《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第九章定积分.docx_大学文库

《数学分析》教案第九章定积分（14 学时） §1 定积分概念教学目的要求：掌握定积分的概念和几何意义，会用定义计算定积分. 教学重点、难点：重点定积分的定义，用定义计算定积分. 难点不定积分定义的理解, 用定义计算定积分. 学时安排: 2 学时教学方法: 讲授法. 教学过程: 一问题的提出不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题，求不定积分是求导数的逆运算，而定积分则是某种特殊和式的极限，它们之间既有本质的区别，但也有紧密的联系。先看两个实例。 1．曲边梯形的面积设函数 f (x) 在闭区间 [a,b] 上连续，且 f (x)  0 。则由曲线 y = f (x)，直线 x = a ， x = b 以及 x 轴所围成的平面图形（如下左图），称为曲边梯形。下面将讨论该曲边梯形的面积（这是求任何曲线边界图形的面积的基础）。在区间 [a,b] 内任取 n −1 个分点，依次为 a = x0  x1  x2  xn−1  xn = b 它们将区间 [a,b] 分割成 n 个小区间 [ , ] i 1 i x x − ，i = 1,2,  , n 。记为 i x ，即 [ , ] i i 1 i x x x  = − ， i = 1,2,  , n 。并用 i x 表示区间 [ , ] i 1 i x x − 的长度，记 max{ , , , } 1 2 n T = x x  x ，再用直线 i x = x ，i = 1,2,  ,n −1 把曲边梯形分割成 n 个小曲边梯形（如上右图）。在每个小区间 [ , ] i 1 i x x − ， i = 1,2,  , n 上任取一点 i  ， i = 1,2,  , n ，作以 ( ) i f  为高， i x 为底的小矩形，其面积为 ( ) i f  i x ，当分点不断增多，又分割得较细密时，由于 f (x) 连续，它在每个小区间 [ , ] i 1 i x x − 上的变化不大，从而可用这些小矩形的面积近似代替相应的小曲边梯形的面积。于是，该曲边梯形面积的近似值为 =   n i i i S f x 1 ( ) 。从而 i n i i T S =  f x = → lim ( ) 1 0  。 2．变力所作的功 W 设质点受力 F 的作用沿 x 轴由点 a 移动到点 b ，并设 F 处处平行于 x 轴（如下图），同上述，有 i n i i W  F x = ( ) 1  ，而 i n i i T W = F x = → lim ( ) 1 0  。二定积分的定义定义 1 设闭区间[ a.b ]内有 n −1 个点，依次为 a = x0  x1  x2  xn−1  xn = b

《数学分析》教案将闭区间[ a.b ]分成 n 个小区间，记为 [ , ] i i 1 i x x x  = − ， i = 1,2,  , n ，简记为 { , , , } 0 1 n T = x x  x ，或 { , , , } 1 2 n T = x x  x 并称为区间[ a.b ]的一个分割。同时也用  i = i − i−1 x x x ， i = 1,2,  , n ，并记 max{ } 1 i i n T = x   称为分割 T 的模。定义 2 设 f (x) 是定义在[ a.b ]上的一个函数，对于[ a.b ]的一个分割 { , , , } 1 2 n T = x x  x ，任取点 i i   x ，i = 1,2,  , n ，并作和式 i n i i  f x = ( ) 1  。称此和式为 f (x) 在[ a.b ]关于分割 T 的一个积分和，也称黎曼和。（注：积分和既与分割 T 有关，也与点 i  的取法有关）。又设 J 是一个确定的实数，若对任给的   0 ，总存在   0 ，使得对[ a.b ]的任意分割 T，以及 i i   x ， i = 1,2,  , n ，只要 T   ，就有    −   = n i i i f x J 1 ( ) 。则称函数 f (x) 在[ a.b ]上可积或黎曼可积。数 J 称为函数 f (x) 在[ a.b ]上的定积分或黎曼积分，记作：  = b a J f (x)dx 其中 f (x) 称为被积函数， x 称为积分变量，[ a.b ]称为积分区间， f (x)dx 称为被积式， a,b 分别称为积分的下限和上限。定积分的几何意义：定积分的几何意义就是-由连续曲线 y = f (x)  0 及直线 x = a, x = b, y = 0 所围曲边梯形的面积。注：定积分  b a f (x)dx 的值只与被积函数 f (x) 及积分区间[ a.b ]有关，而与积分变量所用的符号无关。例1 求由抛物线 2 y = x ， x [0,1] ，及 y = 0 所围平面图形的面积。解（在用定义求定积分时，一般都要选用特殊的分割 T 和特殊的点 i  ），如下图：取分割 T 为 n 等份，并取 i  n i −1 = ，i = 1,2,  , n 。则所为面积为： n n i S n i n 1 ) 1 lim ( 2 1  − = = → = = → − n i n i n 1 2 3 ( 1) 1 lim = 3 1 6 ( 1) (2 1) lim 3 = − − → n n n n n 。课堂练习：课后记: 1、在讲完定积分的定义后,进一步得出 0 1 ( ) lim ( ) n b i i a T i f x dx f x  → =  =   ,分析 i n i i  f x = ( ) 1  与 i  有关,与分

《数学分析》教案法T有关,若已知f(x)在区间[a.b]可积,则任一积分和的极限都等于f(x)dx,所以用定义计算定积分可选一极限好求的积分和来计算定积分，为用定义计算定积分做一铺垫，效果不错2、讲清分割、近似求和、取极限是一种数学思维方式，为定积分的应用打基础82牛顿一莱布尼茨公式敦学目的要求：掌握牛顿一莱布尼茨公式及其证明并会用它计算定积分，会用定积分计算极限教学重点、难点：重点记住牛顿一莱布尼茨公式，会用定积分计算极限难点牛顿一莱布尼茨公式的证明，用定积分计算极限学时安排：2学时教学方法：讲授法教学过程：用定义来计算定积分一般是很困难的，下面将要介绍的牛顿一莱布尼茨公式不仅为定积分的计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。定理9.1若函数f(x)在[a,b]上连续，且存在原函数F(x)，则f(x)在[a,b]上可积，且J" f(x)dx = F(b)- F(a)这即为牛顿一莱布尼茨公式，也常记为f(x)dx=F(x)=F(b)-F(a)。注1：在实际应用中，定理的条件是可以适当减弱的，如F(αx)：在在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且F(x)=f(x),xE(a,b)。而f(x)只要在在[a,b]上可积即可。注2：本定理对F(x)的要求是多余的。例1利用牛顿一莱布尼茨公式计算下列定积分： ra (a为整（0<a<b);3）"e'dx4) ['sin xdx: 5) x/4-xdx注：因为定积分是一类和式的极限，故可以借助于定积分来为某些特殊的极限。例2利用定积分求极限：lm（+++.+)-Jn+1n+22n【解题要领】利用定积分来为极限的关键是把扫求极限转化成某函数的积分和的形式课堂练习：P206T1（1）、（3）、（5)：P207T2（1）、（4）。s3可积条件教学目的要求：掌握可积的必要条件和充分条件，会证明可积的必要条件.了解大和、小和的概念。会应用可积准则证明三类函数的可积性，并掌握证明函数可积性的方法逐步具有证明有关可积性问题的能力教学重点、难点：重点理解并熟记可积性定理的内容难点定理9.5和黎曼函数可积性的证明2学时学时安排：

《数学分析》教案法 T 有关,若已知 f (x) 在区间[ a.b ]可积,则任一积分和的极限都等于  b a f (x)dx ,所以用定义计算定积分可选一极限好求的积分和来计算定积分,为用定义计算定积分做一铺垫,效果不错. 2、讲清分割、近似求和、取极限是一种数学思维方式，为定积分的应用打基础. §2 牛顿—莱布尼茨公式教学目的要求：掌握牛顿—莱布尼茨公式及其证明并会用它计算定积分，会用定积分计算极限. 教学重点、难点：重点记住牛顿—莱布尼茨公式，会用定积分计算极限. 难点牛顿—莱布尼茨公式的证明, 用定积分计算极限. 学时安排: 2 学时教学方法: 讲授法. 教学过程: 用定义来计算定积分一般是很困难的，下面将要介绍的牛顿—莱布尼茨公式不仅为定积分的计算提供了一个有效的方法，而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来。定理 9.1 若函数 f (x) 在 [a,b] 上连续，且存在原函数 F(x) ，则 f (x) 在 [a,b] 上可积，且  = − b a f (x)dx F(b) F(a) 这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为  = = − b a b a f (x)dx F(x) F(b) F(a) 。注 1：在实际应用中，定理的条件是可以适当减弱的，如 F(x) ：在在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，且 F(x) = f (x), x (a,b) 。而 f (x) 只要在在 [a,b] 上可积即可。注 2：本定理对 F(x) 的要求是多余的。例 1 利用牛顿—莱布尼茨公式计算下列定积分： 1）  b a n x dx （n 为整数）； 2）  b a x dx 2 （0<a<b）；3）  b a x e dx ； 4）   0 sin xdx ；5）  − 2 0 2 x 4 x dx . 注：因为定积分是一类和式的极限，故可以借助于定积分来为某些特殊的极限。例 2 利用定积分求极限： J n n n n + + = + + → + ) 2 1 2 1 1 1 lim (  . 【解题要领】利用定积分来为极限的关键是把扫求极限转化成某函数的积分和的形式。课堂练习：P206T1（1）、（3）、（5）；P207T2（1）、（4）。 §3 可积条件教学目的要求：掌握可积的必要条件和充分条件，会证明可积的必要条件.了解大和、小和的概念. 会应用可积准则证明三类函数的可积性，并掌握证明函数可积性的方法逐步具有证明有关可积性问题的能力教学重点、难点：重点理解并熟记可积性定理的内容. 难点定理 9.5 和黎曼函数可积性的证明. 学时安排: 2 学时

《数学分析》教案教学方法: 讲授法. 教学过程: 一可积的必要条件定理 9.2 若函数 f (x) 在 [a,b] 上可积，则 f (x) 在 [a,b] 上必有界。注：该定理指出任何可积函数一定是有界，但要注意的是：有界函数不一定可积。例1 证明狄利克雷函数    = 当为无理数当为有理数， x x ， D x 0 1, ( ) 在 [0，1] 上有界但不可积。二可积的的充要条件要判断一个函数是否可积，由定义，可直接考察积分和是否能无限接近某一常数，但由于积分和的复杂性和那个常数不可预知，因此这是极其困难的。下面即将出的可积准则只与被积函数本身有关，而不涉及定积分的值。设 T={ i x i = 1,2,  ,n }为对[ a ,b]的任一分割。由 f (x) 在[ a ,b]上有界知，它在每个 i x 上存在上、下确界： i x x i M f x  = sup ( ), i x x i m f x  = inf ( ) , i = 1,2,  , n .作和 = =  n i i i S T M x 1 ( ) ， = =  n i i i s T m x 1 ( ) ，分别称为 f (x) 关于分割 T 的上和与下和（或称达布上和与达布下和，统称达布和）任给 i i   x ， i = 1,2 , n ，显然有 s(T) f ( ) x S(T)   i  i  。说明：与积分和相比，达布和只与分割 T 有关，而与点 i  的取法无关。定理 9.3 （可积准则）函数 f (x) 在 [a,b] 上可积  对   0，T ，使得 S(T) − s(T)   。设 i = Mi − mi ，并称为 f (x) 在 i x 上的振幅，有必要时记为 f i 。则有 i n i i S T − s T =  x =1 ( ) ( )  。定理 9. 3 函数 f (x) 在 [a,b] 上可积  对   0，T ，使得     = i n i i x 1 。不等式 S(T) − s(T)   或     = i n i i x 1 的几何意义：若函数 f (x) 在 [a,b] 上可积，则下图中包围曲线 y = f (x) 的一系列小矩形面积之和可以达到任意小，只要分割充分的细；反之亦然。三可积函数类定理 9.4 若函数 f (x) 为 [a,b] 上的连续函数，则 f (x) 在 [a,b] 上可积。定理 9-5 若 f (x) 是区间 [a,b] 上只有有限个间断点的有界函数，则 f (x) 在 [a,b] 上可积

《数学分析》教案定理 9.6 若 f (x) 是区间 [a,b] 上的单调函数，则 f (x) 在 [a,b] 上可积。注意：单调函数即使有无限多个间断点，也仍然可积。例2 试用两种方法证明函数       = + = = , 1,2, 1 1 1 , 1 0, 0 ( ) n n x n n x f x 在区间 [0,1] 上可积。证明 [方法 1] 利用定理 9-6。 [方法 2] 利用定理 9- 3 和定理 9-5。课后记: 1、定理 9.2 的证明中 ( ) k k M G f x  +   ,为什么取 k M G x +  有些学生还是不清楚,需解释一下. 2、这节课的难点是用可积准则证明可积函数类，为此，我在讲课的过程中引导学生总结规律，得出一般情况下用要证明 1 n i i i   x =    ，要么证明 " "   i  ，要么证明 "i 有界 T   " ，有一定的效果. §4 定积分的性质教学目的要求：掌握定积分的性质及其证明方法，会用定积分的性质及其证明方法证明不等式等有关问题. 教学重点、难点：重点定积分的性质和证明方法的运用. 难点利用积分的性质证明问题. 学时安排: 3 学时教学方法: 讲授法. 教学过程: 一定积分的其本性质性质 1 若函数 f (x) 在 [a,b] 上可积， k 为常数，则 kf (x) 在 [a,b] 上也可积，且   = b a b a kf(x)dx k f (x)dx。即常数因子可从积分号里提出。（注意与不定积分的不同）性质 2 若函数 f (x) 、 g(x) 都在 [a,b] 上可积，则 f (x)  g(x) 在 [a,b] 上也可积，且有     =  b a b a b a [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx 。性质 3 若函数 f (x) 、 g(x) 都在 [a,b] 上可积，则 f (x) g(x) 在 [a,b] 上也可积。注意：一般地     b a b a b a f (x)g(x)dx f (x)dx g(x)dx 。性质 4（关于积分区间的可加性）函数 f (x) 在 [a,b] 上可积  c  (a,b) ， f (x) 在 [a, c] 与 [c,b] 上都可积，此时有    = + b a c a b c f (x)dx f (x)dx f (x)dx 。规定 1 当 a = b 时，  = a a f (x)dx 0。规定 2 当 a  b 时，   = − b a a b f (x)dx f (x)dx 。注：有了这个规定后，性质 4 对 a,b, c 的任何大小顺序都成立

《数学分析》教案性质 5 设函数 f (x) 在 [a,b] 上可积，且 f (x)  0， x [a,b] ，则   b a f (x)dx 0 。例设函数 f (x) 在 [a,b] 上连续， f (x)  0， x [a,b] ，且在 f (x) 不恒等于 0，则   b a f (x)dx 0 。例 1 证明：函数 f (x) 在 [a,b] 上连续，且 f (x)  0，  = b a f (x)dx 0 ，则 f (x)  0。推论（积分不等式性质）若函数 f (x) 和 g(x) 均在 [a,b] 上可积，且 f (x)  g(x) ， x [a,b] ，则    b a b a f (x)dx g(x)dx 。性质 6 若函数 f (x) 在 [a,b] 上可积，则 f (x) 也在 [a,b] 上可积，且 f x dx f x dx b a b a  ( )  ( ) 。注意：此命题的逆一般不成立，如函数    − = 为无理数为有理数 x ，x f x 1, 1 ( ) 。例2 设      − −   = − ,0 1 2 1, 1 0 ( ) e x x x f x x ，求 − 1 1 f (x)dx 。【解题要领】对于分段函数的积分，通常利用积分区间的可加性来计算。二积分中值定理定理 9.7 （积分第一中值定理）若 f (x) 在 [a,b] 上连续，则至少存在一点  [a,b] ，使得  = − b a f (x)dx f ()(b a)。积分第一中值定理的几何意义：如右图，若 f (x) 在 [a,b] 上非负连续，则 y = f (x) 在 [a,b] 上的曲边梯形的面积等于以  − = b a f x dx b a f ( ) 1 ( ) 为高， [a,b] 为底的矩形的面积。一般地，称  − b a f x dx b a ( ) 1 为 f (x) 在 [a,b] 上的平均值。例3 试求 f (x) = sin x 在 [0, ] 上的平均值。定理 9.8 （推广的积分第一中值定理）若 f (x) 和 g(x) 都在 [a,b] 上连续，且 g(x) 在 [a,b] 上不变号，则至少存在一点  [a,b] ，使得   = b a b a f (x)g(x)dx f () g(x)dx 说明：当 g(x)  1 时，即为积分第一中值定理。注：事实上，积分第一中值定理和推广的积分第一中值定理中的点  必能   (a,b)。课后记: 1、积分的性质较多,分类记忆方法比较好. 2、P217 注意 2 中的 2 , 1 0, ( ) 1, 0 1. x x x x F x e x −  − −   =  − +   这里 F x( ) 取 1 x e − − + 是因为 P207 题 3 要求 F x( ) 连续.只给出 F x( ),不说原因有一部分同学问为什么?

《数学分析》教案85微积分学基本定理定积分的计算（续）教学目的要求：掌握变上限的定积分和它的分析性质，了解积分第二中值定理及其推论.能熟练的用换元积分法和分部积分法计算定积分.了解泰勒公式的积分型余项教学重点、难点：重点变上限的定积分和它的分析性质，用换元积分法和分部积分法计算定积分难点变上限的定积分和它的分析性质的应用学时安排：3学时教学方法：讲授法，教学过程：变限积分与原函数的存在性设f(x)在[a,b]上可积，则对VxE[a,b]，f(x)在[a,x]上也可积，于是，由0(x)=" f(t)dt, xe[a,b]定义了一个以积分上限×为自变量的函数，称为变上限的定积分。类似地，可定义变下限的定积分Y(x)= I' f(0)dt , xe[a,b]D(x)和(x)统称为变限积分。说明：由于f(t)dt=-f(t)dt，因此，只要讨论变上限积分即可。定理9.9若f(x)在[a,b]上可积，则Φ(x)=f(t)dt在[a,b]上连续。证明：利用连续函数的定义及定积分的性质即可证得。定理9.10（原函数存在定理）若函数f(x)在[a,b]上连续，则Φ(x)=f(t)dt在[a,b]上处处可导,dr且Φ(x) ="f(t)dt = f(x), xe[a,b]。dx证明：利用导数的定义及定积分的性质即可得。说明：此定理沟通了导数与定积分之间的关系；同时也证明了连续函数必有原函数这一结论，并以积分的形式给出了f(x)的一个原函数。因此，该定理也称之为微积分学基本定理。且得用它可以给出牛顿-莱布尼茨公式的另一证明。定理9.11（积分第二中值定理）设f(x)在[a,b]上可积。(1)若函数g(x)在[a,b]上单调递减，且g(x)≥0，则3 [a,b]，使得" f(x)g(x)dx = g(a)" f(x)dx 。(2)若函数g(x)在[a,b]上单调递增，且g(x)≥0，则3ne[a,b]，使得" f(x)g(x)dx = g(b)] f(x)dx 。推论设函数f(x)在[a,b]上可积，函数g(x)在[a,b]上单调，则e[a,b]，使得I" f(x)g(x)dx = g(a)]" f(x)dx + g(b)]' f(x)dx

《数学分析》教案 §5 微积分学基本定理定积分的计算（续）教学目的要求：掌握变上限的定积分和它的分析性质. 了解积分第二中值定理及其推论.能熟练的用换元积分法和分部积分法计算定积分.了解泰勒公式的积分型余项. 教学重点、难点：重点变上限的定积分和它的分析性质, 用换元积分法和分部积分法计算定积分. 难点变上限的定积分和它的分析性质的应用. 学时安排: 3 学时教学方法: 讲授法. 教学过程: 一变限积分与原函数的存在性设 f (x) 在 [a,b] 上可积，则对 x [a,b]， f (x) 在 [a, x] 上也可积，于是，由   = x a (x) f (t)dt ， x [a,b] 定义了一个以积分上限 x 为自变量的函数，称为变上限的定积分。类似地，可定义变下限的定积分：   = b x (x) f (t)dt ， x [a,b] (x) 和 (x) 统称为变限积分。说明：由于   = − x b b x f (t)dt f (t)dt ，因此，只要讨论变上限积分即可。定理 9.9 若 f (x) 在 [a,b] 上可积，则   = x a (x) f (t)dt 在 [a,b] 上连续。证明：利用连续函数的定义及定积分的性质即可证得。定理 9.10 （原函数存在定理）若函数 f (x) 在 [a,b] 上连续，则   = x a (x) f (t)dt 在 [a,b] 上处处可导，且 ( ) f (t)dt f (x) dx d x x a  = =  ， x [a,b] 。证明：利用导数的定义及定积分的性质即可得。说明：此定理沟通了导数与定积分之间的关系；同时也证明了连续函数必有原函数这一结论，并以积分的形式给出了 f (x) 的一个原函数。因此，该定理也称之为微积分学基本定理。且得用它可以给出牛顿-莱布尼茨公式的另一证明。定理 9.11 （积分第二中值定理）设 f (x) 在 [a,b] 上可积。（1）若函数 g(x) 在 [a,b] 上单调递减，且 g(x)  0 ，则  [a,b] ，使得   = b a a f x g x dx g a f x dx  ( ) ( ) ( ) ( ) 。（2）若函数 g(x) 在 [a,b] 上单调递增，且 g(x)  0 ，则  [a,b] ，使得   = b a b f x g x dx g b f x dx  ( ) ( ) ( ) ( ) 。推论设函数 f (x) 在 [a,b] 上可积，函数 g(x) 在 [a,b] 上单调，则  [a,b] ，使得    = + b b a a f x g x dx g a f x dx g b f x dx   ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

《数学分析》教案【解题要领】若函数 g(x) 在 [a,b] 上单调递减，令 h(x) = g(x) − g(b) ，则对 h(x) 应用定理 9-11 即得；若函数 g(x) 在 [a,b] 上单调递增， h(x) = g(x) − g(a) ，则对 h(x) 应用定理 9-11 即得。二定积分的换元积分法和分部积分法定理 9.12 （定积分的换元积分法）若函数 f (x) 在 [a,b] 上连续， (x) 在 [,] 上连续可微，且满足 () = a ，() = b， a  (t)  b ，t [,  ]，则有定积分的换元积分公式：    =  =     f (x)dx f ((t)) (t)dt f ((t))d(t) b a 。注意：在应用中要注意定积分的换元公式与不定积分的换元公式的异同之处。例1 计算 x dx  − 1 0 2 1 。【解题要领】令 x = sin t 或 x = cost 即可。例2 计算  2 0 2 sin cos  t tdt。【解题要领】令 x = cost ，逆向应用换元积分公式即可。例3 计算 dx x x J  + + = 1 0 2 1 ln(1 ) 。【解题要领】先令 x = tan t ，再令 u = − t 4  即可。定理 9.13 （定积分的分部积分法）若 u(x) 、v(x) 为 [a,b] 上的连续可微函数，则有定积分的分部积分公式：    = −  b a b a b a u(x)v (x)dx u(x)v(x) u (x)v(x)dx ，或   = − b a b a b a u(x)dv(x) u(x)v(x) v(x)du(x) 。例 4 计算  e x xdx 1 2 ln 例 5 计算  = 2 0 sin  J xdx n n 和  = 2 0 cos  I xdx n n 。三泰勒公式的积分型余项 1.设函数 f (x) 在点 0 x 的某邻域 ( ) 0 U x 内有 n +1 阶连续导数，令 ( ) 0 x U x ，则  − = + x x n n x t f t dt 0 ( ) ( ) ( 1) x x n n n n x t f t n x t f t n f t 0 [( ) ( ) ( ) ( ) ! ( )] ( ) 1 ( 1) − + − + + − −   +  x x f t dt 0 0 ( ) = n! f (x) − n![ f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + ( ) ] ! ( ) ! ( ) 0 ( ) x x n R x n f x n n n + − = 。其中 R (x) n 即为 f (x) 的泰勒公式的 n 阶余项。由此可得 R (x) n  = − + x x n n f t x t dt n 0 ( )( ) ! 1 ( 1) ，即为泰勒公式的积分型余项。由于 ( ) ( 1) f t n+ 连续， n (x − t) 在[ , ] 0 x x （或[ , ] 0 x x ）上保持同号，故若应用推广的第一积分中值定理于

《数学分析》课程教学资源（教案讲义）第九章 定积分

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