《数学分析》教案第四章函数的连续性（10学时）·引言在数学分析中，要研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数，就是连续函数。从今天开始，我们就来看看这类函数的特点。主要讲以下儿个问题：1什么是“函数的连续性”？2，“间断”或“不连续”有哪些情形？3．连续函数有哪些性质？4．初等函数的连续性有何特点？s1连续性概念教学目的：使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念。教学要求：（1）使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各种等价叙述：（2）应使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函数在一点间断以及函数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能熟练准确地识别不同类型的间断点；（3）明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的，使学生清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵。教学重点：函数连续性概念。教学难点：函数连续性概念。学时安排：2学时教学程序：·引言“连续”与“间断”（不连续）照字面上来讲，是不难理解的。例如下图1中的函数y=f（x），我们说它是连续的，而图2中的函数在x处是间断的。由此可见，所谓“连续函数”，从几何上表现为它的图象是坐标平面上一条连绵不断的曲线。而所谓“不连续函数”从几何上表现为它的图象在某些点处“断开”了。当然，我们不能满足于这种直观的认识，因为单从图形上看是不行的，图形只能帮助我们更形象地理解概念，而不能揭示概念的本质属性。例如，可以举出这样的例子，它在每点都连续但却无法用图形表示出来（如Rieman函数）。因此，为了给出“连续”的定义，需要对此作进一步分析和研究。从图2看出，在x处，函数值有一个跳跃，当自变量从X左侧的近傍变到x右侧的近旁时，对应的函数值发生了显著的变化。而在其它点处（如x，处），情况则完全相反。：当自变量从x向左侧或向右侧作微小改变时，对应的函数值也只作微小的改变；这就是说，当自变量x靠近x时，函数值就靠近f(x），而当x→x时，f(x)→f(x)。换句话说，当x→x时，f(x)以f(x)为极限，即limf(x)=f(x)。根据这一分析，引入下面的定义：一函数在一点的连续性1．函数f在点x连续的定义
《数学分析》教案 第四章 函数的连续性 （10 学时） ⚫ 引言 在数学分析中，要研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数，就是连续函数。从今天开始，我 们就来看看这类函数的特点。主要讲以下几个问题： １．什么是“函数的连续性”？ ２．“间断”或“不连续”有哪些情形？ ３．连续函数有哪些性质？ ４．初等函数的连续性有何特点？ §１ 连续性概念 教学目的：使学生深刻掌握函数连续性的概念和连续函数的概念。 教学要求：（１）使学生深刻理解函数在一点连续包括单侧连续的定义，并能熟练写出函数在一点连续的各种 等价叙述；（２）应使学生从分析导致函数在一点不连续的所有可能的因素出发，理解函数在一点 间断以及函数间断点的概念，从反面加深对函数在一点连续这一概念的理解力并能熟练准确地识 别不同类型的间断点；（３）明确函数在一区间上连续是以函数在一点连续的概念为基础的，使学 生清楚区分“连续函数”与“函数连续”所表述的不同内涵。 教学重点：函数连续性概念。 教学难点：函数连续性概念。 学时安排: 2 学时 教学程序： ⚫ 引言 “连续”与“间断”（不连续）照字面上来讲，是不难理解的。例如下图１中的函数 y f x = ( ) ，我们说 它是连续的，而图２中的函数在 0 x 处是间断的。 由此可见，所谓“连续函数”，从几何上表现为它的图象是坐标平面上一条连绵不断的曲线。而所谓“不 连续函数”从几何上表现为它的图象在某些点处“断开”了。 当然，我们不能满足于这种直观的认识，因为单从图形上看是不行的，图形只能帮助我们更形象地理解 概念，而不能揭示概念的本质属性。 例如，可以举出这样的例子，它在每点都连续但却无法用图形表示出来（如 Rieman 函数）。 因此，为了给出“连续”的定义，需要对此作进一步分析和研究。 从图２看出，在 0 x 处，函数值有一个跳跃，当自变量从 1 x 左侧的近傍变到 1 x 右侧的近旁时，对应的函数 值发生了显著的变化。而在其它点处（如 1 x 处），情况则完全相反。：当自变量从 1 x 向左侧或向右侧作微小改 变时，对应的函数值也只作微小的改变；这就是说，当自变量 x 靠近 1 x 时，函数值就靠近 1 f x( ) ，而当 1 x x → 时， 1 f x f x ( ) ( ) → 。换句话说，当 1 x x → 时， f x( ) 以 1 f x( ) 为极限，即 1 1 lim ( ) ( ) x x f x f x → = 。 根据这一分析，引入下面的定义： 一 函数在一点的连续性 １． 函数 f 在点 0 x 连续的定义
《数学分析》教案定义1（f在点x连续）设函数f在某U(x）内有定义，若limf(x)=f(x)，则称f在点x连续。注limf(x)=f(x)=f(limx)，即“f在点x连续”意味着“极限运算与对应法则f可交换。2.例子例1VxER,sinx,cosx在x处连续。例2. lim(2x+1)=5=f(2)。[xsin!,x+0在点x=0处连续性。例3.讨论函数f(x)=x0,x=03.函数f在点x连续的等价定义1）记号：Ax=x-x一一自变量x在点的增量或改变量。设%=f(x），Ay=f(x)-f(x)=(x+Ax)-f(x)=-——函数y在点x的增量。注：自变量的增量△x或函数的增量Ay可正、可负、也可为零。（区别于“增加")。2）等价定义1：函数f在点x连续limAy=0。3）等价定义2：函数f在点连续>0,38>0，当x-时，1f(x)-f()。注：一个定义是等价的，根据具体的问题选用不同的表述方式。如用三种定义，可以证明以下命题：例4：证明函数f(x)=xD(x)在点x=0连续，其中D(x)为Dirichlet函数。4．函数在点x有极限与函数f在点x连续之间的关系1）从对邻域的要求看：在讨论极限时，假定f在U°（x）内不定义（f在点x可以没有定义）。而f在点连续则要求f在某U(x）内有定义（包括x）。2）在极限中，要求0x-xk8，而当“f在点x连续”时，由于x=x时，1f(α)-f(x)k恒成立。所以换为：1x-x3）从对极限的要求看：“f在点x连续”不仅要求“在点x有极限”，而且limf(x)=f(α）：而在讨论limf(x)时，不要求它等于f(x），甚至于f(x）可以不存在。总的来讲，函数在点x连续的要求是：①f(x）在点x有定义；②limf(x)存在；③limf(x)=f(xo）。任何一条不满足，f在点x就不连续。同时，由定义可知，函数在某点是可连续，是函数在这点的局部性质
《数学分析》教案 定义１（ f 在点 0 x 连续）设函数 f 在某 0 U x( ) 内有定义，若 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = ，则称 f 在点 0 x 连续。 注 0 0 0 lim ( ) ( ) (lim ) x x x x f x f x f x → → = = ，即“ f 在点 0 x 连续”意味着“极限运算与对应法则 f 可交换。 ２．例子 例１． 0 x R x x ,sin ,cos 在 0 x 处连续。 例２． 2 lim(2 1) 5 (2) x x f → + = = 。 例３．讨论函数 1 sin , 0 ( ) 0 , 0 x x f x x x = = 在点 x=0 处连续性。 ３．函数 f 在点 0 x 连续的等价定义 １） 记 号 ： 0 = − x x x — — 自变量 x 在点的增量或改变量。设 0 0 y f x = ( ) ， 0 0 0 0 = − = + − = − y f x f x f x x f x y y ( ) ( ) ( ) ( ) ——函数 y 在点 0 x 的增量。 注：自变量的增量 x 或函数的增量 y 可正、可负、也可为零。（区别于“增加”）。 ２） 等价定义１：函数 f 在点 0 x 连续 0 lim 0 x y → = 。 ３） 等价定义２：函数 f 在点 0 x 连续 0, 0 ，当 0 | | x x − 时， 0 | ( ) ( ) | f x f x − 。 注：一个定义是等价的，根据具体的问题选用不同的表述方式。如用三种定义，可以证明以下命题： 例４．证明函数 f x xD x ( ) ( ) = 在点 x = 0 连续，其中 D x( ) 为 Dirichlet 函数。 ４．函数 f 在点 0 x 有极限与函数 f 在点 0 x 连续之间的关系 １）从对邻域的要求看：在讨论极限时，假定 f 在 0 0 U x( ) 内不定义（ f 在点 0 x 可以没有定义）。而 f 在 点 0 x 连续则要求 f 在某 0 U x( ) 内有定义（包括 0 x ）。 ２）在极限中，要求 0 0 | | − x x ，而当“ f 在点 0 x 连续”时，由于 x= 0 x 时， 0 | ( ) ( ) | f x f x − 恒成 立。所以换为： 0 | | x x − . ３）从对极限的要求看：“ f 在点 0 x 连续”不仅要求“ f 在点 0 x 有极限”，而且 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = ；而在 讨论 0 lim ( ) x x f x → 时，不要求它等于 0 f x( ) ，甚至于 0 f x( ) 可以不存在。 总的来讲，函数在点 0 x 连续 的 要 求是 ： ① f x( ) 在 点 0 x 有 定义 ； ② 0 lim ( ) x x f x → 存在；③ 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = . 任何一条不满足， f 在点 0 x 就不连续。同时，由定义可知，函数在某点是可连续，是函 数在这点的局部性质
《数学分析》教案5．在点左（右）连续定义①定义2：设函数f在点U(xo）（U.(xo)内有定义），若limf(x)=f(xo）（lim(x)=(xo）），则称f在点x右（左）连续。②f在点x连续的等价刻划定理4.1函数f在点x连续一f在点x既是右连续，又是左连续。如上例4：limxD(x)=limx=0=f(0）（右连续），limxD(x)=limx=0=f(0）（左连续)。[x+2,x≥0例5.讨论函数f(x)=在点x=0的连续性。[x-2,x<0二区间上的连续函数1.定义若函数f在区间I上每一点都连续，则称为I上的连续函数。对于闭区间或半开半闭区间的端点函数在这些点上连续是指左连续或右连续。若函数f在区间[α,b]上仅有有限个第一类间断点，则称f在[a,b]上分段连续。2.例子（1）函数y=C,y=x,y=sinx,y=cosx是R上的连续函数；（2）函数y=V1-x2在（-1,1)内每一点都连续。在x=1处为左连续，在x=-1处为右连续，因而它在[-1,1]上连续。命题：初等函数在其定义区间上为连续函数。函数y=[x]，y=sgnx在[-1,1]上是分段连续的y=[x]在R上是分段连续吗？sgnx在R上是分段连续吗？三间断点及其分类1。不连续点（间断点）定义定义3设函数f在某U（x）内有定义，若f在点x无定义，或f在点x有定义而不2，不则称点x。为函数f的间断点或不连续点。注这个定义不好；还不如说：设f在U(xo）内不定义，如果f(x)在x不连续，则称x是f(x)的不连续点（或间断点）。由上述分析可见，若x为函数f的间断点，则必出现下列情形之一：①f(x）在点x无定义；②limf(x)不存在；③limf(x)+f(x）。据此，对函数的间断点作如下分类：
《数学分析》教案 ５． f 在点 0 x 左（右）连续定义 ① 定义２：设函数 f 在点 0 U x( ) + （ 0 U x( ) − 内有定义），若 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → + = （ 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → − = ）， 则称 f 在点 0 x 右（左）连续。 ② f 在点 0 x 连续的等价刻划 定理 4.1 函数 f 在点 0 x 连续 f 在点 0 x 既是右连续，又是左连续。 如上例４： 0 0 lim ( ) lim 0 (0) x x xD x x f → → + + = = = （右连续）， 0 0 lim ( ) lim 0 (0) x x xD x x f → → − − = = = （左连续）。 例５．讨论函数 2, 0 ( ) 2, 0 x x f x x x + = − 在点 x = 0 的连续性。 二 区间上的连续函数 １．定义 若函数 f 在区间Ｉ上每一点都连续，则称 f 为Ｉ上的连续函数。对于闭区间或半开半闭区间的端点， 函数在这些点上连续是指左连续或右连续。若函数 f 在区间 [ , ] a b 上仅有有限个第一类间断点，则称 f 在 [ , ] a b 上分段连续。 ２．例子 （１）函数 y C y x y x y x = = = = , , sin , cos 是Ｒ上的连续函数； （２）函数 2 y x = −1 在 ( 1,1) − 内每一点都连续。在 x =1 处为左连续，在 x =−1 处为右连续，因 而它在 [ 1,1] − 上连续。 命题：初等函数在其定义区间上为连续函数。 函数 y x = [ ]， y x = sgn 在 [ 1,1] − 上是分段连续的 y x = [ ] 在Ｒ上是分段连续吗？ sgn x 在Ｒ上是 分段连续吗？ 三 间断点及其分类 １．不连续点（间断点）定义 定义３ 设函数 f 在某 0 0 U x( ) 内有定义，若 f 在点 0 x 无定义，或 f 在点 0 x 有定义而不２，不则称 点 0 x 为函数 f 的间断点或不连续点。 注 这个定义不好；还不如说：设 f 在 0 0 U x( ) 内不定义，如果 f x( ) 在 0 x 不连续，则称 0 x 是 f x( ) 的不连续点（或间断点）。由上述分析可见，若 0 x 为函数 f 的间断点，则必出现下列情形之一：① f x( ) 在点 0 x 无定义；② 0 lim ( ) x x f x → 不存在；③ 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → 。据此，对函数的间断点作如下分类：
《数学分析》教案2.间断点分类1）可去间断点若limf(x)=A，而f在点x无定义，或有定义但f(x）±A，则称x为f的可去间断点。sinx的可去间断点。例如：x=0是函数f(x）=sgnxg(x）=x“可去间断点”名称何来？通过一定的手段，可以“去掉”。设x是f(x)的可去间断点，且limf(x)=A。[(x),x=x0则x是了(x)的连续点。f(x)三A,x+Xosinxx±0sinx，定义g(x)=例如，对 g(x)= S则g(x）在x=0连续。xx1,x=02）跳跃间断点若limf(x),limf(x)存在，但f(x+0),f(x-0)，则称点x为函数f的跳跃间断→x点。例如，对y=[x]，lim[x]=0,lim[x]=-1故x=0是它的跳跃间断点。r-0再如x=0是sgnx的跳跃间断点。可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点，其特点的函数在该点处的左、右极限都存在。3）第二类间断点函数的所有其它形式的间断点（即使称函数至少有一侧极限不存在的点）称为函数的第二类间断点。1例如，x=0是函数，sin一的第二类间断点。xx82连续函数的性质教学目的：熟悉连续函数的性质并能灵活应用。教学要求：（1）掌握连续的局部性质（有界性、保号性），连续函数的有理运算性质，并能加以证明；熟知复合函数的连续和反函数的连续性。能够在各种问题的讨论中正确运用连续函数的这些重要性质：（2）掌握闭区间上连续函数的主要性质，理解其几何意义，并能在各种有关的具体问题中加以运用：（3）理解函数在某区间上一致连续的概念，并能清楚地认识到函数在一区间上连续与在这一区间上一致连续这二者之间的联系与原则区别。教学重点：闭区间上连续函数的性质：教学难点：一致连续的概念。学时安排：4学时教学程序：◆引言函数的连续性是通过极限来定义的，因而有关函数极限的诸多性质，都可以移到连续函数中来。一连续函数的局部性质性质1（局部有界性）若在x连续。则在某U(x）有界。性质2（局部保号性）若f在x连续，且f(x)>0(or<0)则对任何正数rE(0,f(x）)(rE(f(x),0))
《数学分析》教案 ２．间断点分类 １）可去间断点 若 0 lim ( ) x x f x A → = ，而 f 在点 0 x 无定义，或有定义但 0 f x A ( ) ，则称 0 x 为 f 的可去间 断点。 例如： x = 0 是函数 sin ( ) | sgn |, ( ) x f x x g x x = = 的可去间断点。 “可去间断点”名称何来？通过一定的手段，可以“去掉”。设 0 x 是 f x( ) 的可去间断点，且 0 lim ( ) x x f x A → = 。 0 0 ( ), ( ) , f x x x f x A x x = 则 0 x 是 f x( ) 的连续点。 例如，对 sin ( ) x g x x = ，定义 sin , 0 ( ) 1, 0 x x g x x x = = ，则 g x( ) 在 x = 0 连续。 ２）跳跃间断点 若 0 0 lim ( ), lim ( ) x x x x f x f x → → + − 存在，但 0 0 f x f x ( 0), ( 0) + − ，则称点 0 x 为函数 f 的跳跃间断 点。 例如，对 y x = [ ]， 0 0 lim[ ] 0, lim[ ] 1 x x x x → → + − = = − 故 x = 0 是它的跳跃间断点。 再如 x = 0 是 sgn x 的跳跃间断点。 可去间断点与跳跃间断点统称为第一类间断点，其特点的函数在该点处的左、右极限都存在。 ３）第二类间断点 函数的所有其它形式的间断点（即使称函数至少有一侧极限不存在的点）称为函数 的第二类间断点。 例如， x = 0 是函数 1 x ， 1 sin x 的第二类间断点。 §２ 连续函数的性质 教学目的：熟悉连续函数的性质并能灵活应用。 教学要求：（１）掌握连续的局部性质（有界性、保号性），连续函数的有理运算性质，并能加以证明；熟知 复合函数的连续和反函数的连续性。能够在各种问题的讨论中正确运用连续函数的这些重要性质； （２）掌握闭区间上连续函数的主要性质 ，理解其几何意义，并能在各种有关的具体问题中加 以运用；（３）理解函数在某区间上一致连续的概念，并能清楚地认识到函数在一区间上连续与在 这一区间上一致连续这二者之间的联系与原则区别。 教学重点：闭区间上连续函数的性质； 教学难点：一致连续的概念。 学时安排:4 学时 教学程序： ◆ 引言 函数的连续性是通过极限来定义的，因而有关函数极限的诸多性质，都可以移到连续函数中来。 一 连续函数的局部性质 性质１（局部有界性）若 f 在 0 x 连续。则 f 在某 0 U x( ) 有界。 性质２（局部保号性）若 f 在 0 x 连续，且 0 f x or ( ) 0( 0) 则对任何正数 0 r f x (0, ( )) 0 ( ( ( ),0)) r f x
《数学分析》教案存在某U(x)有f(x)>r>0(f(x)0时，可取r=2使得当xEU(%)有()>)：②与极限相应的性质做比较可见，这里只是把“极限存在"，改为“连2续”，把U(x)改为U°(x)其余一致。性质3。（四则运算）若和g在x点连续，则f土g,f·g，(g(x）≠0)也都在点x连续。19问题两个不连续函数或者一个连续而另一个不连续的函数的和、积、商是否仍旧连续？性质4（复合函数的连续性）若f在点x连续，记f（x）=uo，函数g在u连续，则复合函数gf在点x连续。注1)据连续性定义，上述定理可表为：limgLf(x))=gLf(xo)]=g[limf(x)]，（即函数运算与极限可以交换次序，条件是函数连续利用它可来求一些函数的极限。）例1．求limsin(1-x)2）若复合函数gf的内函数f当x→x时极限为a，又外函数g在u=a连续，上面的等式仍成立。（因此时若limf(x)=a=f(x）的话是显然的：若limf(x)=a≠f(x），或f(x)在x=x无定义，即x是f的可去间断点时，只需对性质4的证明做修改：“|x-x8”为“0x-xk8”即可）。故可用来求一些函数的极限。sinxsinx例2求极限（1）lim（2)limx-0Vxx性质5（反函数的连续性）若函数f在[a,b]上严格单调并连续，则反函数f-"在其定义域[f(a),f(b)]或[f(b),f(a)上连续。二、初等函数的连续性1.复习（关于初等函数）（1）初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数（2）基本初等函数：常量函数y=C幂函数y=xa；指数函数y=α(a>0,al)：对数函数y=logax(a>0,a+1);
《数学分析》教案 存在某 0 U x( ) 有 f x r f x r ( ) 0( ( ) 0) 。 注 ①在具体应用局部保号性时， r 取一些特殊值，如当 0 f x( ) 0 时，可取 0 ( ) 2 f x r = ，则存在 0 U x( ) ， 使得当 0 x U x ( ) 有 0 ( ) ( ) 2 f x f x ；②与极限相应的性质做比较可见，这里只是把“极限存在”，改为“连 续”，把 0 U x( ) 改为 0 0 U x( ) 其余一致。 性质３。（四则运算）若 f 和 g 在 0 x 点连续，则 0 , , ( ( ) 0) f f g f g g x g 也都在点 0 x 连续。 问题 两个不连续函数或者一个连续而另一个不连续的函数的和、积、商是否仍旧连续？ 性质４（复合函数的连续性）若 f 在点 0 x 连续，记 0 0 f x u ( ) = ，函数 g 在 0 u 连续，则复合函数 g f 在 点 0 x 连续。 注 1) 据连续性定义，上述定理可表为： 0 0 0 lim [ ( )] [ ( )] [lim ( )] x x x x g f x g f x g f x → → = = .（即函数运算与极限 可以交换次序，条件是函数连续利用它可来求一些函数的极限。） 例１． 求 2 1 limsin(1 ) x x → − . 2) 若复合函数 g f 的内函数 f 当 0 x x → 时极限为 a，又外函数 g 在 u a = 连续，上面的等式仍成立。 （因此时若 0 0 lim ( ) ( ) x x f x a f x → = = 的话是显然的；若 0 0 lim ( ) ( ) x x f x a f x → = ，或 f x( ) 在 0 x x = 无定义，即 0 x 是 f 的可去间断点时，只需对性质４的证明做修改：“ 0 | | x x − ”为“ 0 0 | | − x x ”即可）。故可用来 求一些函数的极限。 例２ 求极限（１） 0 sin lim 2 x x → x − ;（２） sin lim 2 x x → x − . 性质５（反函数的连续性）若函数 f 在 [ , ] a b 上严格单调并连续，则反函数 1 f − 在其定义域 [ ( ), ( )] f a f b 或 [ ( ), ( )] f b f a 上连续。 二、初等函数的连续性 １．复习（关于初等函数） （１）初等函数：由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到的函数。 （２）基本初等函数： 常量函数 y C= ； 幂函数 y x = ； 指数函数 ( 0, 1) x y a a a = ； 对数函数 log ( 0, 1) a y x a a = ；
《数学分析》教案三角函数y=sinx,cosx,tgx,ctgx：反三角函数y=arcsinxarccosx,arctgx,arcctgx。2.初等函数的连续定理1任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数。定理2一切基本初等函数都是其定义域上连续函数。3．利用初等函数的连续性可计算极限例3.设limu(x)=a>0，limv(x)=b，证明：limu(x)(x)=ab。X→XIn(1 + x)例4.求limx-→(xIn(1+ x°)例5求limcOSx三区间上连续函数的基本性质·引言闭区间上的连续函数具有一些重要的性质。现将将基本的列举如下。从几何上看，这些性质都是十分明显的。但要严格证明它们，还需其它知识，将在第七章2给出。先给出下面的关于“最大大值”的定义：定义1设f为定义在数集D上的函数，若存在xED，使得对一切xED都有f(x)≥f(x)（f(x）≤f(x)），则称f在D上有最大（小）值，并称f(）为f在D上的最大（小）值。例如，y=sinx,[0,元]。Jmax=l、ymin=0。一般而言，f在其定义域上不一定有最大（小）值，即使f（x）在D上有界。例如：f(x)=x,xE(0,1)无最大（小）值；1,xE(0,1)在［0，1］上也无最大（小）值。f(x)=32,x=0,11.性质性质1（最大、最小值定理）若f在闭区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上有最大值与最小值。性质2（有界性定理）若f在[a.bl上连续，则f在[a.b]上有界。[1,xe(0,1)上述结论成立否？说明理由；②f要存在思考①考虑函数f(x)=x,xE(0,1)，g(x)=x 2,x=0,1最大（小）值或有界是否一定要f连续？是否一定要闭区间呢？结论上述性质成立的条件是充分的，而非必要的
《数学分析》教案 三角函数 y x x tgx ctgx = sin ,cos , , ； 反三角函数 y x x arctgx arcctgx = arcsin ,arccos , , 。 ２．初等函数的连续 定理１ 任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数。 定理２ 一切基本初等函数都是其定义域上连续函数。 ３．利用初等函数的连续性可计算极限 例３．设 0 lim ( ) 0 x x u x a → = ， 0 lim ( ) x x v x b → = ，证明： 0 ( ) lim ( )v x b x x u x a → = 。 例４．求 0 ln(1 ) lim x x → x + 。 例５ 求 2 0 ln(1 ) lim cos x x → x + 。 三 区间上连续函数的基本性质 ⚫ 引 言 闭区间上的连续函数具有一些重要的性质。现将将基本的列举如下。从几何上看，这些性质都是十 分明显的。但要严格证明它们，还需其它知识，将在第七章§２给出。先给出下面的关于“最大大值”的 定义： 定义１ 设 f 为定义在数集Ｄ上的函数，若存在 0 x D ，使得对一切 x D 都有 0 f x f x ( ) ( ) （ 0 f x f x ( ) ( ) ），则称 f 在Ｄ上有最大（小）值，并称 0 f x( ) 为 f 在Ｄ上的最大（小）值。 例如， y x = sin ,[0, ] 。 max y =1、 min y = 0。 一般而言， f 在其定义域上不一定有最大（小）值，即使 f x( ) 在Ｄ上有界。 例如： f x x x ( ) , (0,1) = 无最大（小）值； 1 , (0,1) ( ) 2, 0,1 x f x x x = = 在［０，１］上也无最大（小）值。 １．性质 性质１（最大、最小值定理）若 f 在闭区间 [ , ] a b 上连续，则 f 在 [ , ] a b 上有最大值与最小值。 性质２（有界性定理）若 f 在 [ , ] a b 上连续，则 f 在 [ , ] a b 上有界。 思考 ①考虑函数 f x x x ( ) , (0,1) = ， 1 , (0,1) ( ) 2, 0,1 x g x x x = = 上述结论成立否？说明理由；② f 要存在 最大（小）值或有界是否一定要 f 连续？是否一定要闭区间呢？ 结论 上述性质成立的条件是充分的，而非必要的
《数学分析》教案性质3（介值定理）设f在[a,b])上连续，且f(a)±f(b)。若μ是介于f(a)和f(b)之间的任何实数，则至少存在一点xE(a,b)，使得f(x)=μ。注表明若f在[a,b]上连续，又f(a)0，n为正整数，则存在唯一正数xo，使得x=r。例7。设于在[a,b]上连续，满足f([a,b])c[a,b]。证明：存在xE[a,b]，使得f(x)=Xo。四一致连续性·引言在连续函数的讨论和应用中，有一个极为重要的概念，叫做一致连续。我们先叙述何谓一致连续。设f(x）在某一区间I连续，按照定义，也就是f(x）在区间I内每一点都连续。即对VxI,V>0,VxeU(x,)时,就有lf(x)-f(x)8。二的曲线，对接近于原点一般说来，对同一个，当x不同时，8一般是不同的。例如图左。中y=一x的x，就应取小一些。而当x离原点较远时，8取大一些。（对后者的8值就不一定可用于前者。但在以后的讨论中，有时要求能取到一个时区间I内所有的点都适用的n，这就需要引进一个新概念一一致连续。1.一致连续的定义定义（一致连续）设为定义在区间1上的函数。若对任给的ε>0，存在一个8=8()>0，使得对任何x,x"el，只要|x-x"k8，就有If(x)-f(x")Kε，则称函数f在区间I上一致连续。2.函数在区间上连续与一致连续的比较(1）区别：
《数学分析》教案 性质３（介值定理）设 f 在 [ , ] a b 上连续，且 f a f b ( ) ( ) 。若 是介于 f a( ) 和 f b( ) 之间的任何实数， 则至少存在一点 0 x a b ( , ) ，使得 0 f x( ) = 。 注 表明若 f 在 [ , ] a b 上连续，又 f a f b ( ) ( ) 的话，则 f 在 [ , ] a b 上可以取得 f a( ) 和 f b( ) 之间的一切 值。（如左图）。 性质４（根存在定理） 若 f 在 [ , ] a b 上连续，且 f a( ) 和 f b( ) 异号（ f a f b ( ) ( ) 0 ），则至少存在一 点 0 x a b [ , ] ，使得 0 f x( ) 0 = 。 几何意义 若点 A a f a ( , ( )) 和 B b f b ( , ( )) 分别在 x 轴两侧，则连接Ａ、Ｂ的曲线 y f x = ( ) 与 x 轴至少有 一个交点。 ２．闭区间上连续函数性质应用举例 关健 构造适当的 f ；构造适当的闭区间。 例６．证明：若 r 0， n 为正整数，则存在唯一正数 0 x ，使得 0 n x r = 。 例７．设 f 在 [ , ] a b 上连续，满足 f a b a b ([ , ]) [ , ] 。证明：存在 0 x a b [ , ] ，使得 0 0 f x x ( ) = 。 四 一致连续性 ⚫ 引言 在连续函数的讨论和应用中，有一个极为重要的概念，叫做一致连续。我们先叙述何谓一致连续。 设 f x( ) 在某一区间Ｉ连续，按照定义，也就是 f x( ) 在区 间 Ｉ内 每 一 点都 连 续。即对 0 0 x I x U x , 0, ( ; ) 时，就有 0 | ( ) ( ) | f x f x − 。 一般说来，对同一个 ，当 0 x 不同时， 一般是不同的。例如图左。中 1 y x = 的曲线，对接近于原点 的 0 x ， 就应取小一些。而当 0 x 离原点较远时， 取大一些。（对后者的 值就不一定可用于前者。但 在以后的讨论中，有时要求能取到一个时区间Ｉ内所有的点都适用的 ，这就需要引进一个新概念—— 一致连续。 １．一致连续的定义 定义（一致连续） 设 f 为定义在区间Ｉ上的函数。若对任给的 0 ，存在一个 = ( ) 0 ，使得 对任何 x x I , ，只要 | | x x − ，就有 | | f x f x ( ) − ( ) ，则称函数 f 在区间Ｉ上一致连续。 ２．函数在区间上连续与一致连续的比较 (1) 区别：
《数学分析》教案函数f在I连续，函数f在1上一致连续，当>0>0当030定义x'eU(x;)时x',x"elx,x"eU(xo,8) 时If(x)-f(x)ksIf(x)-f(x")k88的取值只与ε有关，而对于I上的不同的点x，相与x无关，或者说，存在应的8是不同的，换言之，的取值除依赖于s外，还与x适合于I上所有点x的对8的要求公共的8，记作有关，由此记为8=8(s,)8=8()，它对任意的表示8与和x有关。x都适用。与区间中每一点及其附近的要知在整个区间的情f(x)情形有关，即只要在区形，在整个区间内来找适性质间中每一点，连续就行。也即合定义中的8，这种性质在每一点中可有适合定义中称为整体性质。的8，这是局部性质。(2)关系若f在I上一致连续，则f在I上连续：反之不成立（即若f在I上连续，f不一定在I上一致连续。3问题：如何判断一个函数是否一致连续呢？有下面的定理：定理（康托Cantor定理）若函数在闭区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上一致连续。4一致连续的例子例8证明f(x)=ax+b(a±0)在(-o0,+o0)上一致连续。例9（1）证明函数y=一在(0,1)内不一致连续。x（2）Vc>0，证明y=一在（c,1)内是一致连续的。x例10证明sin一在(c,I)（c>)内是一致连续的，而在0,1)内连续但非一致连续。x例11设区间I的右端点为CEI，区间I,的左端点也为cEI，（I,I,可分别为有限或无限区间）。试按一致连续性定义证明：若f分别在I和I,上的一致连续，则在I=I,UI,上也一致连续
《数学分析》教案 定义 函 数 f 在Ｉ连续， 0 x I, 0, 0 ，当 0 x U x ( ; ) 时 ， | | f x f x ( ) − ( 0 ) 函数 f 在Ｉ上一致连续， 0, 0 ， 当 x x I , ， 0 x x U x , ( ; ) 时 ， | | f x f x ( ) − ( ) 对 的 要求 对于Ｉ上的不同的点 0 x ，相 应的 是不同的，换言之， 的取值除依赖于 外，还与 0 x 有关，由此记为 0 = ( ; ) x 表示 与 和 0 x 有关。 的取值只与 有关，而 与 0 x 无关，或者说，存在 适合于Ｉ上所有点 0 x 的 公共的 ，记作 = ( ) ，它对任意的 0 x 都适用。 性质 与区间中每一点及其附近的 f x( ) 情形有关，即只要在区 间中每一点，连续就行。也即 在每一点中可有适合定义中 的 ，这是局部性质。 要知 f 在整个区间的情 形，在整个区间内来找适 合定义中的 ，这种性质 称为整体性质。 (2) 关系 若 f 在Ｉ上一致连续，则 f 在Ｉ上连续；反之不成立（即若 f 在Ｉ上连续， f 不一定在Ｉ上一致连 续。 ３．问题：如何判断一个函数是否一致连续呢？有下面的定理： 定理（康托 Cantor 定理） 若函数 f 在闭区间 [ , ] a b 上连续，则 f 在 [ , ] a b 上一致连续。 ４．一致连续的例子 例 8 证明 f x ax b ( ) = + ( 0) a 在 ( , ) − + 上一致连续。 例 9 （１）证明函数 1 y x = 在 (0,1) 内不一致连续。 （２） c 0 ，证明 1 y x = 在 ( ,1) c 内是一致连续的。 例 10 证明 1 sin x 在 ( ,1) c ( 0) c 内是一致连续的，而在 (0,1) 内连续但非一致连续。 例 11 设区间 1 I 的右端点为 1 c I ，区间 2 I 的左端点也为 2 c I （ 1 2 I I, 可分别为有限或无限区间）。试按 一致连续性定义证明：若 f 分别在 1 I 和 2 I 上的一致连续，则 f 在 1 2 I I I = 上也一致连续
《数学分析》教案s3初等函数的连续性教学目的：知道所有初等函数都是在其有定义的区间上连续的函数，并能够加以证明。教学要求：深刻理解初等函数在其定义的区间上都是连续的，并能应用连续性概念以及连续函数的性质加以证明，能熟练运用这一结论求初等函数的极限。教学重点：初等函数的连续性的阐明。教学难点：初等函数连续性命题的证明。教学方法：学导式教学。学时安排：2学时教学程序：从前面两节知道，在基本初等函数中，三角函数、反三角函数以及有理指数幂函数都是其定义域上的连续函数，本节将讨论指数函数、对数函数与实指数幂函数的连续性，以及初等函数的连续性，指数函数的连续性在第一章中，我们已定义了实指数的乘幂，并证明了指数函数y=α(O0，α，β为任意实数，则有a"aβ=aa+β,(a") =aap.证不妨设a>1，则α由第一章3（6）式所定义，即=sup(a"为有理数)任给>0，设r,s为两个有理数，且r<α,s<β，使得aa-a",B-<.α+s <aa+β.由a*的严格增性得又有a".a"=a**,， 故得(a-)aβ-)<aa+βa".a≤aa+β.由的任意性推出为证相反的不等式，设p为有理数，且p<α+β，使得aα+β-e<ap.再取有理数r，s使r<α，s<β以及p<r+s，则有ap<ar+s=a'-a"<aa.aB,aa+β-c<aa.aB故得到由的任意性推出aa+βa"·a，所以有α"·β=aα+β后一等式的证明可类似证出
《数学分析》教案 §３ 初等函数的连续性 教学目的：知道所有初等函数都是在其有定义的区间上连续的函数，并能够加以证明。 教学要求：深刻理解初等函数在其定义的区间上都是连续的，并能应用连续性概念以及连续函数的性质加以 证明，能熟练运用这一结论求初等函数的极限。 教学重点：初等函数的连续性的阐明。 教学难点：初等函数连续性命题的证明。 教学方法：学导式教学。 学时安排: 2 学时 教学程序： 从前面两节知道，在基本初等函数中，三角函数、反三角函数以及有理指数幂函数都是其定义域上的连续函 数．本节将讨论指数函数、对数函数与实指数幂函数的连续性，以及初等函数的连续性． 一 指数函数的连续性 在第一章中，我们已定义了实指数的乘幂，并证明了指数函数 y a a x = (0 1) 在 R 上是严格单调的．下 面先把关于有理指数幂的一个重要性质推广到实指数幂，然后证明指数函数的连续性． 定理 4．10 设 a 0， ， 为任意实数，则有 ( ) a a = a a = a + , ． 证 不妨设 a 1 ，则 x a 由第一章§3（6）式所定义，即 a a r为有理数 r r x x = sup ． 任给 0 ，设 r,s 为两个有理数，且 r ,s ，使得 s a − a a − a , ． 由 x a 的严格增性得 + + a a r s ． 又有 r s r s a a a + = ，故得 ( )( ) + a − a − a ． 由 的任意性推出 + a a a ． 为证相反的不等式，设 p 为有理数，且 p + ，使得 p a − a + ． 再取有理数 r ， s 使 r ， s 以及 p r + s ，则有 a a a a a a p r s r s = + ， 故得到 a − a a + . 由 的任意性推出 a a a + ．所以有 + a a = a ． 后一等式的证明可类似证出．
《数学分析》教案定理4.11指数函数α*(a>0)在R上是连续的证先设a>1.由第三章$2例4知lim α* =1= α°x0这表明α在a=0连续.现任取x。eR由定理4.10得α* = α0+(x-) = α .α-x0令t=x-xo，则当x→x时有t→0，从而有lim α* = lim αa"- = α" lim α' = α"*X→10X-+X0U这就证明了α在任一点x。连续，1当01，而a=6-1b可看作函数b"与u=-x的复合，所以此时a"亦在R上连续，利用指数函数α的连续性，以及第三章$5例4中已证明的lim α* = 0, lim α* = +oo(a> 1),T-可知α的值域为(0,+oo)(00，lim v(x)=b.证明lim u(x)"(x) =ab证补充定义u(x)=a,v(x)=b，则u(x),v(x)在点x。连续，从而v(x)lnu(x)在x。连续，所以u(x)()=e(n)in()=ebina=a在x连续。由此得lim u(x)(*) = lim e()In(x) = eeblna=ab二初等函数的连续性由于幂函数x"（α为实数)可表为x=ealn，它是函数e"与u=αhnx的复合，故由指数函数与对数函数的连续性以及复合函数的连续性，推得幂函数y=x在其定义域（0,+o）上连续前面已经指出，常量函数、三角函数、反三角函数都是其定义域上的连续函数，因此我们有下述定理：定理4.12一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数由于任何初等函数都是由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所得到，所以有
《数学分析》教案 定理 4．11 指数函数 a (a 0) x 在 R 上是连续的. 证 先设 a 1 ．由第三章§2 例 4 知 0 0 lim a 1 a x x = = → , 这表明 x a 在 a = 0 连续．现任取 x0 R．由定理 4．10 得 0 0 0 0 x x ( x x ) x x x a a a a + − − = = 令 0 t = x − x ，则当 0 x → x 时有 t →0 ，从而有 0 0 0 0 0 0 0 lim lim lim t x t x x x x x x x x x a = a a = a a = a → − → → . 这就证明了 x a 在任一点 0 x 连续． 当 0 a 1 时，令 a b 1 = ，则有 b 1 ，而 x x x b b a − = ) = 1 ( 可看作函数 u b 与 u = −x 的复合，所以此时 x a 亦在Ｒ上连续． 利用指数函数 x a 的连续性，以及第三章§5 例 4 中已证明的 lim = 0, lim = +( 1) →− →+ a a a x x x x , 可知 x a 的值域为 (0,+)(0 a 1 时也是如此)．于是 x a 的反函数——对数函数 x a log 在其定义域 (0,+) 内也连续． 例 1 设 lim ( ) 0 0 = → u x a x x ， v x b x x = → lim ( ) 0 ．证明 v x b x x u x = a → ( ) lim ( ) 0 . 证 补充定义 u(x0 ) = a,v(x) = b ，则 u(x), v(x) 在点 0 x 连续，从而 v(x)ln u(x) 在 0 x 连续， 所以 v x v x u x b a b u x = e = e = a ( ) ( )ln ( ) ln ( ) 在 0 x 连续．由此得 v x u x b a b x x v x x x u x = e = e = a → → ( ) ( )ln ( ) ln 0 0 lim ( ) lim . 二 初等函数的连续性 由于幂函数 x ( 为实数)可表为 x x e ln = ，它是函数 u e 与 u = ln x 的复合，故由指数函数与对数函 数的连续性以及复合函数的连续性，推得幂函数 y = x 在其定义域 (0,+) 上连续． 前面已经指出，常量函数、三角函数、反三角函数都是其定义域上的连续函数，因此我们有下述定理： 定理 4．12 一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数． 由于任何初等函数都是由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所 得到，所以有