83瑕积分的性质与收敛判别授课题目：823瑕积分的性质与收敛判别自的要求：理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念并能用瑕积分的Cauchy收敛原理、比较判别法判别基本的瑕积分敛散性重点难点：用比较判别法与柯西判别法判别瑕积分的敛散性教学方法：讲授法教学过程如下：说明：(1)本节的内容类似于上节无穷积分的相应的内容；(2)以下只给出f(x)dx(a为瑕点)的性质及收敛判别;其它几种情形类似可得
授课题目:§2 3 瑕积分的性质与收敛判别 目的要求:理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念并能用瑕积分的 Cauchy 收敛原理、比较判别法判别基本的瑕积分敛散性. 重点难点:用比较判别法与柯西判别法判别瑕积分的敛散性. 教学方法:讲授法 教学过程如下: §3 瑕积分的性质与收敛判别 其它几种情形类似可得。 以下只给出 为瑕点）的性质及收敛判别， 说明： 本节的内容类似于上节无穷积分的相应的内容； b a (2) f (x)dx(a (1)
一.瑕积分的性质设F(u)={"f(x)dx,则[f(x)dx收敛与否取决于F(u)当u→at时是否存在极限。由极限存在的柯西准则可得1.瑕积分收敛的柯西准则定理11.5:瑕积分「f(x)dx(a为瑕点)收敛的充要条件是：任给>0存在>0,只要u、u2 (a,a+)，便有I" f(x)dx- I", f(x)dx -| " f(x)dx <e
一. 瑕积分的性质 是否存在极限。由极限存在的柯西准则可得 设F u = f x dx，则 f x dx收敛与否取决于F u 当u → a + 时 b a b u ( ) ( ) ( ) ( ) 1. 瑕积分收敛的柯西准则 定理11.5： − = + 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) 0 ( , ) ( ) ( 0 1 2 u u b u b u b a f x dx f x dx f x dx u u a a f x dx a 存在 ，只要 、 ，便有 瑕积分 为瑕点）收敛的充要条件是：任给
2.瑕积分的性质性质1:设函数f,与f,的瑕点同为x=a,若[~fi(x)dx与[~f,(x)dx都收敛,ki、k,为任意常数，则['[kjfi(x)+kzf,(x)]dx也收敛，且['[kfi(x) + k ;(x)]dx = ki Jf(x)dx + k J,f,(x)dx(1)性质2:设函数f的瑕点为x=a,c e(a,b)为任一常数。则瑕积分[~f(x)dx与[~f(x)dx同敛态，且有, f(x)dx = Jf(x)dx + J°f(x)dx(2)其中右边第二项是定积分
2. 瑕积分的性质 性质1： + = + + = b a b a b a b a b a b a k f x k f x dx k f x dx k f x dx k k k f x k f x dx f f x a f x dx f x dx [ ( ) ( )] ( ) ( ) (1) [ ( ) ( )] , ( ) ( ) 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 、 为任意常数，则 也收敛，且 设函数 与 的瑕点同为 若 与 都收敛， 性质2： 其中右边第二项是定积分。 与 同敛态，且有 设函数 的瑕点为 为任一常数。则瑕积分 = + = b a b c c a c a b a f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x a c a b ( ) ( ) ( ) (2) ( ) ( ) , ( , )
3.瑕积分的绝对收敛与条件收敛设函数的瑕点为x=a,若瑕积分[lf(x)dx收敛，则称瑕积分f(x)dx 绝对收敛;若['lr(x)|dx发散，而[f(x)dx收敛则称瑕积分[~f(x)dx 条件收敛。性质3：设函数的瑕点为x=a,f在(a,b的任一内闭区间[u,b]上可积。则当[lf(x)dx收敛时,[,f(x)dx亦必收敛，且有[, f(x)dx≤ J,1(x)dxx (3)说明：性质3指出：绝对收敛的瑕积分必收敛，但反之未必。（今后举例说明）
3. 瑕积分的绝对收敛与条件收敛 设函数 的瑕点为 = 若瑕积分 收敛，则称 b a f x a, f (x) dx 绝对收敛； 若 发散，而 收敛， b a b a f (x) dx f (x)dx 条件收敛。 b a 瑕积分 f (x) dx b a 则称瑕积分 f (x) dx 性质3： = b a b a b a b a f x dx f x dx f x dx f x dx f x a f a b u b ( ) ( ) (3) ( ) ( ) , ( , ] [ , ] 则当 收敛时， 亦必收敛，且有 设函数 的瑕点为 在 的任一内闭区间 上可积。 说明：性质3指出：绝对收敛的瑕积分必收敛，但反之未必。 （今后举例说明）
二。瑕积分敛散性的判别1.瑕积分收敛的比较判别法（1）不等式形式定理11.6：设定义在(a,bl上的两个函数f和g瑕点均为x=a都在任何区间[u,blc(a,bl上可积，且满足Lf(x)<g(x), xe(a,bl则(1)当[~g(x)dx收敛时,f1f(x)|dx必收敛;(2)当[~1 f(x)|dx发散时,J,g(x)dx必发散。（与级数类）定理指出：大收敛则小收敛；小发散则大发散
二. 瑕积分敛散性的判别 1. 瑕积分收敛的比较判别法 （1）不等式形式 定理11.6： ( , ] , [ , ] ( , ] | ( ) | ( ) ( , ] 1 ( ) | ( ) | 2 | ( ) | ( ) b b a a b b a a a b f g x a u b a b f x g x x a b g x dx f x dx f x dx g x dx = 设定义在 上的两个函数 和 瑕点均为 都在任何区间 上可积，且满足 ， 则（）当 收敛时， 必收敛； （ ）当 发散时， 必发散。 定理指出：大收敛则小收敛；小发散则大发散。（与级数类）
（2）极限形式推论1：设函数f和g瑕点同为x=a,g(x)>0,且它们都在I f(x) I=c,则有：任何区间[u,b]c(a,b]上可积，若有 limg(x)(1) 当0<c<+oo时,f,1 f(x)| dx与[,g(x)dx同敛态;(2）当c=0时，由[g(x)dx收敛可推知[1f(αx)|dx也收敛;(3）当c=+oo时，由g(x)dx发散可推知f(x)|dx也发散注意：1.推论中，当c=0时只能判别收敛；当c为正无穷大时只能判别发散；2.用此推论时要找分母的g(x)且「°g(x)dx的敛散性要知道;3.找g(x)的时候最好使极限是一个非0的常数
（2）极限形式 推论1： , ( ) 0, | ( ) | [ , ] ( , ] lim , x a ( ) f g x a g x f x u b a b c → g x = = ＋ 设函数 和 瑕点同为 且它们都在 任何区间 上可积，若有 则有： 1 0 | ( ) | ( ) 2 0 ( ) | ( ) | 3 ( ) | ( ) | b b a a b b a a b b a a c f x dx g x dx c g x dx f x dx c g x dx f x dx + = = + （）当 时， 与 同敛态； （ ）当 时，由 收敛可推知 也收敛； （ ）当 时，由 发散可推知 也发散。 注意：1.推论中，当c=0时只能判别收敛；当c为正无穷大时 只能判别发散； 2.用此推论时要找分母的g(x)且 的敛散性要知道； b a g(x)dx 3.找g(x)的时候最好使极限是一个非0的常数
1可以得柯西判别法特殊地，取g(x)二(x-a)p2.瑕积分收敛的柯西判别法推论2：（不等式形式）设f定义在（a,bl.a为其瑕点且在任何区间[u,b]上可积，则有：1且0<p<1时,[I f(x)|dx收敛;(1) 当lf(x)<(x-a)1且p≥1时,[1f(x)|dx发散(2) 当lf(x)[Z(x-a)p推论3：（极限形式）设f定义在(a,bl,a为其瑕点,且在任何区间[u,b]c(a,b]上可积，如果lim(x-a)Pf(x)=a，则有:(1) 当0<p<1,0≤<+oo时,[lf(x)|dx收敛(2) 当p≥1,0<≤+oo时, [lf(x)|dx发散
特殊地，取 p 可以得柯西判别法 x a g x ( ) 1 ( ) − = 2. 瑕积分收敛的柯西判别法 ( ( , ], , [ , ] f a b a u b 不等式形式）设 定义在 为其瑕点 且在任何区间 上可积，则有： 推论2： 1 1 ( ) | , 0 1 , | ( ) | ( ) 1 2 ( ) | , 1 , | ( ) | ( ) b p a b p a f x p f x dx x a f x p f x dx x a − − （）当| 且 时 收敛； （ ）当| 且 时 发散。 推论3： ( ( , ], , [ , ] ( , ] lim( ) ( ) p x a f a b a u b a b x a f x → + − = 极限形式）设 定义在 为其瑕点 且在任何 区间 上可积，如果 ，则有： 1 0 1,0 , | ( ) | 2 1,0 , | ( ) | b a b a p f x dx p f x dx + + （）当 时 收敛； （ ）当 时 发散
注意：1.实际应用中，常用推论3：2.用推论3时要找p,使同时满足p及α的条件：3.找p的时候最好使极限是一个非0的常数。例1：讨论下列瑕积分的收敛性：ryx dxonedx:(2) xiInx解题思路：1.解题前要先判别瑕点是哪个：2.要用柯西判别法必须保证被积函数是非负函数。In xln x0X1In xinx由于 lim ×%(-limlim (4x 4) = 0x→0X-0X-0Vxx
注意：1.实际应用中，常用推论3； 2.用推论3时要找p,使同时满足p及 的条件； 3.找p的时候最好使极限是一个非0的常数。 例1：讨论下列瑕积分的收敛性： 2 1 1 0 ln (2) ln 1 dx x x dx x x （） ； 解题思路：1.解题前要先判别瑕点是哪个； 2.要用柯西判别法必须保证被积函数是非负函数。 解:(1) x x x x x ln 0, (0,1] ln 由于 ，所以考虑− 再因为 所以 是 的瑕点 x x x x x x ln ) , 0 ln lim ( 0 − = = − → + lim (4 ) 0 ln ) lim ln lim ( 4 1 0 4 1 0 4 3 0 − = − = = + + → + → → − x x x x x x x x x 由于
Inx此时p=34，=0,所以由推论3得dx是收敛的InxIn x=dx与而[-=-dx是同敛散的，所以dx是收敛的。X/xVxx= 80,所以x = 1是的瑕点(2)因为 lim> 0, x E(1,2],In x In xIn xx-→>1+Vxx-1lim由于 lim (x -1)=1In xln xX-1x→1*此时p=1，入=1,所以由推论3得dx是发散的。:In x下面看一个无穷积分及瑕积分的综合例子：0X例2：讨论反常积分 d(α)=dx的收敛性1+x解题思路:此题既是无穷积分也是瑕积分(x-0是瑕点),要分开考虑
, ln 0, 3 4 3 1 0 此时 ， 所以由推论 得 dx是收敛的 x x p = = − , ln 1 ln 0 1 0 而 与 dx是同敛散的 x x dx x x − 所以 dx是收敛的。 x x 1 0 ln (2) 0, (1,2]， ln x x x 因为 所以 是 的瑕点 x x x x x x ln , 1 ln lim 1 = = → + 1 ln 1 lim ln lim ( 1) 1 1 = − − = → + → + x x x x x x x 由于此时 ， 所以由推论 得 dx是发散的。 x x p = = 2 1 ln 1 1, 3 下面看一个无穷积分及瑕积分的综合例子： 例2：讨论反常积分 dx的收敛性。 x x + − + = 0 1 1 ( ) 解题思路:此题既是无穷积分也是瑕积分(x=0是瑕点),要分开考虑
a+8解: d(α)dx+dx = I(α) + J(α)1101+x1+xJodx:先讨论I(α)=+x(1)当α一1≥0，即α≥时它是定积分;(2)当α-10+当00,=时,I(α)收敛;当p=1-α≥1,即α≤0,=时，I(α)发散+x再讨论J(α)=|dx: 1+xr9-1x由于 lim x2-α lim=1由上节推论3可知1+x1+xx-→+00x-→+00
解: ( ) ( ) 1 1 ( ) 1 1 1 0 1 dx I J x x dx x x = + + + = + − − ＋ 先讨论 dx： x x I + = − 1 0 1 1 ( ) (1)当－1 0，即 1时它是定积分； (2)当－1 0，即 1时它是瑕积分，x = 0是瑕点。 由于 － 1,由推论3可知 1 lim 1 1 0 = + − → + x x x x 当0 p =1− 1，即 0, =1时，I()收敛； 当p =1− 1，即 0, =1时，I()发散。 再讨论 dx： x x J + − + = 1 1 1 ( ) 由于 － 1,由上节推论3可知 1 lim 1 lim 1 2 = + = + →+ − →+ x x x x x x x