《数学分析》教案第十八章隐函数定理及其应用教学目的：1.理解隐函数定理的有关概念及隐函数存在的条件，进而会求隐函数的导数；2.了解隐函数组的有关概念，理解二元隐函数组存在的条件，了解反函数组存在的条件；3.掌握隐函数的微分法在几何方面等的应用，会把实际问题抽象为条件极值并予以解决。教学重点难点：本章的重点是隐函数定理；难点是隐函数定理的证明。教学时数：12学时s1-隐函数一。隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法1.隐函数及其几何意义：以F(x,y）=0为例作介绍2.隐函数的两个问题：i》隐函数的存在性；i》隐函数的解析性质.二，隐函数存在条件的直观意义：三.隐函数定理：Th 1（隐函数存在唯一性定理）若满足下列条件：i>函数F(x,)在以P(xo,)为内点的某一区域DCR2上连续;i>F(x,）=0；（通常称这一条件为初始条件）+-1
《数学分析》教案 - 1 - 第十八章 隐函数定理及其应用 教学目的：1.理解隐函数定理的有关概念及隐函数存在的条件，进而会求隐函 数的导数； 2.了解隐函数组的有关概念，理解二元隐函数组存在的条件，了解反函数组存 在的条件； 3.掌握隐函数的微分法在几何方面等的应用，会把实际问题抽象为条件极值并 予以解决。 教学重点难点：本章的重点是隐函数定理；难点是隐函数定理的证明。 教学时数：12 学时 § 1 隐函数 一．隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法. 1. 隐函数及其几何意义: 以 为例作介绍. 2. 隐函数的两个问题: ⅰ> 隐函数的存在性; ⅱ> 隐函数的解析性 质. 二. 隐函数存在条件的直观意义: 三. 隐函数定理: Th 1 ( 隐函数存在唯一性定理 ) 若满足下列条件: ⅰ> 函数 在以 为内点的某一区域 D 上连续 ; ⅱ> ; ( 通常称这一条件为初始条件 )
《数学分析》教素ii>在D内存在连续的偏导数F,(x,J);iv>F,(Xo,yo)+0.则在点P.的某邻域U（P）CD内，方程F(x,J)=0唯一地确定一个定义在某区间(x-α，。α)内的隐函数=f(x)，使得(1)J(x)=，xE(x-α,X+α)时 (x，f())eU(P)且F(x,(x)=0.(2)函数f(x)在区间（x-α，x+α)内连续。(证)四．隐函数可微性定理：Th 2设函数F(x,y)满足隐函数存在唯一性定理的条件，又设在D内F(x,)存在且连续，则隐函数=(x)在区间（x。-α，x。+α)内可导，且F,(xy)f(x) = -(证)F,(x,y)1例1验证方程 F(x,)=-=0在点（0,0）满足隐函数存在siny2唯一性定理的条件，并求隐函数的导数P149例11.22 =y2其中=f(x)为由方程x3+3-3axy=0所确例22dz定的隐函数．求P150例22（仿）dx-2 -
《数学分析》教案 - 2 - ⅲ> 在 D 内存在连续的偏导数 ; ⅳ> . 则在点 的某邻域 ( ) D 内 , 方程 唯一地确定一个定义 在某区间 内的隐函数 , 使得 ⑴ , 时 ( )且 . ⑵ 函数 在区间 内连续 . ( 证 ) 四. 隐函数可微性定理: Th 2 设函数 满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 又设在 D 内 存在且连续 . 则隐函数 在区间 内可导 , 且 . ( 证 ) 例 1 验证方程 在点 满足隐函数存在 唯一性定理的条件 , 并求隐函数的导数 . P149 例 1 例 2 . 其中 为由方程 所确 定的隐函数 . 求 . P150 例 2 ( 仿 )
《数学分析》教素例3（反函数存在性及其导数）设函数=J(x)在点。的某邻域内有连续的导函数f(x)，且f(xo）=yo，f(xo）0.用隐函数定理验证存在反P151 例 4函数，并求反函数的导数五。n元隐函数：P149Th3例 4 F(x,y,2)=x)z3+x2+3-2=0．验证在点（0,0,0)存在z是（x,』)的隐函数，并求偏导数.P150例3s2隐函数组隐函数组：从四个未知数两个方程的方程组au+b,v+c,x+dy+e=0au+bav+cax+dy+e,=0入手介绍隐函数组，一般形式为F(x,y,u,v) =0,*}[G(x,y,u,v) = 0.二。隐函数组定理分析从上述线性方程组中解出u和的条件入手，对方程组*在一定条件下拟线性化，分析可解出u和的条件，得出以下定理，Th1（隐函数组定理）P153Th4.例 1P154例 1.三反函数组和坐标变换：1.反函数组存在定理：-3-
《数学分析》教案 - 3 - 例 3 ( 反函数存在性及其导数 ) 设函数 在点 的某邻域内 有连续的导函数 , 且 , . 用隐函数定理验证存在反 函数 , 并求反函数的导数. P151 例 4 五. 元隐函数: P149 Th3 例 4 . 验证在点 存在 是 的隐函数 , 并求偏导数 . P150 例 3 § ２ 隐函数组 一． 隐函数组：从四个未知数两个方程的方程组 入手介绍隐函数组 ，一般形式为 * 二. 隐函数组定理: 分析从上述线性方程组中解出 和 的条件入手 , 对方程组* 在一定 条件下拟线性化 , 分析可解出 和 的条件 , 得出以下定理 . Th 1 ( 隐函数组定理 ) P153 Th 4. 例 1 P154 例 1. 三. 反函数组和坐标变换: 1. 反函数组存在定理:
《数学分析》教素Th 2（反函数组定理）P155Th52. 坐标变换：两个重要的坐标变换例2，3P156—157例2，3.$3几何应用。平面曲线的切线与法线：设平面曲线方程为F(x,)=0.有F.f'(x) :F切线方程为F(g,y)(x-x)+F(xg,)(-)=0法线方程为F,(x,)(x-x)-F(,J0)(-%)=0例1求Descartes叶形线2(x3+3）-9xy=0在点（2,1)处的切线和法线，P159例 1.空间曲线的切线与法平面：曲线由参数式给出：:x=x()，=y(t)，z=z(t)，αt.1.切线的方向数与方向余弦x-X_-2-20切线方程为x(to)y'(to)z(to)法平面方程为x(0)(x-xo)+(to)(-0)+z(to)(z-z0)=02.设曲线L的方程为曲线由两面交线式给出：- 4 -
《数学分析》教案 - 4 - Th 2 (反函数组定理 ) P155 Th 5 2. 坐标变换: 两个重要的坐标变换. 例 2 , 3 P156—157 例 2 , 3 . § 3 几何应用 一. 平面曲线的切线与法线 : 设平面曲线方程为 . 有 . 切线方程为 , 法线方程为 . 例 1 求 Descartes 叶形线 在点 处的切线和 法线 . P159 例 1. 二. 空间曲线的切线与法平面 : 1. 曲线由参数式给出 : . 切线的方向数与方向余弦. 切线方程为 . 法平面方程为 . 2. 曲线由两面交线式给出 : 设曲线 的方程为
《数学分析》教素(F(x,y,z) = 0,点P(xyoz)在Z上．推导切线公式。[G(x,y,2) = 0[1]P209.x-Xoy-yoZ-Zo切线方程为a(F,G)3(F,G)a(F,G)1ePFa(z,x)a(x,y)a(y,z)法平面方程为a(F,G)1 (x - %) +3(F,) (0-0)+ 8(F,) (z-z0) =0a(y,z)a(z,x)a(x,y)例 2P161例2.三：曲面的切平面与法线：设曲面Z的方程为F(x,y,z)=0，点P(xo,yo,z)在≥上.推导切面公式.1]P211.切平面方程为F(P)x-x)+F,(P)-y)+F,(P)z-z）=0x-o--yoZ-Zo-法定义域线方程为F,(P)F.(P)F(P)例 3P162例3.$4条件极值条件极值问题：先提出下例：例要设计一个容积为V的长方体形开口水箱：确定长、宽和高，使水箱的表面积最小：分别以x、和z表示水箱的长、宽和高，该例可-5
《数学分析》教案 - 5 - 点 在 上. 推导切线公式. [1]P209. 切线方程为 . 法平面方程为 . 例 2 P161 例 2 . 三. 曲面的切平面与法线 : 设曲面 的方程为 , 点 在 上. 推导切面公 式.1]P211. 切平面方程为 . 法定义域线方程为 . 例 3 P162 例 3 . § 4 条件极值 一. 条件极值问题 : 先提出下例: 例 要设计一个容积为 的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表面积最小 . 分别以 、 和 表示水箱的长、宽和高 , 该例可
《数学分析》教素表述为：在约束条件xyz=V之下求函数S(xy,z)=2(xz+yz)+xy的最小值：条件极值问题的一般陈述二.条件极值点的必要条件：设在约束条件@(x,y)=0之下求函数z=f(x)的极值.当满足约束条件的点（o,)是函数(x,y)的条件极值点，且在该点函数(x,)满足隐函数存在条件时，由方程(x,y)=0决定隐函数=g(x)，于是点x。就是一元函坐-J + g()-0.数z=J(x，g(x))的极限点，有dxP,(xo.yo)就有 (0.0)-(x0.)( -0,代入 g(xo)=-P,(x,y0)P,(xo,y0)（以下、、甲、，均表示相应偏导数在点（o）的值：）即f一,=0，亦即（，）（，-甲）=0可见向量（，J）与向量（，一）正交注意到向量（：）也与向量（，，一）正交，即得向量（，，）与向量（x，）线性相关，即存在实数，使（，，）+（x，）=0.[+x=0,亦即+10,=0三、Lagrange乘数法：-6
《数学分析》教案 - 6 - 表述为 : 在约束条件 之下求函数 的最小 值 . 条件极值问题的一般陈述 . 二. 条件极值点的必要条件 : 设在约束条件 之下求函数 的极值 . 当满足约束条件 的点 是函数 的条件极值点 , 且在该点函数 满足隐函数 存在条件时, 由方程 决定隐函数 ,于是点 就是一元函 数 的极限点 , 有 . 代入 , 就有 , ( 以下 、 、 、 均表示相应偏导数在点 的值 . ) 即 — , 亦即 ( , ) , ) . 可见向量( , )与向量 , )正交. 注意到向量 , )也与向量 , )正交, 即得向量( , )与向量 , )线 性相关, 即存在实数 , 使( , ) + , ) . 亦即 三、 Lagrange 乘数法 :
《数学分析》教素由上述讨论可见，函数z=(x,)在约束条件(x,)=0之下的条件极J(x,y)+Ae(x,y) =0,值点应是方程组,(x,)+(x,)=0，的解。(x,)=0倘引进所谓Lagrange函数（称其中的实数为Lagrange乘数）L(x,y,) =f(x,y) +p(x,y),则上述方程组即为方程组(L,(x,y,) =0,L,(x,y,2) =0,L,(x,y,) =0以三元函数，两个约束条件为例介绍Lagrange乘数法的一般情况四、用Lagrange乘数法解应用问题举例：例 1P166求容积为V的长方体形开口水箱的最小表面积：例 1例 2抛物面x2+>2=z被平面x++z=1截成一个椭圆.求该椭圆P167例2到坐标原点的最长和最短距离。例 3求函数(x,J,z)=xyz在条件abe5c其中ab,c为任意正常下的极小值，并证明不等式数.168例3-7 -
《数学分析》教案 - 7 - 由上述讨论可见 , 函数 在约束条件 之下的条件极 值点应是方程组 的解. 倘引进所谓 Lagrange 函数 , ( 称其中的实数 为 Lagrange 乘数 ) 则上述方程组即为方程组 以三元函数 , 两个约束条件为例介绍 Lagrange 乘数法的一般情况 . 四、用 Lagrange 乘数法解应用问题举例 : 例 1 求容积为 的长方体形开口水箱的最小表面积 . P166 例 1 例 2 抛物面 被平面 截成一个椭圆. 求 该椭圆 到坐标原点的最长和最短距离 . P167 例 2 例 3 求函数 在条件 下的极小值 . 并证明不等式 , 其中 为任意正常 数 .168 例 3