 ( ) 0 0 U x ,在此邻域内 f (x)有 界. 1.唯一性 定理 若lim f (x)存在,则极限唯一. 一 函数极限的性质
3.局部保号性定理 若lim f(x)=A,且A>0(或A0,当x EU(x,,8)时,f(x)> 0(或f(x)0,当x U°(xo,8)时,f(x)≥0(或f(x)≤0)且 lim f(x)= A,则A≥ 0(或A≤0)x→xo4.局部保不等性定理设 lim f(x)与 lim g(x)都存在，且在某邻域x-→xox→XoU°(xo;8)内有f(x)≤g(x),则 lim f(x)≤ lim g(x)x-→xox-→xo
, x U x , , f x f x . lim f x A, A A x x 0 ( ) ( ) 0( ( ) 0) ( ) 0( 0), 0 0 0 = → 则 当 时 或 若 且 或 定理 lim ( ) , 0( 0). 0, ( , ) , ( ) 0( ( ) 0), 0 0 0 = → f x A A A x U x f x f x x x 且 则 或 推论 若 当 时 或 3.局部保号性 4.局部保不等性 ( ; ) ( ) ( ), lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0 0 0 0 0 U x f x g x f x g x f x g x x x x x x x x x → → → → 内 有 则 设 与 都存在，且在某邻域 定理
5.迫敛性（夹逼准则）设 lim f(x)= lim g(x)= A,且在某U(xo;8)内有x→xox-→xof(x)≤h(x)≤g(x)则 lim h(x) = A.x-→xo本定理既给出了判别函数极限存在的方法；又提供了一个计算函数极限的方法
5.迫敛性（夹逼准则） 本定理既给出了判别函数极限存在的方法；又提供 了一个计算函数极限的方法。 lim ( ) . ( ) ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) , ( ; ) 0 0 0 0 0 h x A f x h x g x f x g x A U x x x x x x x = = = → → → 则 设 且在某 内 有
6、函数极限的运算性质设 lim f(x)= A, lim g(x)= B,则x-→xox→xo(1)lim (f(x)±g(x))= A±B;x-→xo(2)lim f(x)·g(x)= A B;x→xof(x) _ Alim其中B≠0.(3)g(x)B x-→xo
, 0. ( ) ( ) (3) lim (2) lim ( ) ( ) ; (1) lim ( ( ) ( )) ; lim ( ) , lim ( ) , 0 0 0 0 0 = = = = = → → → → → B B A g x f x f x g x A B f x g x A B f x A g x B x x x x x x x x x x 其 中 设 则 6、函数极限的运算性质
二、求极限方法举例x3 -1例1 求 limlm x2 -3x+5解: lim(x2 - 3x + 5)= lim x2 - lim 3x + lim5x→2x-→2x-→2x→2= (lim x) - 3lim x + lim 5x-→2x→2x→2=22 -3.2+5 =3±0,lim x3 - lim 123 -1x3 -17x>2x→2.:. limlimx* -3x+533lim(x2 - 3x + 5)x→2
例1 . 3 5 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x 求 解 lim( 3 5) 2 2 − + → x x x lim lim3 lim5 2 2 2 →2 → → = − + x x x x x (lim ) 3lim lim5 2 2 2 →2 → → = − + x x x x x 2 3 2 5 2 = − + = 3 0, 3 5 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x lim( 3 5) lim lim1 2 2 2 3 2 − + − = → → → x x x x x x . 3 7 = 3 2 1 3 − = 二、求极限方法举例
小结: 1. 设 f(x)=a,x" +a,x"-I +...+an,则有lim f(x) = a,(lim x)" + a,(lim x)n-1 + ..+ anx→Xox-→Xox-→xon-I +...+an = f(xo)= axo"+ a,xoP(x)2. 设 f(x)且Q(x)± 0, 则有Q(x)lim P(x)P(xo)x→xolim f(x) == f(x)lim Q(x)x→xoQ(x)x→xo若Q(x)=0，则商的法则不能应用
小结: 1.设 f (x) = a0 x n + a1 x n−1 ++ an ,则有n n x x n x x x x f x = a x + a x + + a − → → → lim ( ) 0 ( lim ) 1 ( lim ) 1 0 0 0 n n n = a x + a x + + a − 1 0 0 1 0 ( ). x0 = f 设 , 且 ( ) 0, 则有 ( ) ( ) 2. ( ) = Q x0 Q x P x f x lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0 0 Q x P x f x x x x x x x → → → = ( ) ( ) 0 0 Q x P x = ( ). x0 = f ( ) 0, . 若Q x0 = 则商的法则不能应用
4x -1例2 求 limx-1 x2 + 2x - 3解： lim(x2 + 2x-3)=0,商的法则不能用x→1又 : lim(4x -1)= 3 + 0,x-→>1x2 +2x-3 0:. lim==04x -13x→1由无穷小与无穷大的关系，得4x -1lim181x2 + 2x-3
解 lim( 2 3) 2 1 + − → x x x = 0, 商的法则不能用 lim(4 1) 1 − → x x 又 = 3 0, 4 1 2 3 lim 2 1 − + − → x x x x 0. 3 0 = = 由无穷小与无穷大的关系,得 例2 . 2 3 4 1 lim 2 1 + − − → x x x x 求 . 2 3 4 1 lim 2 1 = + − − → x x x x
x2-13 求 lim例3x-1 x2 + 2x - 30解 x→时,分子,分母的极限都是零,(型)0先约去不为零的无穷小因子x－1后再求极限x2-1(x +1)(x - 1)limlim2x=1 x2 + 2x -3x→1 (x +3)(x - 1)x+1 1= lim（消去零因子法）x-1 x + 32
. 2 1 = 解 例3 . 2 3 1 lim 2 2 1 + − − → x x x x 求 x →1时,分子,分母的极限都是零. 先约去不为零的无穷小因子x − 1后再求极限. ( 3)( 1) ( 1)( 1) lim 2 3 1 lim 1 2 2 1 + − + − = + − − → → x x x x x x x x x 3 1 lim 1 + + = → x x x ) 0 0 ( 型 (消去零因子法)