第十八章隐函数定理及应用
第十八章 隐函数定理及应用
S1隐函数一、概念定理18.1定理18.2二、、定理定理18.3三、例题
§1隐函数 一、概念 二、定理 定理18.1 定理18.2 定理18.3 三、例题
概念我们以前接触的函数，其表达式大多是自变量的某个算式，如y= x? +1, u =e (sin xy+ sin yz + sin zx)这种形式的函数称为显函数。但在不少场合下常会遇到另一种形式的函数，其自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所确定就。设 XcR、yCR,F:X×Y→R
我们以前接触的函数，其表达式大多是 自变量的某个算式，如 这种形式的函数称为显函数。但在不少场 合下常会遇到另一种形式的函数，其自变 量与因变量之间的对应法则是由一个方程 式所确定就。设 y x u e ( x y yz zx) xyz 1, sin sin sin 2 = + = + + X R y R F X Y R → , : 、 概念
对于方程 F(x,y)=O....(1)若存在集合ICX与JCY，使得对于任何xEI，恒有惟一确定的VEJ,它与x一起满足方程(1),则称由方程(1)确定的定义在I上，值域含于J的隐函数。若把它记为y=f(x),xEI,JEJ,则成立恒等式F(x,F(x))=0
( ) ( ( )) 1 , 1 , , , , 0 I X J Y x I y J x I J y f x x I y J F x F x = 若存在集合 与 ，使得对于任何 ，恒有惟一确定的 ，它与 一起满足方 程（）则称由方程（）确定的定义在 上，值域含 于 的隐函数。若把它记为 则成立恒等式 对于方程 F(x, y) = 0(1)
定理18口（隐函数存在惟一性定理）若满足下列条件：(1)函数F在以P(xo,y）为内点的某一区域Dc R上连续;(2)F(xl%)=0(通常称为初始条件);(3)在D内存在连续的偏导数E(x,);(4) F,(xo, yo)± 0 ;
定理18.1(隐函数存在惟一性定理) 若满足下列条件: (1) , ; 2 函数F在以P（0 x0 y0 ）为内点的某一区域D R 上连续 (2) ( ) 0( ; F x0, y0 = 通常称为初始条件） (3) D F (x, y); 在 内存在连续的偏导数 y (4) ( , ) 0 ; Fy x0 y0
则在点P的某邻域 U(P)cD内，方程 F(x,y)=O唯一地确定了一个定义在某区间（x-α,+α）内的隐函数=f(x)，使得1 f(x)= yo,xe(x -α,x +α)时(x, f(x)eU(P)且F(x,f (x)=0;2° f(x)在(x-α,x+α)内连续;证明：先证隐函数的存在性由条件（4），不妨设F,（xo,y)>0(若F,（xo,%）<0,则可讨论F(x,y)=0），由条件(3)F,在D内连续,连续函数的局部保号性，存在点P的某一闭的方邻域[x。-β,x+β]×[-β,y+β]cD
( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 , 0 , P U P D F x y x x y f x = − + = 则在点 的某邻域 内，方程 唯一地确 定了一个定义在某区间 内的隐函数 ， 使得 ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 1 , , , , 0 ; 2 , f x y x x x x f x U P F x f x f x x x = − + − + 。 。 时 且 在 内连续； 证明:先证隐函数的存在性 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 , 0 , 0 , 0 3 [ , ] [ , ] y y y F x y F x y F x y F D P x x y y D = − + − + 由条件（ ），不妨设 （若 ，则可讨 论 ），由条件（ ） 在 内连续，连续函数的局部保号性， 存在点 的某一闭的方邻域
使得在其上每一点处都有F(x,J)>0.因，对每个固定的x[x-β,x+β],F(x,y)作为y的一元函数,必定在[y-β,y+β]上严格增且连续,由初始条件(2)可知 F(xo,-β)0,再由 F 的连续条件 F(1),又可知 F(x,y-β)与F（x,+β)在[x-β，x+β]上也是连续的。因此由保号性存在α>0(α≤β)，当x(-α,+α)时恒有 B'A'J%+βF(x, yo -β)0Iy如图，在矩形ABAB'的AB边上F取负值，POyoB在AB边上F取正值。因此对(×-α,+α)%-β内的每一个固定的值x，同样有0+Xoxo-βXo+aXo-α
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0. [ , ] , [ , ] 2 , 0 , , 0 1 , , [ , ] 0 , F x y y x x x F x y y y y F x y F x y F F F x y F x y x x x x x − + − + − + − + − + − + 使得在其上每一点处都有 因，对 每 个 固 定 的 ， 作 为 的 一 元 函 数，必 定 在 上 严 格 增 且 连 续，由 初 始 条 件（ ） 可知 ，再由 的连 续条件 （），又可知 与 在 上也是连续的。因此由保号性存在 ，当 时恒 , 0, ( , ) 0 F x y F x y ( 0 0 − + ) 有 x y A B A B 0 x0 − x0 − 0 x x x0 +x0 + y0 − 0 yy y0 + P0 ( 0 0 ) , ABA B AB F A B F x x x − + 如 图，在 矩 形 的 边 上 取 负 值， 在 边上 取正值。因此对 内的每一个固定的值 ，同样有
F(x, yo -β)0.：F(x,y)在[y-β,y+β]上严格增且连续,:. 存在唯一的ye(-β, +β)，使F(x,J)=0由x在(x-α,x+α)中的任意性,则确定了一个隐函数y=f(x)，定义域为(x-α,+α)，值域含于(y-β,+β)。若记U(P)=(x-α,X +α)×(y -β, +β)则y=f(x)满足结论1°的各项要求
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 , 0 , [ , ] , , 0 , , , , , 1 F x y F x y F x y y y y y y F x y x x x y f x x x y y U P x x y y y f x − + − + − + = − + = − + − + = − + − + = 。 在 上严格增且连续， 存在唯一的 ，使 由 在 中的任意性， 则确定了一个隐函数 ， 定义域为 ，值域含于 。 若记 则 满足结论 的各项要求
下面再证的f连续性对于(-α,α)内的任意点x，=()则由上述结论可知-βO,且设0
下面再证的 f 连续性 ( 0 0 ) ( ) 0 0 x x x y f x , , y y y − + = − + 对于 内的任意点 ， 则由上述结论可知 。 + − − + 0 min , ，且设 y y y y 0 0 ， 使得 0 0 y y y y − − + + . F x y F x y ( , 0, , 0 − + ) ( ) 从而
由保号性存在x的某邻域(x-8,x+)(x-α,x+α),使得当x属于该邻域时有F(x,-)<0,F(x,+)成立因此存在唯一的，使得 F(x,)=0，-<由于的唯一性，推知y=(x）。这就证得：当x-x<8时f(x)-(x)< 即f(x)在x连续。由x的任意性，证得f(x)在(x-α,x+α)内处处连续
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 , , , 0, , , 0 , , . x x x x x x F x y F x y y F x y y y y y f x x x f x f x f x x x f x x x − + − + − + = − = − − − + 由保号性存在 的某邻域 ， 使得当 属于该邻域时有 成立。 因此存在唯一的 ，使得 由于 的唯一性，推知 。这就证得：当 时， 即 在 连续。由 的任意性，证得 在 内处处连续