欧拉积分$3
§3 欧拉积分
一、『-函数定义 (s)= [e*x*-ldx (s >0)特点：1.积分区间为无穷；2.当s-1<0时被积函数在点x=0的右领域内无界设 I, =f,e*x"'dx, I, = t"e*x"'dx,(1)当s≥1时,I 是常义积分;当0<s<1时
一、 −函数 ( ) ( 0) 0 1 = + − − s e x dx s 定 义 x s 特点: 1.积分区间为无穷; . 2. 1 0 0 右领域内无界 当 s − 时被积函数在点 x = 的 , , 1 1 2 1 0 1 1 + − − − − I = e x dx I = e x dx 设 x s x s (1) 1 , ; 当 s 时 I1 是常义积分 当 0 s 1时
11:e-x.xs-11-5xl-setx而1-s0 均收敛
, 1 1 1 1 1 1 s x s x s x e x e x − − − − = 1 1, , . 而 −s 根据比较判别法 I 1 收敛 (2) lim ( ) lim 0, 1 2 1 = = + →+ − − →+ x s x x s x e x x e x 1, . 根据极限审敛法 I2 也收敛 0 . (1), (2) 0 1 对 均收敛 由 知 + − − e x dx s x s s (s) o
厂一函数的几个重要性质1 . 递推公式(s+1)=sT(s)(s>0)2. 当s →+0 时,I(s) →+o0.元3. 余元公式I(s)(1-s)=(0 <s<1)sin 元s4. 在I(s)={e*x-'dx中, 作代换x=u,有 I(s)=2t"e-"u2-du
Γ-函数的几个重要性质： １．递推公式(s + 1) = s(s) (s 0). ２．当s → +0时 ，(s) → +. (0 1). sin 3 ( ) (1 ) − = s s ．余元公式 s s ( ) 2 . ( ) 0 2 1 2 0 1 2 + − − + − − = = = s e u du s e x dx x u u s x s 有 ４．在 中，作代换
二、B函数定义 B(p,q)=[ xP(1-x)9-ldx, p>0,q>0B一函数的几个重要性质1、B(p,q)在定义域内连续;2、对称性：B(p,q)-B(q,p))
二 、B函数 ( , ) (1 ) , 0, 0 1 0 1 = − − p q x x dx p q p q 定义 B B-函数的几个重要性质： 1、B(p,q)在定义域内连续； 2、对称性：B(p,q)=B(q,p);
3、递推公式q-1B(p,q)=-_B(p,q-1),(p>0,q >1)p+q-1B(p,9)=_9-1B(p-1,q),(p>1,q> 0)p+q-14、B函数的其它形式元B(p,9)=2/2 sin 29-1@ cos?p-1pdq
( 1, ),( 1, 0) 1 1 ( , ) ( , 1),( 0, 1) 1 1 ( , ) 3 − + − − = − + − − = B p q p q p q q B p q B p q p q p q q B p q 、递推公式 B p q d B q p − − = 2 0 2 1 2 1 ( , ) 2 sin cos 4、 函数的其它形式
+ y9-1.BB(p.a)-1.V-dy三、I函数和B函数之间的关系I(p)r(q)B(p,q) = T(p+q)
dy y y y B p q p q p q + − − + + = 1 0 1 1 (1 ) 或 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( , ) p q p q B p q B + = 三、函数和 函数之间的关系