S3高斯公式与斯托克斯公式高斯公式与斯托克斯公式都是格林公式的推广。格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的关系；高斯公式建立了空间区域上的三重积分与其边界曲面上的第二型曲面积分之问的关系；斯托克斯公式建立了空问曲面上的第二型曲面积分与其边界曲线上的第二型曲线积分之问的关系
§3 高斯公式与斯托克斯公式 高斯公式与斯托克斯公式都是格林公式的 推广. 格林公式建立了平面区域上的二重积 分与其边界曲线上的第二型曲线积分之间的 关系; 高斯公式建立了空间区域上的三重积 分与其边界曲面上的第二型曲面积分之间的 关系; 斯托克斯公式建立了空间曲面上的第 二型曲面积分与其边界曲线上的第二型曲线 积分之间的关系
一、高斯公式二、斯托克斯公式
一、高斯公式 二、斯托克斯公式
一、高斯公式设空间区域V由分片光滑的双侧封闭曲定理22.3面S围成.若函数P,O,R在V上连续，且有一阶连续偏导数，则aRapaodxdydzdyOzax$f Pdydz+Qdzdx+Rdxdy ,(1)其中S取外侧.（1）式称为高斯公式
一、高斯公式 定理22.3 设空间区域 V 由分片光滑的双侧封闭曲 面 S 围成. 若函数P, Q, R 在 V 上连续, 且有一阶连 续偏导数, 则 d d d V P Q R x y z x y z + + d d + d d + d d , (1) S = P y z Q z x R x y 其中S 取外侧.(1) 式称为高斯公式
aRJdb Rdxdy.读者可类似dxdydz =证下面只证OzZs证明其余两式：apdxdydz = df Pdydz ,axVsaTdxdydz = $f QdzdxJayVs这些结果相加便得到高斯公式（1)先设V是一个xy型区域，即其边界曲面S由曲面S, : z= z,(x,J), (x,y) e D(m)
证 下面只证 = d d d d d . V S R x y z R x y z 读者可类似 d d d d d , V S P x y z P y z x = = d d d d d . V S Q x y z Q z x y 这些结果相加便得到高斯公式 (1). 先设V是一个xy型区域,即其边界曲面S 由曲面 证明其余两式: 1 1 ( ) : ( , ), ( , ) , S z z x y x y D = xy
S, : z=z2(x,y), (x,y)eD(w) *SZ及垂直于 D(x) 的柱面 S3S3组成（图22-7），其中Zi(x,y)≤zz(x,y) .SOyD(xy)于是按三重积分的计算方.法,有图 22 - 7aRz2(x,y) R川dxdydxdydzdz7=OzJzi(x,y) OzVD(xy)
及垂直于 D( ) xy 的柱面 S3 组成(图22-7), 其中 z x y z x y 1 2 ( , ) ( , ) . 于是按三重积分的计算方 2 1 ( ) ( , ) ( , ) d d d d d d xy z x y z x y V D R R x y z x y z z z = 2 2 ( ) : ( , ), ( , ) , S z z x y x y D = xy 法,有 图22 7 − x y z O S2 S1 S3 D( ) xy
(R(x, y,(z,(x, y) - R(x, y,zi(x,y)dxdyD(xy)R(x, y,(z2(x, y)dxdyD(xy)- JJ R(x, y,(z,(x, y)dxdyD(xy)= [[ R(x, y,z)dxdy --(R(x, y,z)dxdyS2S1[[ R(x, y,z)dxdy + [] R(x, y,z)dxdy ,S2St其中 S,S,都取上侧.又由于 S,在xy平面上投影面
( ) 2 ( , ,( ( , ))d d D xy = R x y z x y x y = − 2 1 ( , , )d d ( , , )d d S S R x y z x y R x y z x y 1 2 S S, 其中 都取上侧. 又由于 S xy 3 在 平面上投影面 2 1 ( , , )d d ( , , )d d , S S R x y z x y R x y z x y − = + ( ) 2 1 ( ( , ,( ( , )) ( , , ( , )))d d D xy = − R x y z x y R x y z x y x y ( ) 1 ( , ,( ( , ))d d D xy − R x y z x y x y
R(x, y,z)dxdy = 0 .积为零，所以S3从而得到aRSRdxdy +(Rdxdy + ( Rdxdydxdydz =OzS2S3Sr- $f Rdxdy.s对于不是v型区域的情形，一般可用有限个光滑曲面将它分割成若干个xy型区域来讨论
从而得到 2 3 1 d d d d d d d d d V S S S R x y z R x y R x y R x y z − = + + 对于不是 xy 型区域的情形, 一般可用有限个光滑 = 3 ( , , )d d 0 . S 积为零, 所以 R x y z x y 曲面将它分割成若干个 xy 型区域来讨论. d d . S = R x y
例1计算I = $p y(x -z)dydz + x'dzdx +(y* + zx)dxdy ,s其中S是边长为a的正立方体表面并取外侧解应用高斯公式81= J%((x-2) dxdydz+xz)ayOz Jf (y + x)dxdydz=J, dz J, dy ], (y+x)dxaf.(y+ dy=a
例1 计算 2 2 ( )d d d d ( )d d , S I y x z y z x z x y zx x y = − + + + 其中 S 是边长为a 的正立方体表面并取外侧. ( ) 2 2 ( ) ( ) ( ) d d d V I y x z x y xz x y z x y z = − + + + 解 应用高斯公式, 2 4 0 1 d . 2 a a ay a y a = + = 0 0 0 ( )d d d = d d ( + )d a a a V = +y x x y z z y y x x
注若在高斯公式中 P=x,Q=y,R=z,则有f xdydz + ydzdx + zdxdy = [f (1+1+1)dxdydz.S于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域V的体I $+ xdydz + ydzdx + zdxdy .积的公式：△V=，SSi[I y(x - z)dydz + x'dzdx + (y2 + xz)dxdy,例2 计算s其中 S为曲面 z=5-x2-2上 z≥1 的部分,并取上侧
注 若在高斯公式中 P x Q y R z = = = , , , 则有 d d d d d d (1 1 1)d d d . S V x y z y z x z x y x y z + + = + + 于是得到应用第二型曲面积分计算空间区域V的体 积的公式: 1 1 d d d d d d . 3 S V x y z y z x z x y = + + 例2 计算 2 2 ( )d d d d ( )d d , S y x z y z x z x y xz x y − + + + S 2 2 其中 为曲面 z x y = − − 5 上 z 1 的部分, 并取 上侧
解由于曲面不是封闭的，不能直接应用高斯公式为了能使用高斯公式以方便计算，可补充一块平面S,:x2+y2≤4,z=1,并取下侧,则 SU S, 构成一封闭曲面.于是f y(x -z)dydz + x'dzdx +(y + xz)dxdySUSI/ / (x + y)dxdydzL5-r42元dedr(r cos + rsin )rdz = 0S
解 由于曲面不是封闭的,不能直接应用高斯公式. 为了能使用高斯公式以方便计算,可补充一块平面 2 2 1 S x y z : 4, 1, + = 并取下侧 S S 1 , 则 构成一封 闭曲面.于是 1 2 2 ( )d d d d ( )d d S S y x z y z x z x y xz x y − + + + ( )d d d V = + x y x y z 2 2 2 5 0 0 1 d d ( cos sin ) d 0. r r r r r z − = + =