第十五章傅里叶级数
第十五章 傅里叶级数
第一节傅里叶级数三角函数正交函数系在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一种周期运动，最简单的周期运动，可用正弦函数(1)y = Asin(ox +β)来描写，由（1）表达的周期运动也称为简谐振动，其中A为振幅，β为初相角，の为角频率，于是
第一节 傅里叶级数 一 三角函数正交函数系 在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰 到一种周期运动，最简单的周期运动，可用正 弦函数 y A x = + sin( ) 1 （ ） 来描写 ，由（1）表达的周期运动也称为简谐振 动，其中A为振幅， 为初相角， 为角频率,于是
2元简谐振动 y 的周期是 T =较为复杂的0周期运动，则常是几个简谐振动Yk = A, sin( kax + Pk)K=1, 2, ..", n的叠加nEyk = EA, sin(kox+Pk)(2)y=k=1k=1
简谐振动 y 的周期是 2 T = 周期运动，则常是几个简谐振动 sin( ) yk = Ak kx +k K=1,2,.,n 的叠加 较为复杂的 1 1 sin( ) 2 n n k k k k k y y A k x = = = = + （ ）
T27元) K=1,2,...,n由于简谐振动的周期为k0所以函数（2）的周期为T，对无穷多个简谐振动进行的叠加就得到函数的项级数A, + E A, sin(nox + pn)(3)n=若级数（3）收敛，则它所描述的是更为一般的周期运动现象，对于级数（3），我们只要讨论(如果の≠1，可用のx代替x)的情形
由于简谐振动 k y 的周期为 k T 2 T （ = ） K=1,2,.,n 所以函数（2）的周期为 T，对无穷多个简谐振 动进行的叠加就得到函数的项级数 0 1 n n sin( ) 3 n A A n x = + + （ ） 若级数（3）收敛，则它所描述的是更为一般 的周期运动现象，对于级数（3），我们只要 讨论 =1 (如果 1 ) ，可用 x x 代替 的情形
由于sin( nx +Pn) = sin Pn cos nx +cos Pn sin nx所以A, +EA, sin(nx +p,)n=l8= A + E(Asinp , cos nx+ A, cosp , sinnx) (3')n=1= %A, sin Pn = an, A, cosPn = bn,n = 1,2,记A2则级数(3'）可写成
nx nx nx n n n sin( + ) = sin cos + cos sin 所以 ( ) 0 1 0 1 sin( ) sin cos cos sin n n n n n n n A A nx A A nx A nx = = + + = + + ） (3 ) / 记 , sin , cos , 1,2,. 2 0 0 = A = a A = b n = a A n n n n n n 则级数 (3 ) / 可写成 由于
(4)do+ (a, cos nx + b, sin nx)2n=它是由三角函数列（也称为三角函数系）1cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,..., cos nx, sin nx,... (5)所产生的一般形式的三角级数容易验证，若三角级数（4）收敛，则它的和一定是一个以2伪为周期的函数关于三角函数（4）的收敛性有如下定理：若级数定理15. 1Lal +Z(l a, I + b, )2收敛，则级数（4）在整个数轴上绝对收敛且一致收敛
( cos sin ) 2 1 0 a nx b nx a n n + n + = （4） 它是由三角函数列（也称为三角函数系） 1 cos ,sin ,cos 2 ,sin 2 ,.,cos ,sin ,. (5) x x x x nx nx 所产生的一般形式的三角级数。 容易验证，若三角级数（4）收敛，则它的和一定 是一个以2 为周期的函数。 关于三角函数（4）的收敛性有如下定理： (| | | |) 2 | | 1 0 n n an b a + + = 收敛，则级数（4） 在整个数轴上绝对收敛且一致收敛。 定理15.1 若级数
证 对任何实数x，由于I an cos nx +b, sin nx < an + b, l应用魏尔斯特拉斯M判别法（定理13.5）可推得本定理为了进一步研究三角级数（4）的收敛性，我们探讨三角函数系（5）具有哪些特性首先容易看出，三角函数系（5）中所有的函数具有共同的周期2元其次，在三角函数系（5）中，任何两个不相同的函数的乘积在[-元,元]上的积分都等于零，即
其次，在三角函数系（5）中，任何两个不相同 的函数的乘积在 上的积分都等于零，即 证 对任何实数x，由于 | cos sin | | | an nx +bn nx an +bn 应用魏尔斯特拉斯M判别法(定理13.5）可推得本定理 为了进一步研究三角级数（4）的收敛性，我 们探讨三角函数系（5）具有哪些特性。 首先容易看出，三角函数系（5）中所有的函数 具有共同的周期2 [−, ]
元sin nxdx = 0cos nxdx =S(6)元1元cos mxcos nxdx = O(m # n)一元元sin mxsin nxdx = 0(m ± n),(7)-元cos mxsin nxdx = 0元而（5）中任何一个函数的平方在[-元,元]上的积分都不等于零
cos sin 0 sin sin 0( ), cos cos 0( ), cos sin 0 = = = = = − − − − − m x nxdx m x nxdx m n m x nxdx m n nxdx nxdx （6） （7） 而（5）中任何一个函数的平方在 [−, ] 上的积分都不等于零
cos’nxdx = [" sin’nxdx = 元 (8)即一元1["1' dx = 2元-元通常把两个函数 Φ与在[a,b]上可积,[. p(x)d(x) = 0且一的函数β与称为在「a,b]上是正交的，由此我们说三角函数系（5）在[一元,元]上具有正交性或说（5）是正交函数系
即 2 2 cos sin (8) nxdx nxdx − − = = 1 2 2 = − dx 通常把两个函数 与 在[a,b]上可积， ( ) ( ) = 0 b a 且 x x 的函数 与 称为在 [a,b]上是正交的，由此 我们说三角函数系（5）在 [−, ] 上具有正交性， 或说（5）是正交函数系
二以2元为周期的函数的傅里叶级数定理15.2若在整个数轴上(t) = % + Z(a, cos nx + b, sin nx)(9)2n=1且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式a, - ", () os mxdx, ,1,...(10a)元b, - - " (x) sin nxdx, = ,1,...(10b)元
二 以 2 为周期的函数的傅里叶级数 定理15.2 若在整个数轴上 ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 a nx b nx a f x n n n = = + + （9） 且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式： 1 ( )cos , 0,1, 2,., 1 ( )sin , 0,1, 2,., n n a f x nxdx n b f x nxdx n − − = = = = （10a) (10b)