82一致收敛函数列与函数项级数的性质教学目的：让学生掌握一致收敛函数列与函数项级数的性质及其应用。教学重点：函数列与函数项级数的确定的函数的连续性、可积性与可微性教学难点：在一致收敛的条件下证明各项分析性质教学方法：讲授法。教学步骤：本节讨论由函数列与函数项级数的确定的函数的连续性、可积性与可微性2025/12/31
2025/12/31 1 教学目的：让学生掌握一致收敛函数列与函数项级数的性 质及其应用． 教学重点：函数列与函数项级数的确定的函数的连续性、 可积性与可微性． 教学难点：在一致收敛的条件下证明各项分析性质． 教学方法：讲授法． 教学步骤：本节讨论由函数列与函数项级数的确定的函数 的连续性、可积性与可微性． §2一致收敛函数列与函数项级数的性质
连续性定理 A 设在D上f,一f(x),且对 n,函数f,(x)在D上连续→ f(x) 在D上连续证要证 ：对Vx。，f(x)在点x连续。即证:对v>0, s>0,当 |x-xs时, =→ If(x)-f(xo).1f(x) - f(xo)/≤f(x)-fn(x)/+/ f,(x) - fn(xo)/+ /f,(x) -f(xo)2025/12/312
2025/12/31 2 连续性 定理 A 设在D上 n f ⎯→ ⎯→ f (x) ,且 对 n ,函数 f (x) n 在D上连续 , f (x) 在D上连续. 证 要证 : 对x0 , f (x) 在点 0 x 连续 . 即证: 对 0 , 0 , 当 | x − x0 | 时, | ( ) − ( ) | 0 f x f x . | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | 0 0 0 0 f x f x f x f x f x f x f x f x − − n + n − n + n −
估计上式右端三项．由一致收敛，第一、三两项可以任意小而由函数f,(x)在点x连续，第二项If,(x)-f,(xo)I也可以任意小．…推论 设在D上f,(x) →f(x)。若f(x)在D上间断 ，则函数列[f,(x)}在D上一致收敛和所有 f,(x)在D上连续不能同时成立 定理 A 表明：对于各项都连续且一致收敛的函数列(f,(x)), 有2025/12/313
2025/12/31 3 估计上式右端三项. 由一致收敛 , 第一、三两项可以任意小; 而由函数 f (x) n 在 点 0 x 连续, 第二项| ( ) ( ) | 0 f x f x n − n 也可以任意 小 . . 推论 设 在D上 f (x) n → f (x) . 若 f (x) 在D上间断 ，则函数列 { f (x) n }在D上一致收敛和所有 f (x) n 在D上连续不能同时成立. 註 定理 A 表明: 对于各项都连续且一致收敛的函数列 { f (x) n }, 有
lim lim f,(x) = lim lim f,(x) .x->X n-00n-00x-xg即极限次序可换·由定理A可推得定理13.9（连续性）若函数项级数Zu,(x)在区间[a,b]上n=l一致收敛，且每一项连续，则其和函数在[a,b]连续，即Z1limu,(x) = lim(Zu,(x) 。0X-→>X0n=ln=可积性2025/12/31
2025/12/31 4 lim lim ( ) lim lim ( ) 0 0 f x f x n n x x n x→x n→ → → = . 即极限次序可换 .由定理 A 可推得 定理 13.9（连续性） 若函数项级数 =1 ( ) n n u x 在区间[a,b]上 一致收敛，且每一项连续，则其和函数在[a,b]连续，即 lim ( ) lim( ( )) 1 1 0 0 = → = → = n n x x n n x x u x u x 。 可积性
定理 B若在区间[α,bl上函数列(f.(x)}一致收敛，且每个f,(x)在[α,b]上连续。 则有'(lim f,()dix = lim f' f,(x)dx.证 设在[a,b]上f,二 f(x),由 Thl,函数f(x)在区间[a,b]上连续,因此可积．我们要证lim " f,(x)dx= I" f(x)dx. 注意到1'f,-' f,-f1,可见只要If,(x)-f(x)<,在[α,b]上成立,b-a定理的条件可减弱为：用条件“f.(x)在[α,b1上（R）可积”代替2025/12/315
2025/12/31 5 定理 B 若在区间[ a , b ]上函数列{ f (x) n }一致收敛 , 且每个 f (x) n 在[ a , b ]上连续. 则有 ( ) → → = b a b a n n n n lim f (x) dx lim f (x)dx . 证 设在[ a , b ]上 n f ⎯→ ⎯→ f (x) , 由 Th1, 函数 f (x)在区间[ a , b ]上 连续,因此可积. 我们要证 = → b a b a n n lim f (x)dx f (x)dx . 注意到 − − b a n b a b a n f f | f f | , 可见只要 b a f x f x n − − | ( ) ( ) | 在[ a , b ]上成立. 定理的条件可减弱为: 用条件“ f (x) n 在[ a , b ]上( R )可积”代替
条件“f,(x)在[α,b]上连续”．证明可参阅江泽坚著《数学分析》上册P350关于函数列逐项积分条件的减弱有一系列的工作．其中之一是:定理 设{f,(x)}是定义在区间[α,b]上的函数列.若{f,(x)}在[α,b]上收敛且一致可积，则其极限函数f(x)在[α,b]上(R)可积，且有lim J'f, -I'f.62025/12/31
2025/12/31 6 条件“ f (x) n 在[ a , b ]上连续”. 证明可参阅 江泽坚著《数学分析》 上册 P350. 关于函数列逐项积分条件的减弱有一系列的工作. 其中之一 是: 定理 设{ f (x) n }是定义在区间[ a , b ]上的函数列. 若{ f (x) n }在 [ a , b ]上收敛且一致可积 , 则其极限函数 f (x)在[ a , b ]上( R)可 积 , 且有 = → b a b a n n lim f f
由定理B可推得定理13.10（逐项求积性）若函数项级数u,(x)在区间[a,b]2n=l上一致收敛，且每一项连续，则可逐项求积，即8E[u,(x)dx =[2u,(x)a n=ln=例研究函数Z一ln(1+n2x2）的连续性，可积性和S(x)= 可微性。2025/12/31
2025/12/31 7 由定理 B 可推得 定理 13.10（逐项求积性）若函数项级数 =1 ( ) n n u x 在区间[a,b] 上一致收敛，且每一项连续，则可逐项求积，即 = = = b a n n n b a n u x dx u x 1 1 ( ) ( ) 例 研究函数 ln(1 ) 1 ( ) 2 2 1 3 n x n S x n = + = 的连续性，可积性和 可微性
可微性：定理C 设函数列(f,(x)}定义在区间[α,b]上，在某个点xo e[a,b]收敛。对vn，f,(x)在[a,b]上连续可导,，且由导函数构成的函数列(f;(x)}在[α,b]上一致收敛，则函数列(f,(x)}在区间[α,b]上收敛, 且有%(im.() lm%f.(t),.dr00d证 设f,(x) → A, (n→∞). fi(x)二 g(x) , (n→).82025/12/31
2025/12/31 8 可微性: 定理 C 设函数列{ f (x) n }定义在区间[ a , b ]上, 在某个点 x0 [ a , b ]收敛. 对n , f (x) n 在[ a , b ]上连续可导, 且由导函数构 成的函数列{ f (x) n }在[ a , b ]上一致收敛, 则函数列{ f (x) n }在区间 [ a , b ]上收敛, 且有 (lim ( )) lim f (x) dx d f x dx d n n n n→ → = . 证 设 ( ) 0 f x n → A，( n → ) . f (x) n ⎯→ ⎯→ g(x) , ( n → )
对Vx e[a,b],注意到函数g(x)连续和f,(x) = f,(xo)+[ f'(t)dt ,就有lim f,(x)= lim f,(xo) + lim [" f;(1)dtn-0n-→00n00(lim f;(t)ht = A + [' g(t)dt =- f(x).=A+ ( 估计 I f,(xo)+f" f'(t)dt - A - f g(1)dt/≤≤| f,(x0)-A/ + I"(f(0)-g(0)dtl, 可证得f,(x) 二 f(x). )2025/12/319
2025/12/31 9 对x [ a , b ], 注意到函数g(x)连续和 f (x) n = ( ) 0 f x n + x x n f t dt 0 ( ) , 就有 n→ lim f (x) n = n→ lim ( ) 0 f x n + n→ lim x x n f t dt 0 ( ) = A + ( f t )dt x x n n 0 → lim ( ) = A + == x x g t dt 0 ( ) 令 f (x) . ( 估计 | ( ) 0 f x n + x x n f t dt 0 ( ) ― A ― x x g t dt 0 ( ) | | ( ) 0 f x n ― A | + | ( ) − x x n f t g t dt 0 ( ) ( ) |, 可证得 f (x) n ⎯→ ⎯→ f (x) . )
df(x)-{A+" g(0)d) = g() = lim f;(x)= lim f,(x)dxn->00即(lim f,(x)- lim % f,(c)。 亦即求导运算与极限运算次序可dx0换.由定理C可推得若函数项级数Zu,()在区间定理13.11（逐项求导性）n=l[α,b]上每一项连续有连续导数，x为u,(x)的收敛点，且=l102025/12/31
2025/12/31 10 f (x) = = + x x A g t dt 0 ( ) g(x) = n→ lim f n (x) = n→ lim f (x) dx d n . 即 ( ) = → lim f (x) dx d n n n→ lim f (x) dx d n . 亦即求导运算与极限运算次序可 换. 由定理 C 可推得 定理 13.11（逐项求导性） 若函数项级数 =1 ( ) n n u x 在区间 [a,b]上每一项连续有连续导数， 0 x 为 =1 ( ) n n u x 的收敛点，且