S2数集·确界原理教学内容：区间与邻域：有界集与确界原理重点：区间与邻域的概念，确界定义与确界原理要求：正确理解数集上下确界与数集上下界的定义本节先定义R中两类重要的数集一一区间与邻域，然后讨论有界集并给出确界定义与确界原理
1 §2 数集·确界原理 教学内容： 区间与邻域；有界集与确界原理 重点：区间与邻域的概念，确界定义与确界原理 要求：正确理解数集上下确界与数集上下界的定义。 本节先定义 R中两类重要的数集——区间与邻域， 然后讨论有界集并给出确界定义与确界原理
一：区间：是指介于某两个实数之间的全体实数这两个实数叫做区间的端点V a,beR,且a<b(xa<x<b)称为开区间，记作(a,b)xb0a(xa≤x≤b)称为闭区间，记作[a,b]xb0a2
2 一.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点. a,b R,且a b. {x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b) {x a x b} 称为闭区间, 记作[a,b] o a b x o a b x
(xa≤x<b)称为半开区间，记作[a,b)(xa<x≤b)称为半开区间，记作(a,b)有限区间[a,+) =(xa ≤ x](-00,b) = (xx <b)无限区间xa0x0b区间长度的定义两端点间的距离（线段的长度）称为区间的长度3
3 {x a x b} {x a x b} 称为半开区间, 称为半开区间, 记作[a,b) 记作(a,b] [a,+) = {x a x} (−,b) = {x x b} o a x o b x 有限区间 无限区间 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度
邻域：设a与8是两个实数，且S>0.数集(xx-α<S})称为点a的邻域,点a叫做这邻域的中心，S叫做这邻域的半径。U,(a)=(x a-8<x<a+s).88aa-8a+8x点a的去心的邻域，记作U°(a)U。(a) =(x 0 <x-a<8)4
4 邻域: 设a与是两个实数 , 且 0. ( ). 0 记作U a 点a叫做这邻域的中心, 叫做这邻域的半径 . ( ) { }. U a = x a − x a + a − a a + x 点a的去心的邻域, ( ) { 0 }. U a = x x − a 数集{x x − a }称为点a的邻域
二有界数集：确界原理：1. 有界数集：定义(上、下有界，有界)设 S为实数R上的一个数集,若存在一个数M(L）使得对一切 xεS 都有 x≤ M (x≥L)，则称 S 为有上界(下界)的数集。若集合 S既有上界又有下界，则称S为有界集。例如，闭区间、（a,b）（a,b为有限数）、邻域等都是有界数集，集合E =bl y=sin x, xe(-o,+o)) 也是有界数集无界数集：若对任意 M>0，存在 x e S，IxI>M，则称 S为无界集。例如，（-,+)，（-0,0)，（0,+），有理数集等都是无界数集，例1 证明集合 B-v- xe(0,1)是无界数集YD
5 二 有界数集 . 确界原理: 1. 有界数集: 定义(上、下有界, 有界) 设 S 为实数 R上的一个数集，若存在一个数 M（ L）, 使得对一切 x S 都有 x M (x L)，则称 S 为有上界(下界)的数集。 若集合 S 既有上界又有下界，则称 S 为有界集。 例如，闭区间、( , ) ( , a b a b 为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 E = y y = sin x, x( − , + ) 也是有界数集. 无界数集: 若对任意 M 0 ，存在 x S x M , | | ，则称 S 为无界集。 例如，( − , + ) , ( − , 0 ), ( 0 , + )，有理数集等都是无界数集, 例 1 证明集合 = = , ( 0 ,1 ) 1 x x E y y 是无界数集
1证明：对任意M>0，存在E (0, 1),X:y=-eE, y=M+l>MM +1x由无界集定义，E为无界集确界，先给出确界的直观定义：若数集S有上界，则显然它有无穷多个上界，其中最小的一个上界我们称它为数集S 的上确界，记作 sup S；同样，有下界数集的最大下界，称为该数集的下确界，记作 inf S。上确界上界MM2M1下界下确界m2m1m6
6 证明：对任意 M 0 , 存在 1 1 (0,1) , , 1 1 x y E y M M M x = = = + + 由无界集定义，E 为无界集。 确界，先给出确界的直观定义：若数集 S 有上界，则显然它有无穷多个上 界，其中最小的一个上界我们称它为数集 S 的上确界，记作 sup S ；同样，有下 界数集的最大下界，称为该数集的下确界，记作 inf S 。 M M1 M2 上确界 上界 m2 m m1 下界 下确界
定义2设S是R中的一个数集.若数n满足(i)对一切 xeS，有x≤n，即n是S的上界(i)对任何αα ，即n 又是S的最小上界；则称数 n为数集S的上确界，记作n = sup sαxon定义3设S是R中的一个数集.若数满足(i）对一切 xES，有x≥，即 是S的上界(i) 对任何β>，存在x S使得x<β，即又是S的最大下界；则称n为数集S的下确界，记作 = inf SSxoβ
7 则称数 为数集S的上确界，记作 定义2 设S是R中的一个数集.若数 满足 （i）对一切 ，有 ，即 是S的上界 （ii) 对任何 ，存在 使得 ，即 又是S 的最小上界； xS x x0 S x0 = sup S 定义3 设S是R中的一个数集.若数 满足 （i）对一切 ，有 ，即 是S的上界 （ii) 对任何 ，存在 使得 ，即 又是S 的最大下界； xS x x0 S x0 = inf S 则称 为数集S的下确界，记作 0 x 0 x
(-1)n例 1 (1)则 sup S =inf S =S=n(2)E = (v| y = sin x, xe (0, 元)则inf E =sup E =定理1.1(确界原理).设 S 为非空数集，若 S 有上界，则 S 必有上确界 ;若S 有下界，则S 必有下确界。证明例2 非空有界数集的上（或下）‘确界是唯一的8
8 例 1 （1） , ( 1 ) 1 − = + n S n 则sup S = _, inf S = _ . （2） E = y y = sin x, x (0, ). 则 sup E = _, inf E = _ . 定理 1.1 (确界原理). 设 S 为非空数集，若 S 有上界，则 S 必有上确界； 若 S 有下界，则 S 必有下确界。 证明(建教材 p7) 例2 非空有界数集的上（或下）? 界是唯一的. 例3 设 S 和 A是非空数集，且有 S A. 则有 sup S sup A, inf S inf A. . 例 4 设 A和 B 是非空数集. 若对x A 和y B, 都有 x y, 则有 sup A inf B. 证 x A 和y B, 都有 x y, y 是 A的上界, 而 sup A 是 A的最 小上界 sup A y. 此式又 sup A 是 B 的下界, sup A inf B（B 的最大 下界） 例 1 （1） , ( 1 ) 1 − = + n S n 则sup S = _, inf S = _ . （2） E = y y = sin x, x (0, ). 则 sup E = _, inf E = _ . 定理 1.1 (确界原理). 设 S 为非空数集，若 S 有上界，则 S 必有上确界； 若 S 有下界，则 S 必有下确界。 证明(建教材 p7) 例2 非空有界数集的上（或下）? 界是唯一的. 例3 设 S 和 A是非空数集，且有 S A. 则有 sup S sup A, inf S inf A. . 例 4 设 A和 B 是非空数集. 若对x A 和y B, 都有 x y, 则有 sup A inf B. 证 x A 和y B, 都有 x y, y 是 A的上界, 而 sup A 是 A的最 小上界 sup A y. 此式又 sup A 是 B 的下界, sup A inf B（B 的最大 下界） 确
例3设 S和 A是非空数集，且有 S A.则有sup S ≥sup A, inf S ≤inf A. .例 4 设 A和 B 是非空数集。 若对 Vx E A 和 Vye B,都有 x ≤y,则有sup A ≤ inf B.证VxEA和VyEB,都有x≤y，=y是A的上界，而 sup A 是A的最小上界 → sup A≤y. 此式又→ sup A是B的下界,= sup A≤ inf B（B的最大下界)
9 例 1 （1） , ( 1 ) 1 − = + n S n 则sup S = _, inf S = _ . （2） E = y y = sin x, x (0, ). 则 sup E = _, inf E = _ . 定理 1.1 (确界原理). 设 S 为非空数集，若 S 有上界，则 S 必有上确界； 若 S 有下界，则 S 必有下确界。 证明(建教材 p7) 例2 非空有界数集的上（或下）? 界是唯一的. 例3 设 S 和 A是非空数集，且有 S A. 则有 sup S sup A, inf S inf A. . 例 4 设 A和 B 是非空数集. 若对x A 和y B, 都有 x y, 则有 sup A inf B. 证 x A 和y B, 都有 x y, y 是 A的上界, 而 sup A 是 A的最 小上界 sup A y. 此式又 sup A 是 B 的下界, sup A inf B（B 的最大 下界） 例 1 （1） , ( 1 ) 1 − = + n S n 则sup S = _, inf S = _ . （2） E = y y = sin x, x (0, ). 则 sup E = _, inf E = _ . 定理 1.1 (确界原理). 设 S 为非空数集，若 S 有上界，则 S 必有上确界； 若 S 有下界，则 S 必有下确界。 证明(建教材 p7) 例2 非空有界数集的上（或下）? 界是唯一的. 例3 设 S 和 A是非空数集，且有 S A. 则有 sup S sup A, inf S inf A. . 例 4 设 A和 B 是非空数集. 若对x A 和y B, 都有 x y, 则有 sup A inf B. 证 x A 和y B, 都有 x y, y 是 A的上界, 而 sup A 是 A的最 小上界 sup A y. 此式又 sup A 是 B 的下界, sup A inf B（B 的最大 下界）
例 5 A和B为非空数集，S=AUB.试证明：inf S = min ( inf A, inf B )证 Vx ε S,有 x e A或 x ε B, 由 inf A和 inf B分别是 A和 B的下界,有x ≥ inf A或x ≥ inf B. = x ≥min ( inf A, inf B)即min(inf A, inf B}是数集 S的下界，= inf S≥min(inf A,inf B)又 S A,= S的下界就是A的下界，inf S是S的下界，= inf S是A的下界,= inf S ≤ inf A； 同理有 inf S ≤inf B. 于是有inf S ≤ min ( inf A, inf B)综上，有inf S = min (inf A,inf B),10
10 例 5 A和 B 为非空数集, S = A B. 试 证明: inf S = min inf A , inf B . 证 x S, 有 x A或 x B, 由inf A和inf B 分别是 A和 B 的下界,有 x inf A或 x inf B. x min inf A ,inf B . 即 min inf A , inf B 是数集 S 的下界, inf S min inf A ,inf B . 又 S A, S 的下界就是 A的下界, inf S 是 S 的下界, inf S 是 A的下界, inf S inf A; 同理有inf S inf B. 于是有 inf S min inf A ,inf B . 综上, 有 inf S = min inf A ,inf B . 1. 数集与确界 的关系: 确界不一定属于原集合. 2. 确界与最值的关系: 设 E 为数 集. E 的 最值必属于 E , 但确界未必, 确界是一种 临界 点. 非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值. 若max E 存 在, 必 有 max E = sup E. ，对下确界 有类似 的结 论. 上 例 5 A和 B 为非空数集, S = A B. 试 证明: inf S = min inf A , inf B . 证 x S, 有 x A或 x B, 由inf A和inf B 分别是 A和 B 的下界,有 x inf A或 x inf B. x min inf A ,inf B . 即 min inf A , inf B 是数集 S 的下界, inf S min inf A ,inf B . 又 S A, S 的下界就是 A的下界, inf S 是 S 的下界, inf S 是 A的下界, inf S inf A; 同理有inf S inf B. 于是有 inf S min inf A ,inf B . 综上, 有 inf S = min inf A ,inf B . 1. 数集与确界 的关系: 确界不一定属于原集合. 2. 确界与最值的关系: 设 E 为数 集. E 的 最值必属于 E , 但确界未必, 确界是一种 临界 点. 非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值. 若max E 存 在, 必 有 max E = sup E. ，对下确界 有类似 的结 论. 上 例 5 A和 B 为非空数集, S = A B. 试 证明: inf S = min inf A , inf B . 证 x S, 有 x A或 x B, 由inf A和inf B 分别是 A和 B 的下界,有 x inf A或 x inf B. x min inf A ,inf B . 即 min inf A , inf B 是数集 S 的下界, inf S min inf A ,inf B . 又 S A, S 的下界就是 A的下界, inf S 是 S 的下界, inf S 是 A的下界, inf S inf A; 同理有inf S inf B. 于是有 inf S min inf A ,inf B . 综上, 有 inf S = min inf A ,inf B . 1. 数集与确界 的关系: 确界不一定属于原集合. 2. 确界与最值的关系: 设 E 为数 集. E 的 最值必属于 E , 但确界未必, 确界是一种 临界 点. 非空有界数集必有确界(见下面的确界原理), 但未必有最值. 若max E 存 在, 必 有 max E = sup E. ，对下确界 有类似 的结 论