《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第十二章 数项级数

《数学分析》教案第十二章数项级数(10学时)81级数的收敛性教学目的：让学生掌握级数收敛和发散的概念以及收敛级数的性质，教学重点难点：级数收敛定义和柯西准则，用收敛定义和柯西准则判断级数的敛散性.学时安排：2学时教学方法：讲授法教学过程：1.级数概念在初等数学中，我们知道：任意有限个实数u,uz,u，相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论一无限多个实数相加一一级数一一所可能出现的情形及特征。如11.11*++从直观上可知，其和为1。2"又如，1+(-1)+1+(-1)+。其和无意义；若将其改写为：则其和为：0；(1-1)+(1-1)+(1-1)+...若写为：1+[(-1) +1)+[(-1) + 1]+...则和为：1。（其结果完全不同）。问题：无限多个实数相加是否存在和；如果存在，和等于什么。定义1给定一个数列(u,)，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式(1)u, +u, +u, +...+un +...称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中u，称为级数（1）的通项。Zu，或Eun。级数（1）简记为：12.级数的收敛性uk称之为级数u，的第n个部分和，简称部分和。记S.==u,+u,+..+u.k=1n=l若数项级数u,的部分和数列(S,)收敛于s（即limS,=S)，则称数项级定义 2 n=l数之"，收敛，称S 为数项级数≥"。的和，记作n=l=S=Zu=u,+u,+u+...+u,+

《数学分析》教案 第十二章 数 项 级 数 (10 学时) §1 级数的收敛性 教学目的： 让学生掌握级数收敛和发散的概念以及收敛级数的性质． 教学重点难点：级数收敛定义和柯西准则, 用收敛定义和柯西准则判断级数的敛散性． 学时安排: 2 学时 教学方法： 讲授法． 教学过程： 1． 级数概念 在初等数学中，我们知道：任意有限个实数 u u un , , , 1 2  相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论—— 无限多个实数相加——级数——所可能出现的情形及特征。如 + + ++ n + 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 从直观上可知，其和为 1。 又如， 1+ (−1) +1+ (−1) +。 其和无意义； 若将其改写为： (1−1) + (1−1) + (1−1) + 则其和为：0； 若写为： 1+[(−1) +1] +[(−1) +1] + 则和为：1。（其结果完全不同）。 问题：无限多个实数相加是否存在和； 如果存在，和等于什么。 定义 1 给定一个数列 un  ，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 u1 + u2 + u3 ++ un + （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中 n u 称为级数（1）的通项。 级数（1）简记为：   n=1 n u ，或 un 。 2． 级数的收敛性 记 n n k Sn = uk = u + u + + u = 1 2  1 称之为级数   n=1 n u 的第 n 个部分和，简称部分和。 定义 2 若数项级数   n=1 n u 的部分和数列 Sn  收敛于 S（即 Sn S n = → lim ），则称数项级 数   n=1 n u 收敛 ，称 S 为数项级数   n=1 n u 的和，记作 S =   n=1 n u = u1 + u2 + u3 ++ un +

《数学分析》教案若部分和数列(s)发散，则称数项级数亡u，发散。n=l例1试讨论等比级数（几何级数）Maga++++(*0)n=l的收敛性。解：见P2。例2 讨论级数11111.22.33.4n(n+1)的收敛性。解：见P2。3．收敛级数的性质由于级数u，的敛散性是由它的部分和数列(S,)来确定的，因而也可以认为数项级数Cu,是数列n=1n=l(S，）的另一表现形式。反之，对于任意的数列a，），总可视其为数项级数1Eu, =a, +(az -a,)+(a, -a,)+..+(a, -an--)+...n=1的部分和数列，此时数列(a,)与级数a,+(a2-a,)+(a,-a,)+...+(a,-an)+.有相同的敛散性，因此，有定理12-1-1（级数收敛的Cauchy准则）级数（1）收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正整数N，使得当m>N以及对任意的正整数p，都有um++um+2+..+um+p0，对任何正整数N，总存在正整数mo(>N),po,有'mo+ + Umo+2 +..+ Uo+P≥60推论（必要条件）若级数（1）收敛，则limu,=0。注：此条件只是必要的，并非充分的，如下面的例3。例3讨论调和级数1111 ++..23n的敛散性

《数学分析》教案 若部分和数列 Sn  发散，则称数项级数   n=1 n u 发散。 例1 试讨论等比级数（几何级数）   = − − = + + + + + 1 1 2 1 n n n aq a aq aq  aq ，(a  0) 的收敛性。 解：见 P2。 例2 讨论级数  + + + +  +  +  ( 1) 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1 n n 的收敛性。 解：见 P2。 3． 收敛级数的性质 由于级数   n=1 n u 的敛散性是由它的部分和数列 Sn  来确定的，因而也可以认为数项级数   n=1 n u 是数列 Sn  的另一表现形式。反之，对于任意的数列 an  ，总可视其为数项级数   n=1 n u = a1 + (a2 − a1 ) + (a3 − a2 ) ++ (an − an−1 ) + 的部分和数列，此时数列 an  与级数 a1 + (a2 − a1 ) + (a3 − a2 ) ++ (an − an−1 ) + 有 相同的敛散性，因此，有 定理 12-1-1（级数收敛的 Cauchy 准则） 级数（1）收敛的充要条件是：任给正数  ，总存在正整数 N ，使 得当 m  N 以及对任意的正整数 p ，都有 + + +   um +1 um +2  um + p 。 注：级数（1）发散的充要条件是：存在某个  0  0 ，对任何正整数 N，总存在正整数 0 0 m ( N), p ，有 0 1 0 2 0 0 0 + + +   um + um +  um + p 。 推论 （必要条件） 若级数（1）收敛，则 lim = 0 → n n u 。 注：此条件只是必要的，并非充分的，如下面的例 3。 例3 讨论调和级数 + + ++ + n 1 3 1 2 1 1 的敛散性

《数学分析》教案Iim u, = lim !解：显然，有=0，但当令p=m时，有n1111Um+1+Um+2+m+3+..+U2mm+2m+32mm+111111>..2m22m2m2m1因此，取。对任何正整数N，只要m>N和p=m就有2≥80Umo+ +Umo+2 +...+ Umo+po故调和级数发散。收敛，例4应用级数收敛的柯西准则证明级数1证明：由于111m++um+2+..+um(m+ 2)2(m+ 1)2(m+p)111-m(m+1) (m+1(m+2)m+p-1)(m+p)mm+pm-l，使当m>N及对任何正整数p，都有故对>0，取=1Um++um+2+.+um+<6m1收敛。故级数Vn若级数≥.与都有收。则对任意常数c.d 级数(,+小,)也收数且里12-1-2定理n=ln=l=+dv.)(C=n=l-即对于收敛级数来说，交换律和结合律成立。定理12-1-3去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性。（即级数的敛散性与级数的有限个项无关，但其和是要改变的）。若级数u，收敛，设其和为S，则级数u+ua2+…也收敛，且其和为n=lR，=S-S,。并称为级数u，的第n个余项（简称余项），它代表用S,代替S时所产生的误差。n=l定理12-1-4在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。注意：从级数加括号后的收敛，不能推断加括号前的级数也收敛（即去括号法则不成立）。如：(1-1)+(1-1)+...+(1-1)+...=0+0+..·+0+.收敛，而级数1-1+1-1+

《数学分析》教案 解：显然，有 0 1 lim = lim = → → n u n n n ，但当令 p = m 时，有 um+1 + um+2 + um+3 ++ u2m m m m 2m 1 3 1 2 1 1 1 + + + + + + + =  2 1 2 1 2 1 2 1 2 1  + + + + = m m m m  。 因此，取 2 1  0 = ，对任何正整数 N，只要 m  N 和 p = m 就有 0 1 0 2 0 0 0 + + +   um + um +  um + p ， 故调和级数发散。 例4 应用级数收敛的柯西准则证明级数  2 1 n 收敛。 证明：由于 um +1 + um +2 ++ um + p = 2 2 2 ( ) 1 ( 2) 1 ( 1) 1 m m m + p + + + + +  1)( ) 1 ( 1)( 2) 1 ( 1) 1 m m m m m + p − m + p + + + + + +   m m p m 1 1 1  + = − 。 故对   0 ，取 ] 1 [  N = ，使当 m  N 及对任何正整数 p ，都有 um +1 + um +2 ++ um + p    m 1 。 故级数  2 1 n 收敛。 定 理 12-1-2 若级数   n=1 n u 与   n=1 n v 都有收敛，则对任意常数 c, d ，级数 ( ) 1 n n  cun + dv  = 也收敛，且 ( ) 1 n n  cun + dv  =    =  = = + 1 n 1 n n n c u d v 。 即对于收敛级数来说，交换律和结合律成立。 定理 12-1-3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性。 （即级数的敛散性与级数的有限个项无关，但其和是要改变的）。 若级数   n=1 n u 收敛，设其和为 S，则级数 un+1 + un+2 + 也收敛，且其和为 Rn = S − Sn 。并称为级数   n=1 n u 的第 n 个余项（简称余项），它代表用 n S 代替 S 时所产生的误差。 定理 12-1-4 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 注意：从级数加括号后的收敛，不能推断加括号前的级数也收敛（即去括号法则不成立）。 如： (1−1) + (1−1) ++ (1−1) + = 0+ 0++ 0+ 收敛，而级数 1−1+1−1+

《数学分析》教案是发散的。课后记1、学生初次接触级数首先让学生知道级数主要是讨论无限多个数相加问题的，对于u,+u,+u,+..+un+0+0+0+...只是一种特殊情况。2、用收敛定义和柯西准则判断级数的敛散性是重点，讲清用收敛性定义证明级数收敛或发散主要是在用初等的方法处理S,的技巧，用柯西准则证明级数收敛或发散主要是放大um+I+um+2+·+um+p的技巧放大后使式子中不含p并能解出m>“正数”效果较好，82正项级数教学目的：让学生掌握判别正项级数敛散性的各种判别法教学重点难点：比式判别法和根式判别法，判别法的灵活运用.学时安排：2学时教学方法：讲授法：教学过程：正项级数收敛性的一般判别原则若数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数，对于同号级数，只须研究各项都是由正数组成的级数一一称为正项级数。如果级数的各项都是负数，则它乘以一1后就得到一个正项级数，它们具有相同的敛散性.正项级数收敛性的一般判别原则若级数各项的符号都相同，则称为同号级数。而对于同号级数，只须研究各项都由正数组成的级数一一正项级数。因负项级数同正项级数仅相差一个负号，而这并不影响其收敛性。1正项级数u，收敛部分和数列(s有界。定理12-2-1n=I证明：由于对Vn，u,>0，故(S,)是递增的，因此，有u, 收敛(s,)收敛(s,)有界。n=1定理12-2-2（比较原则）设u，和v，均为正项级数，如果存在某个正数N，使得对n=ln=lVn>N都有u,≤yn则（1）若级数收敛，则级数u，也收敛；=N（2）若级数u，发散，则级数y，也发散。=ln=l证明：由定义及定理12-2-1即可得。1考蔡厂例1的收敛性。n2-n+1

《数学分析》教案 是发散的。 课后记 1、学生初次接触级数首先让学生知道级数主要是讨论无限多个数相加问题的，对于 u1 + u2 + u3 ++ un + 0 + 0 + 0 + 只是一种特殊情况。 2、用收敛定义和柯西准则判断级数的敛散性是重点，讲清用收敛性定义证明级数收敛或发散主要是在用初等 的方法处理 n S 的技巧，用柯西准则证明级数收敛或发散主要是放大 um +1 + um +2 ++ um + p 的技巧放大 后使式子中不含 p 并能解出 m  “正数”效果较好． §2 正 项 级 数 教学目的： 让学生掌握判别正项级数敛散性的各种判别法． 教学重点难点：比式判别法和根式判别法，判别法的灵活运用． 学时安排： 2 学时 教学方法： 讲授法． 教学过程： 正项级数收敛性的一般判别原则若数项级数各项的符号都相同，则称它为同号级数．对于同号级数，只须 研究各项都是由正数组成的级数——称为正项级数．如果级数的各项都是负数，则它乘以－1 后就得到一个 正项级数，它们具有相同的敛散性． 一 正项级数收敛性的一般判别原则 若级数各项的符号都相同，则称为同号级数。而对于同号级数，只须研究各项都由正数组成的级数——正 项级数。因负项级数同正项级数仅相差一个负号，而这并不影响其收敛性。 定理 12-2-1 正项级数   n=1 n u 收敛  部分和数列 Sn  有界。 证明：由于对 n，un  0 ，故 Sn  是递增的，因此，有   n=1 n u 收敛  Sn  收敛  Sn  有界。 定理 12-2-2（比较原则） 设   n=1 n u 和   n=1 n v 均为正项级数，如果存在某个正数 N，使得对 n  N 都有 n n u  v ， 则 （1）若级数   n=1 n v 收敛，则级数   n=1 n u 也收敛； （2）若级数   n=1 n u 发散，则级数   n=1 n v 也发散。 证明：由定义及定理 12-2-1 即可得。 例1 考察   =1 − + 2 1 1 n n n 的收敛性

《数学分析》教案解：由于当n≥2时，有1111(n-1)2n2-n+1n?-nn(n-1)101因正项级数故收敛。收敛，=2 (n-1)2=in-n+12m.和2SV多推论（比较判别法的极限形式）是两个正项级数，若V.=1n=llim " = 1,0Vn8W1则（1）当0收敛。2#2n-n例3由级数一的发散性，可知级数sin一是发散的。nn二比式判别法和根式判别法定理 12-2-3（达朗贝尔判别法，或称比式判别法）设u，为正项级数，且存在某个正整数N。及常数qe(0,1):若对Vn>N。，有"q，则级数Zu，收敛：(1)un若对Vn>N。，有"-≥1，则级数Zu，发散。(2)un证明：（1）不妨设对一切n，有"m≤q成立，于是，有unuz≤q≤q,.un≤q...u,uzU-l

《数学分析》教案 解：由于当 n  2 时，有 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) 1 1 1 1 −  − = −  n − n + n n n n n ， 因正项级数   =2 − 2 ( 1) 1 n n 收敛，故   =1 − + 2 1 1 n n n 收敛。 推论（比较判别法的极限形式） 设   n=1 n u 和   n=1 n v 是两个正项级数，若 l v u n n n = → lim ， 则 （1） 当 0  l  + 时，级数   n=1 n u 、   n=1 n v 同时收敛或同时发散； （2）当 l = 0 且级数   n=1 n v 收敛时，级数   n=1 n u 也收敛； （3）当 l = + 且   n=1 n v 发散时，级数   n=1 n u 也发散。 证明：由比较原则即可得。 例2 讨论级数  − n n 2 1 的收敛性。 解：利用级数  n 2 1 的收敛性，由推论可知级数  − n n 2 1 收敛。 例 3 由级数  n 1 的发散性，可知级数  n 1 sin 是发散的。 二 比式判别法和根式判别法 定理 12-2-3 （达朗贝尔判别法，或称比式判别法）设 un 为正项级数，且存在某个正整数 N0 及常数 q (0,1) ： （1） 若对 n  N0 ，有 q u u n n  +1 ，则级数 un 收敛 ； （2） 若对 n  N0 ，有 1 1  + n n u u ，则级数 un 发散。 证明：（1）不妨设对一切 n ，有 q u u n n  +1 成立，于是，有 q u u  1 2 ， , 2 3 q u u  ， , 1 q u u n n  −

《数学分析》教案uu,un故≤qn-l，即u,≤uq"-l，由于，当qE(O,1)时，级数ujuzUn-I3"-1收敛，由比较原则，可知级数u，收敛。因此时limun0，故级数Zu，发散。(2)推论（比式判别法的极限形式）设u为正项级数，且lim "ml = q,n-o Un则（1）当q1（可为+oo）时，级数u,发散（3）当q=1时，级数u，可能收敛，也可能发散。如：n证明：由比式判别法和极限定义即可得。例4讨论级数2+ 2·5, 2·58 +..2·5.8..[2+3(n1] ..11.51.5.91·5.9.. [1+4(n-1)]的收敛性。例5讨论级数nx"-(x>0)的收敛性。定理12-2-4（柯西判别法，或称根式判别法）设u,为正项级数，且存在某个正整数N。及正常数l，(1)若对Vn>N。，有uN。，有u，≥1，则级数u,发散证明：由比较判别法即可得。推论（根式判别法的极限形式）设u，为正项级数，且limg/u, =l,则（1）当/1（可为+o）时，级数u，发散：7（3）当q=1时，级数u，可能收敛，也可能发散。如：>n2

《数学分析》教案 故 1 2 1 3 1 2 − −     n n n q u u u u u u  ， 即 1 1 −  n un u q ，由于，当 q (0,1) 时，级数   = − 1 1 n n q 收敛，由比较原则，可知级数 un 收敛。 (2) 因此时 lim  0 → n n u ，故级数 un 发散。 推论（比式判别法的极限形式） 设 un 为正项级数，且 q u u n n n = + → 1 lim ， 则（1）当 q  1 时，级数 un 收敛； （2） 当 q  1 （可为 + ）时，级数 un 发散； （3） 当 q = 1 时，级数 un 可能收敛，也可能发散。如：  n 1 ， 2 1 n 。 证明：由比式判别法和极限定义即可得。 例 4 讨论级数     +   + −   + − + +     +   + 1 5 9 [1 4( 1)] 2 5 8 [2 3( 1)] 1 5 9 2 5 8 1 5 2 5 1 2 n n 的收敛性。 例 5 讨论级数 ( 0) 1   − nx x n 的收敛性。 定理 12-2-4（柯西判别法，或称根式判别法） 设 un 为正项级数，且存在某个正整 数 N0 及正常数 l ， （1）若对 n  N0 ，有 n un  l  1， 则级数 un 收敛； （2）若对 n  N0 ，有 n un  1， 则级数 un 发散。 证明：由比较判别法即可得。 推论（根式判别法的极限形式）设 un 为正项级数，且 u l n n n = → lim ， 则 （1）当 l 1 时，级数 un 收敛； （2）当 l 1 （可为 + ）时，级数 un 发散； （3）当 q = 1 时，级数 un 可能收敛，也可能发散。如：  n 1 ， 2 1 n

《数学分析》教案-2 +(-1)"的敛散性。例6讨论级数>2"解：由上推论即得。uml =q= lim y/u, =qlim说明：因1这就说明凡能用比式判别法判定收敛性的级数，也能用根式判别n-un法来判断，即根式判别法较之比式判别法更有效。但反之不能，如例6。三积分判别法特点：积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。定理12-2-5设f(x)为[1,+oo)上非负减函数，则正项级数f(n)与反常积分[f(x)dx同时收敛或同时发散。证明：由假设f(x)为[1,+o)上非负减函数，则对任何正数A，f(x)在[1，A]上可积，从而有f(n)≤[",f(x)dx≤ f(n-1), n= 2,3,...(n)≤[" f(x)dx≤f(n-1)=f(n)依次相加，得I-若反常积分收敛，则对Vm，有S. =Z(n)≤f()+F" f(x)dx≤ f(1)+ " f(x)dxZf(n)收敛。于是，知级数反之，若级数Zf(n)收敛，则对任意正整数m(>l)，有I"()dsSm- -Z(m)>E(m)=S.-又因f(x)为[1,+o0)上非负减函数，故对任何A>1，有0≤'f(x)dx≤S,<S, n≤A≤n+l.f(x)dx收敛。故知，反常积分同理可证它们同时发散。例7讨论下列级数112%，(2)）(1)(3)=inpn(ln n)P=3 n(ln n)(ln In n))的敛散性。课后记1、这一节共讲了正项级数的4种判别法，要判别级数的收敛或发散首先要选择用哪种判别法，其中用比较判别法、积分判别法的基础是要知道一些级数或无穷积分的敛散性，而用比式判别法与根式判别法则是要与一

《数学分析》教案 例 6 讨论级数  + − n n 2 2 ( 1) 的敛散性。 解：由上推论即得。 说明：因 + =  → q u u n n n 1 lim n un q n = → lim 这就说明凡能用比式判别法判定收敛性的级数，也能用根式判别 法来判断，即根式判别法较之比式判别法更有效。但反之不能，如例 6。 三 积分判别法 特点：积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性。 定理 12-2-5 设 f (x) 为[ 1,+) 上非负减函数，则正项级数  f (n) 与反常积分  + 1 f (x)dx 同时收敛或同时 发散。 证明：由假设 f (x) 为[ 1,+) 上非负减函数，则对任何正数 A， f (x) 在[1，A] 上可积 ， 从 而 有  −   − n n f n f x dx f n 1 ( ) ( ) ( 1) ， n = 2,3,  依次相加，得     − = = =   − = 1 1 1 2 2 ( ) ( ) ( 1) ( ) m n m m n m n f n f x dx f n f n 若反常积分收敛，则对 m ，有    + = =  +  + 1 1 1 S f (n) f (1) f (x)dx f (1) f (x)dx m m n m 。 于是，知 级数  f (n) 收敛。 反之，若级数  f (n) 收敛，则对任意正整数 m( 1) ，有   =    = − = f x dx S − f n f n S m n m m ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 。 又因 f (x) 为[ 1,+) 上非负减函数，故对任何 A  1 ，有 f x dx Sn S A    1 0 ( ) , n  A n +1。 故知，反常积分  + 1 f (x)dx 收敛。 同理可证它们同时发散。 例7 讨论下列级数 （1）   =1 1 n p n ，（2）   =2 (ln ) 1 n p n n ， （3）   =3 (ln )(ln ln ) 1 n p n n n 的敛散性。 课后记 1、这一节共讲了正项级数的 4 种判别法，要判别级数的收敛或发散首先要选择用哪种判别法，其中用比较判 别法、积分判别法的基础是要知道一些级数或无穷积分的敛散性，而用比式判别法与根式判别法则是要与一

《数学分析》教案些已知的极限相联系，讲清这些有利于帮助同学们正确使用这些判别法。2、用极限能判别级数的收敛性，反之，级数收敛的必要条件又提供一种求极限的方法，这一方法在后面的课程里经常用到。83一般项级数教学目的：让学生掌握一般项级数的收敛性问题教学重点难点：某些特殊类型的级数的收敛性问题，判别法的推导和灵活应用，学时安排：4学时教学方法：讲授法.教学过程：交错级数若级数的各项符号正负相间，即2(-1)"u (u, 0, /m).n=l称为交错级数。定理12-3-1（莱布尼茨判别法）若交错级数(-1)u，满足下述两个条件：=(1)数列(u,)单调递减：(2) lim u, =0 。(-1)n u≤u, 。则级数(-1)"u,收敛。且此时有-n=l[n=]证明：因S2m-I=u,-(uz-u,)-...-(u2m-2-u2m-1)≤u,是递减的;而S2m=(u,-u)+(u,-u)+...+(u2m--u2m)是递增的。又0<S2m-l-S2m=u2m→0（m→80)，从而([S2m,S2m-1l)是一个闭区间套，故由闭区间套定理知，存在唯一的一个数S，使lim S2m-I = lim S2m = S ,故数列(s,)收敛，即级数(-1)"+u,收敛。n=1至于不等式Z(-1)*lu≤u,由S2m-I≤u,即可得。n=推论若级数(-1)u，满足莱布尼茨判别法的条件，则其余项估计式为n=lR,1)k+"uk≤un+1例：判别下列级数的收敛性：（1）E(-1)(2)n+1(2n-1)!n=ln=l

《数学分析》教案 些已知的极限相联系，讲清这些有利于帮助同学们正确使用这些判别法。 2、用极限能判别级数的收敛性，反之，级数收敛的必要条件又提供一种求极限的方法，这一方法在后面的课 程里经常用到。 §3 一般 项 级 数 教学目的： 让学生掌握一般项级数的收敛性问题． 教学重点难点：某些特殊类型的级数的收敛性问题，判别法的推导和灵活应用． 学时安排： 4 学时 教学方法： 讲授法． 教学过程： 一 交错级数 若级数的各项符号正负相间，即   = + − 1 1 ( 1) n n n u ，(u 0, n) n   称为交错级数。 定理 12-3-1（莱布尼茨判别法） 若交错级数   = + − 1 1 ( 1) n n n u 满足下述两个条件： （1） 数列 un  单调递减； （2） lim = 0 → n n u 。 则级数   = + − 1 1 ( 1) n n n u 收敛。且此时有 1 1 1 ( 1) u u n n n  −   = + 。 证明：因 2 1 1 2 3 2 2 2 1 1 S m− = u − (u − u ) −− (u m− − u m− )  u 是递减的； 而 ( ) ( ) ( ) S2m = u1 − u2 + u3 − u4 ++ u2m−1 − u2m 是递增的。又 0  S2m−1 − S2m = u2m → 0 (m → ) ，从而 {[ , ]} S2m S2m−1 是一个闭区间套，故由闭区间套定理知， 存在唯一的一个数 S，使 S S m S m m m = = → − → 2 1 2 lim lim ， 故数列 Sn  收敛，即级数   = + − 1 1 ( 1) n n n u 收敛。 至于不等式 1 1 1 ( 1) u u n n n  −   = + 由 S2m−1  u1 即可得。 推论 若级数   = + − 1 1 ( 1) n n n u 满足莱布尼茨判别法的条件，则其余项估计式为 1 1 1 ( 1) +  = + + =  −  n k n k k Rn u u 。 例：判别下列级数的收敛性：（1） 1 1 ( 1) 1 1 +  −  = + n n n ；（2） (2 1)! 1 ( 1) 1 1 −  −  = + n n n ；

《数学分析》教案In310″二绝对收敛级数及其性质若级数u,各项绝对值所组成的级数u收敛，则称原级数u，绝对收敛。定理12-3-2绝对收敛的级数一定收敛。证明：由绝对收敛的定义及级数收敛的柯西准则即可得。说明：对于级数是否绝对收敛，可用正项级数的各判别法进行判别。rαn例1对任何实数α，级数是绝对收敛的。=n!若级数u，收敛，但级数u发散，则称级数u，条件收敛1Z(-1)+1 _1和之(-1)In是条件收敛的；Z(-1)一是绝对收敛的。如：10″n+1(2n-1)n=11=ln=1全体收敛的级数可分为绝对收敛级数和条件收敛级数两大类。绝对收敛的级数有以下性质：1.级数的重排定理12-3-3设级数u，绝对收敛，且其和等于S，则任意重排后所得到的级数也绝对收敛，且其和也不变。注意：（1）由条件收敛的级数重排后所得到的级数，不一定收敛；即使收敛，也不一定收敛于原来的和数。（2）条件收敛的级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于事先指定的任何数。2(1111111如：设=1.=A,237456n7.8nslA11:11111+2则A122846h+2111113AZ(-1)*+ !=1+而325+7-42nnn=l它正是第1个级数的重排。2.级数的乘积设有收敛级数Zun=u,+u,+...+u,+...=A,(1)Zy, =y+v, +..+y, +..-B.(2)它们每一项所有可能的乘积为：u,yu,y2u,ysu'n..ua'n..u,yuzy2u,'3

《数学分析》教案 （3） n n n n 10 ( 1) 1 1   = + − 。 二 绝对收敛级数及其性质 若级数 un 各项绝对值所组成的级数 un 收敛，则称原级数 un 绝对收敛。 定理 12-3-2 绝对收敛的级数一定收敛。 证明：由绝对收敛的定义及级数收敛的柯西准则即可得。 说明：对于级数是否绝对收敛，可用正项级数的各判别法进行判别。 例1 对任何实数  ，级数   =1 ! n n n  是绝对收敛的。 若级数 un 收敛，但级数 un 发散，则称级数 un 条件收敛。 如： 1 1 ( 1) 1 1 +  −  = + n n n 是条件收敛的； (2 1)! 1 ( 1) 1 1 −  −  = + n n n 和 n n n n 10 ( 1) 1 1   = + − 是绝对收敛的。 全体收敛的级数可分为绝对收敛级数和条件收敛级数两大类。 绝对收敛的级数有以下性质： 1． 级数的重排 定理 12-3-3 设级数 un 绝对收敛，且其和等于 S，则任意重排后所得到的级数也绝对收敛，且其和也不 变。 注意：（1）由条件收敛的级数重排后所得到的级数，不一定收敛；即使收敛，也不一定收敛于原来的和数。 （2）条件收敛的级数适当重排后，可得到发散级数，或收敛于事先指定的任何数。 如：设 A n n n  − = − + − + − + − + =  = +  8 1 7 1 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 ( 1) 1 1 ， 则 8 2 1 6 1 4 1 2 1 1 ( 1) 2 1 1 1 A n n n  − = − + − + =  = +  ， 而 n n n 1 ( 1) 1 1   = + − 2 3 4 1 7 1 5 1 2 1 3 1 1 1 ( 1) 2 1 1 1 A n n n +  − = + − + + − + =  = +  ， 它正是第 1 个级数的重排。 2．级数的乘积 设有收敛级数 un = u1 + u2 ++ un += A， （1） vn = v1 + v2 ++ vn += B 。 （2） 它们每一项所有可能的乘积为： 1 1 u v 1 2 u v 1 3 u v . n u v1 . 2 1 u v 2 2 u v 2 3 u v . n u v2

《数学分析》教案(3)UgyiusV2us'3.usV'n......"..u,yiu,y2un'uny'n....,若级数（1）、（2）都绝对收敛，则对（3）中所有乘积uV，按任意顺序排列所得到定理12-3-4（柯西定理）的级数w也绝对收敛，且和等于AB。例2等比级数1rl<1l+r+r?+...+r"+..,1、是绝对收敛的，将（r"）按（15）的顺序排列。则得到1=1+(r+r)+(r2 +r? +r2)+...+(r" +...+r(1-r)2+1个=1+2r+3r2+...+(n+1)r"+.注：（3）中所有乘积uy,可以按各种方法排成不同的级数，常用的有按正方形顺序：,++v2+y+yg+yg+'g+v2++..;或对角线顺序：u+,+u,+u+u,'2+ug,+..三阿贝耳判别法和狄利克雷判别法本段介绍两个判别一般项级数收敛性的方法，先引进一个公式：引理（分部求和公式，也称阿贝尔变换）设6,，V（i=1,2,,n)为两组实数，若令(k = 1,2,..,n)O, =y +v, +...+Vk则有下列求和公式成立：=+++i=证明：直接计算可得。推论（阿贝尔引理）若（1）61,62，,8，单调数组；（2）对任一正整数k(1≤k≤n)有o/=+v+..+≤A，记8=max，则有

《数学分析》教案 3 1 u v 3 2 u v 3 3 u v . n u v3 . （3） . . . . . . 1 u vn 2 u vn 3 u vn . n n u v . . . . . . . 定理 12-3-4（柯西定理） 若级数（1）、（2）都绝对收敛，则对（3）中所有乘积 i j u v 按任意顺序排列所得到 的级数 wn 也绝对收敛，且和等于 AB。 例2 等比级数 1− r 1 =1+ r + r 2 ++ r n +， r  1 是绝对收敛的，将 2  ) n （ r 按（15）的顺序排列。则得到 2 (1 ) 1 − r =    + + + + + ++ ++ + +1个 2 2 2 1 ( ) ( ) ( ) n n n r r r r r r r =1+ 2r + 3r 2 ++ (n +1)r n + . 注：（3）中所有乘积 i j u v 可以按各种方法排成不同的级数，常用的有按正方形顺序： u1 v1 + u1 v2 + u2 v2 + u2 v1 + u2 v3 + u2 v3 + u3 v3 + u3 v2 + u3 v1 + ； 或对角线顺序： u1 v1 + u1 v2 + u2 v1 + u1 v3 + u2 v2 + u3 v1 +。 三 阿贝耳判别法和狄利克雷判别法 本段介绍两个判别一般项级数收敛性的方法，先引进一个公式： 引理（分部求和公式，也称阿贝尔变换） 设 i  ， i v (i = 1,2,  ,n) 为两组实数，若令 k k = v + v ++ v  1 2 ， (k = 1,2,  ,n) 则有下列求和公式成立： i n n n n n n i i  v =  −   +  −   + +  − −   − +   =  1 2 1 2 3 2 1 1 1 ( ) ( )  ( ) 。 证明：直接计算可得。 推论（阿贝尔引理） 若（1） n  , , , 1 2  单调数组； （2）对任一正整数 k(1  k  n) 有  k = v1 + v2 ++ vk  A ，记 max{ }k k  =  ，则有