第五章导数和微分r81 导数的概念S2求导法则S3参变量函数的导数$4高阶导数S5微分
第五章 导数和微分 §1 导数的概念 §2 求导法则 §3 参变量函数的导数 §4 高阶导数 §5 微分
S1 导数的概念教学内容：1、给出了导数的物理模型一瞬时速度和几何模型一切线斜率2、给出了函数在一点的导数（可导）的定义和函数在一点的左右导数的定义，以及函数在区间上可导的定义；给出了可导与连续的关系。3、给出了导数的几何意义一切线的斜率4、给出了应用导数的定义计算导数的例题教学重点：导数的定义和计算
1、给出了导数的物理模型—瞬时速度和几何模型—切线斜率。 2、给出了函数在一点的导数（可导）的定义和函数在一点的左、 右导数的定义，以及函数在区间上可导的定义；给出了可导与连 续的关系。 3、给出了导数的几何意义—切线的斜率。 教学内容： 4、给出了应用导数的定义计算导数的例题。 教学重点: 导数的定义和计算 §1 导数的概念
要求：1、知道导数的构造性定义，理解导数在研究函数性态方面的作用2、知道导数和连续的关系，即可导必连续，连续不一定可导3、应用导数的定义计算函数在一点的导数问题的提出：在中学里我们学习过，物体作习速直线运动，其速度等于位移除以时间。而物体的运动往往不可能总是匀速的通常人们所说的物体运动速度是指物体在一段时间内的平均速度。平均速度不能反映物体的瞬时速度。如果我们已知物体的运动规律，如何计算它的瞬时速度？
问题的提出: 在中学里我们学习过，物体作匀速直线运动，其速度等 于位移除以时间。而物体的运动往往不可能总是匀速的， 通常人们所说的物体运动速度是指物体在一段时间内的 平均速度。平均速度不能反映物体的瞬时速度。如果我 们已知物体的运动规律，如何计算它的瞬时速度? 要求: 1、知道导数的构造性定义,理解导数在研究函数性态方面的作用. 2、知道导数和连续的关系,即可导必连续,连续不一定可导. 3、应用导数的定义计算函数在一点的导数
两个例子：1、瞬时速度设一质点作直线运动，其运动规律为s = s(t)若to为某一确定的时刻，求其在该时刻的速度设t为邻近于to的时刻，则s(t) -s(to)i=t -to是质点在时间段[to,t](或[t,to]上的平均速度
0 . ( ). 若 为某一确定的时刻，求其在该时刻的速度 设一质点作直线运动，其运动规律为 t s = s t ] . 0 , ] [ , 0 [ 0 ) 0 ( ) ( 0 是质点在时间段 （或 ）上的平均速度 设 为邻近于 的时刻，则 t t t t t t s t s t v t t − − = 两个例子: 1、瞬时速度
则物体在时刻 t。的瞬时速度定义为△sv(to) = lim = lim△t->0 △t△t-→0s(to + △t) - s(to)= lim△t△t-→0速度反映了路程对时间变化的快慢程度
则物体在时刻 t 0 的瞬时速度定义为 t s v t v t t = = →0 →0 0 ( ) lim lim t s t t s t t + − = → ( ) ( ) lim 0 0 0 速度反映了路程对时间变化的快慢程度
2.切线的斜率曲线 y= f(x) 在其上一点P(xo,yo)曲线y=f(x)在其上一点P(xo,yo)处的切线PT是割线PQ当动点Q沿曲线无限接近与点P时的位置.因为割线PO的斜率为k_ f(x)-f(xo)yx-x0QT所以当x→xo时如果k的极限存在,则极限f(x)- f(xo)Pk = limx-xoCx→xoX即为曲线在点P的切线的斜率
沿曲线无限接近与点 时的位置 因为割线 的斜率为 曲线 在其上一点 处的切线 是割线 当动点 Q P PQ y f x P x y PT PQ . = ( ) ( 0 , 0 ) x Q 曲线 在其上一点 P(x 0, y 0) , 0 ( ) ( 0 ) x x f x f x k − − = 所以当x → x 0时如果k的极限存在, 则极限 y = f (x) 0 ( ) ( 0) lim 0 x x f x f x x x k − − → = 即为曲线在点 P的切线的斜率. O P T y 2. 切线的斜率
导数的定义定义1:设函数y= f(x) 在点xo的某邻某邻域内有定义,极限f(x)- f(xo)limx- xox→xo存在,则称函数f在点xo处可导,并称该极限为函数f在点xo处的导数,记作f(xo).Ayf(x0 + △x) -f(x 0)即 f(xo)= limlimAr->0 △xAx△x-→>0f(x) -f(x 0)(1) lim=x-xox-→xo若式极极限不存在，则称在点xo处不可导
x y x → = 0 f (x0) lim , ( 0). , 0 , 0 f x f x f x 处的导数 记作 存在 则称函数 在点 处可导 并称该极限为函数 在点 设函数y = f(x) 在点 x0 的某邻某邻域内有定义,极限 0 ( ) ( 0) lim 0 x x f x f x x x − − → 定义1: 即 x x0 f(x) f(x 0) lim f(x 0 ) f(x 0 ) 0 lim 0 − − → = + − → = x x x x x 若式极极限不存在，则称f在点 x0 处不可导. (1) 一 导数的定义
例1 求函数 f(x)= x2在点x =1处的导数,并求曲线在点(1,1)处的切线方程解：由定义求得(1+△x)2 -1f(1+Ax)-f{(1)= lim (f(I)= lim Ax△xAr-→0x→xo24r + 4r2= limlim (2+△x)= 2ArAr-→0Ax-→0由此知道抛物线=x-在点(1,1)处的切线斜率为k = f'(x) = 2所以切线方程为y = 2x -1y- 1 = 2(x -1)即
点(1 , 1)处的切线方程. 例1求函数 f (x) = x 2 在点x = 1处的导数,并求曲线在 解: 由定义求得 (2 ) 2 0 lim 2 2 0 lim x 1 2 (1 x) lim f(1 ) f(1) 0 (1) lim 0 + = → = + → = + − → = + − → = x x x x x x x x x x x f 由此知道抛物线 y = x 2 在点(1 , 1)处的切线斜率为 k = f (x) = 2 所以切线方程为 y −1 = 2(x −1) 即 y = 2x −1
例2 证明函数f(x)= x在点xo =0 处不可导证 因为f(x) - f(0) _ [μl「1,x>0,x-0[-1, x < 0x当x→0时极限不存在,所以f 在点x =0处不可导注：利用导数的定义可证,常量函数在任何点的导数为零即C = 0
例2证明函数f (x) = x 在点x 0 = 0处不可导. 证 因为 − = = − − 1, 0 1, 0, 0 ( ) (0) x x x x x f x f 当x →0时极限不存在,所以f 在点x = 0处不可导. 注: 利用导数的定义可证, 常量函数在任何点的导数为零, 即 C = 0
定义2:设函数y=f(x)在点xo 的某邻域(xo，xo +)上有定义,若右极限f(x 0 + △x) -f(x 0)lim = limAxAx→0+ 4rxx→0+f(x) -f(x0) lim(0 0x→xo左、右导数统称为单侧导数
(0 ) 0 x - x ) 0 f(x) f(x x lim ) 0 ) f(x 0 f(x 0 lim x 0 lim 0 − → = + − → = → + + + x x x x x x y 定义2: 限 域 有定义,若右极 设函数y = f (x)在点x 0 的某邻 (x 0 , x 0 + )上 存在,则称该极限为f 在点x 0 的右导数,记作f + (x 0). 类似地, 可以定义左导数 x - x0 ) 0 f(x) f(x x lim ) 0 ) f(x 0 f(x 0 (x) lim / - f 0 - − → = + − → = − x x x x 左﹑右导数统称为单侧导数