《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第十七章 多元函数微分学

第十七章多元函数微分学S1可微性定义1 设函数z=f(x,y)在点P。(xo,)的某邻域有定义对于U(P)中的点P(x,y)=(x+△x,y+Ay),若函数f在点P处的全增量△z可以表示为Nz = f (xo +△x, yo +Ay)- f(x, y) = Ax + BAy+o(p)其中 A,B是仅与点 P,有关的常数,p= x2 +Ay2,o(p)是较p高阶的无穷小量,则称函数f在点P.可微,并称上式中关于△x,△y的线性函数A△x+B△y为函数f在点P,的全微分记作 dzl= df (xo,yo)= A△x + B△)

第十七章 多元函数微分学 §1 可微性 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 1 , , , , , : , , , , , , , z f x y x y U P x x y y f P z z f x x y y f x y A x B y o A B P x y o f P y A x B y f     = = +  +    = +  +  − =  +  + =  +     +  0 0 定义 设函数 在点P 的某邻域有定义 对于 中的点P x,y 若函数 在 点 处的全增量 可以表示为 其中 是仅与点 有关的常数 是 较 高阶的无穷小量 则称函数 在点 可微,并称上式中 关于 x, 的线性函数 为函数 在点P的全微分 ( ) 0 0 0 , , P 记作dz df x y A x B y = =  + 

考察函数f(x,y)=xy在点(xo,y)处的可微性例1解：在点(xo,)处函数f的全增量为Af (xo, yo) =(xo + Ax)(yo +Ay) - xoo= yox + XoAy+ AxAyAx[AyAxAy由于≤p→0(p→0)Oppp因此，△x△y=o(p).从而函数f点(xo,)可微，且df = yoAx + xoAy

例1 考察函数f x y xy x y ( , , . ) = 在点( 0 0 )处的可微性 解: ( ) ( ) ( )( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , . x y f f x y x x y y x y y x x y x y  = +  +  − =  +  +   在点 处函数 的全增量为 由于 ( ) ( ) ( 0 0 ) 0 0 0 0 , . , . x y x y x y o f x y df y x x y            =    → →   = =  +  因此， 从而函数 点 可微，且

偏导数定义2 设函数z=f(x,y),(x,y)e D,且 f(x,yo)在x的某一邻域内有定义，则当极限Axf (xo, yo) - lim lim f (x +Ax, yo)- f (xo,yo)R存在时，limAxAxAr→0Ar->0称这个极限为函数f在点(xo,y)关于x的偏导数，记作(.) 或0x (x0.y0)若函数z=f(x,y)在区域D上每一点(x,y)都存在对x(或对y)的偏导数，则得到函数z=f(x,J)在区域D上对x(或对y)的偏导函数(也称偏导数)

二 偏导数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 0 ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 2 , , , , , , , , lim lim , , . x x x x y z f x y x y D f x y x xf x y f x x y f x y x x f x y x f f x y x  →  → =   +  − =     定义 设函数 且 在 的某一 邻域内有定义，则当极限 存在时， 称这个极限为函数 在点 关于 的偏导数， 记作 或 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , z f x y D x y x y z f x y D x y = = 若函数 在区域 上每一点 都存在对 或对 的 偏导数，则得到函数 在区域 上对 或对 的偏导 函数 也称偏导数

记作af (x,y)af (x,y)-. (x,y)或>)或axay.,=,或也可以简单地写作f，，z，或-ayax例2 求函数f(x,)=x3 +2x-在点(1,3)关于x和关于y的偏导数

( ) ( ) ( ) , , ( ) , , , , . x y x x z y f x y f x y f x y f x y x y f f f z f z x y                     记作 或 或 也可以简单地写作 或 或 ( ) ( ) 3 2 3 2 , 2 1 3 f x y x x y y x y 例 求函数 = + − 在点 ， 关于 和关于 的偏导数

解：先求f在点(1,3)关于x的偏导数,为此令 y=3，得到以x 为自变量的函数f(x,3)=x3 +6x2 -27,求它在x=的导数,即df (x,3)J. (1,3) = d= 3x +12x:= 15dx-1x=1再求f在(1,3)关于y的偏导数.先令x=1,得到以y为自变量的函数f (1,y)=2-3y2-,=-25.v=3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 1 1 2 3 1 3 ,3 6 27, 1 , 3 1,3 3 12 15. 1,3 1, 2 3 25. x x x y f x x f x x x x df x f x x dx f y y f y y = = = = + − = = = + = = − = − 解：先求 在点 ， 关于 的偏导数， 为此令 y=3 ,得到以 为自变量的函数 求它在 的导数， 即 再求 在 关于 的偏导数.先令x=1,得到 以 为自变量的函数

例3求函数z=x(x>0)的偏导数Oz= :xy-1, Oz解= xlnxoyOx例4 求三元函数u=sin(x+y2-e')的偏导,解把和z看作常数，得Ou=cos(+y2-e")OOx把x，z看作常数，得Qu = 2ycos(x+y? -e)Oy

3 0 ( ) y 例 求函数z x x =  的偏导数. 1 , ln z z y y y x x x x y   − =  =   解 ( ) 2 4 sin z 例 求三元函数u x y e = + − 的偏导. ( ) ( ) 2 2 cos , 2 cos z z y z u x y e x x z u y x y e y  = + −   = + −  解 把 和 看作常数，得 把 看作常数，得

把x，看作常数，得Ou - e cos(x + y? -e)Oz三可微性条件定理17.1(可微性的必要条件)若二元函数f在其定义域内一点(xo,J)处可微，则f在该点关于每个自变量的偏导数都存在,且(1)式中的 A= f,(xo,yo),B= f,(xo,yo)

( ) 2 , cos . z z x y u e x y e z  = + −  把 看作常数，得 三 可微性条件 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 17.1 , , , , x y f x y f A f x y B f x y = = 定理 可微性的必要条件 若二元函数 在其定义域内一点 处可微， 则 在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且 1 式中的

xyx? + y? + 0,x? + y?例5 考察函数f (x,y)=0, x? +y2 =0解?按偏导定义0-0f (Ax, 0) -f (0,0)J. (0, 0) = lim lim=0AxAx-→>0Ax→0△x同理可得f,(0,0)=0。若函数f在原点可微，则z - dz = f (0 +△x, 0+Ay) - f (0,0) - f. (0, 0)△x - f, (0, 0)A)AxAyJAx? + Ay?

( ) 2 2 2 2 2 2 , 0, , 0, 0. xy x y f x y x y x y  +   =  +   + = 例5 考察函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 2 ,0 0,0 0 0 0,0 lim lim 0. 0,0 0 0 ,0 0,0 0,0 0,0 x x x y x y f x f f x x f f z dz f x y f f x f y x y x y  →  →  − − = = =   =  − = +  +  − −  −    =  +  解 按偏导定义 同理可得 。若函数 在原点可微，则

应是较p=△x2+Ay2高阶的无穷小量.为此,考察极限△z - dzAxAylimlimp→0p-0pAx? + Ay由第十六章82例3知道,上述极限存在因此函数f在原点不可微

2 2 0 0 2 2 lim lim , §2 3 , , . x y z dz x y x y f    → →  =  +   −   =  +  应是较 高阶的无穷小量.为此,考察极限 由第十六章 例 知道 上述极限存在 因此函数 在原点不可微

定理17.2（可微的充分条件）若函数z=f(x,)的偏导数在点(xo,)的某邻域内存在，且f与f,在点(xo,)处连续,则函数f在点(x,)可微证：我们把全增量写作Az = f (xo +△x,yo +Ay)- f (xo, yo)=[f(xo +△x,yo + Ay) - f(xo,yo + Ay)+Lf(xo, yo + Ay) - f(xo,y) 在第一个括号里，它是函数f(x,+Ay)关于x的偏增量;在第二个括号里，则是函数f(xo,y)关于y的偏增量

( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 , , , , x y z f x y x y f f x y f x y 若函数 = 的偏导数在点 的某 邻域内存在，且 与 在点 处连续， 则函数 在点 可微. 定理17.2 (可微的充分条件) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , , , z z f x x y y f x y f x x y y f x y y f x y y f x y   = +  +  − = +  +  − +      + +  −     证：我们把全增量 写作 ( ) ( ) 0 0 , , f x y y x f x y y 在第一个括号里，它是函数 +  关于 的偏增量； 在第二个括号里，则是函数 关于 的偏增量