第十六章多元函数的极限与连续s1平面点集与多元函数
第十六章 多元函数的极限与连续 §1 平面点集与多元函数
一．平面点集1.坐标平面由平面解析几何知道，当在平面上确定了一个坐标系之后，所有有序实数对(x,J)与平面上所有的点之间建立了一一对应.因此，将把“数对”与“平面上的点”两种说法看作是完全等同的.这种确定了坐标系的平面，成为坐标平面2.平面点集坐标平面上满足某种条件P的点的集合
( x y, ) 由平面解析几何知道,当在平面上确定了一 个坐标系之后,所有有序实数对 与平面上所有 的点之间建立了一一对应.因此,将把“数对”与 “平面上的点”两种说法看作是完全等同的.这 种确定了坐标系的平面,成为坐标平面. 一. 平面点集 1.坐标平面: 2.平面点集: 坐标平面上满足某种条件P的点的集合
记作：E=(x,)(x,)满足条件P3.邻域1）圆邻域平面点集((x,j)l(x -xo) +(y-y0)<82)称为以点A(α,)为中心的圆领域2）8方邻域平面点集((x, y)x-xo/ <8,[y-yo/ <8)你为以点为中心的方领域
3.邻域 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 0 0 , , x y x x y y A x y − + − 平面点集 称为以点 为中心的 圆领域 记作：E x y x y P =( , , ) ( )满足条件 1）圆邻域 2）方邻域 平面点集( x y x x y y , , ) − − 0 0 你为以点为中心的方领域
y:AX00X3)点A的空心邻域(x,y)[x-xo/<8,[y-yol<8,(x,y)+(x0,y0)(x,y)[x-xo/<8,[y-yol<8,(x,y)+(xo,0))
A x y0 0 x y A 3) 点 A 的空心邻域 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , , , , , , , x y x x y y x y x y x y x x y y x y x y − − − −
并记作：U°(A,8)或U°(A)4.点的分类>按照点A在点集E内或外●内点若存在点 A的某邻域 U(A),使得U(A)C E,则称点A是点集E的内点；E的全体内点构成的集合称为E的内部，记作intE·外点若存在点A的某邻域 U(A),使得U(A)NE=の,则称A是点集E的外点
4.点的分类 ➢按照点A在点集E内或外 ( ) ( ) 0 0 并记作：U A U A , 或 。 ⚫ 内点 若存在点 A 的某邻域 U A U A E ( ), , 使得 ( ) 则称点A是点集E的内点;E的全体内点构成的 集合称为E的内部,记作intE. ⚫ 外点 若存在点A的某邻域 U A U A E ( ), , 使得 ( ) = 则称A是点集E的外点
界点若在点A的任何邻域内既含有属于E的点，又有不属于E的点则称A是集合E的界点.即对任何正数, 恒有U(A;8)NEの且U(A;)NCEの,其中 ?E=R2IE是E关于全平面的余集E的全体界点构成E边界，记作aE>按照点A的近旁是否密集着E中无穷多个点
⚫ 界点 若在点A的任何邻域内既含有属于E的点 , 又有 不属于E的点,则称A是集合E的界点.即对任何正 数 ，恒有 U A E U A CE ( ; ; , ) 且 ( ) 其中 2 ðE R E = \ 是E关于全平面的余集 E的全体界点构成E边界，记作 E ➢按照点A的近旁是否密集着E中无穷多个点
聚点若在点A的任何空心邻域 U°(A)内都含有E中的点，则称A是的E聚点，聚点本身可能属于E也可能不属于E孤立点若点 AE E但不是E的聚点，即存在某一正数,使得U°(A;)NE=，则称点 A是E的的孤立点
⚫ 聚点 若在点A的任何空心邻域 ( ) 0 U A 内都含有E中 的点，则称A是的E聚点，聚点本身可能属于E也 可能不属于E ⚫ 孤立点 若点 A E 但不是E的聚点，即存在某一正数 ( ) 0 = , ; 使得U A E ，则称点 是E的的孤立点 A
例1.设平面点集 D=(x,y)1≤x2+y2<4)求D的内点，界点，聚点的集合。5. 开集若平面点集所属的每一点都是E的内点（即intE=E），则称E为开集6. 闭集若平面点集的所有聚点都属于E，则称E为闭集.注：若点集E没有聚点，这时也称E为闭集
例1.设平面点集 ( ) 2 2 D x y x y = + , 1 4 求D的内点，界点，聚点的集合。 5.开集 若平面点集所属的每一点都是E的内点(即 intE=E),则称E为开集. 6.闭集 若平面点集的所有聚点都属于E,则称E为闭 集. 注:若点集E没有聚点,这时也称E为闭集
7.开域若非空开集具有连通性，即E中任意两点之间都可用一条完全含于E的有限折线（由有限条直线段连接而成的折线）相连接，则称为E开域（或连通开集8. 闭域开域连同其边界所成的点集称为闭域9. 区域开域，闭域，或者开域连同其一部分界点所成的点集，统称为区域
7.开域 若非空开集具有连通性,即E中任意两点之间都 可用一条完全含于E的有限折线(由有限条直线 段连接而成的折线)相连接,则称为E开域(或连 通开集) 8.闭域 开域连同其边界所成的点集称为闭域. 9.区域 开域,闭域,或者开域连同其一部分界点所成的 点集,统称为区域
10.有界点集对于平面点集E,若存在某一正数 r，使得ECU(O;r),其中O是坐标原点也可以是其他固定点），则称E是有界点集.否则就是无界点集.点集E的直径:d(E)= sup p(P,P),其中p(P，P)P,P2EE表示,P坐标分别为(i,),(2,2)时,则p(P,P) = /(xi -x2) +(y -y2)
10.有界点集 对于平面点集E,若存在某一正数 r,使得 E U O r O ( ; ,) 其中 是坐标原点 (也可以 是其他固定点),则称E是有界点集.否则就是无 界点集. 点集E的直径: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 , sup , , P P E d E P P P P = 其中 ， 表示 P P x y x y 1 2 1 1 2 2 , , , , 坐标分别为( ) ( )时，则 ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 = − + − P P x x y y ,