《数学分析》课程教学资源（PPT课件）第十九章 含参量积分

第十九章含参量积分8 1 含参量正常积分s 2 含参量反常积分8 3 欧拉积分

§1 含参量正常积分 §2 含参量反常积分 §3 欧拉积分 第十九章 含参量积分

级数与积分是构造函数的两个重要分析工具。我们已经介绍了一种利用定积分构造的函数一积分上限的函数本章介绍另一种利用Riemann积分与广义积分构造的函数一一含参变量的积分与含参变量的广义积分，并研究它们的分析性质：连续性、可微性、可积性

级数与积分是构造函数的两个重要 分析工具。我们已经介绍了一种利用定 积分构造的函数──积分上限的函数。 本章介绍另一种利用 Riemann 积分与广 义积分构造的函数──含参变量的积分与 含参变量的广义积分，并研究它们的分 析性质：连续性、可微性、可积性

81含参量正常积分1.含参量正常积分的定义2.含参量正常积分的性质3.含参量正常积分的一般新形式

§1 含参量正常积分 1. 含参量正常积分的定义 2. 含参量正常积分的性质 3. 含参量正常积分的一般新形式

1含参量正常积分的定义设 f(x,y)是定义在矩形域 R(α≤x≤b,c≤y≤d)上的二元函数,当 x 取[a,b]上某定值时,函数f(x,y) 则是定义在[c,d上以 y为自变量的一元函数.若此时f(x,y)在 [c,d]上可积,则其积分值是x在[a,b]上取值的函数,表为I(x) =f(x, y)dy, x e[a,b]称为含参量x的正常积分，或简称含参量积分

设 是定义在矩形域 上的二元 函数, 当 取 上某定值时,函数 则是定义在 上以 为自变量的一元函数.若此时 在 上可积, 则其积分值是 在 上取值的函数,表为 f (x, y) R(a  x  b,c  y  d) x [a,b] f (x, y) [c,d] y f (x, y) [c,d] x [a,b] 称为含参量 的正常积分,或简称含参量积分. 1 含参量正常积分的定义 设 是定义在矩形域 上的二元 函数, 当 取 上某定值时,函数 则是定义在 上以 为自变量的一元函数.若此时 在 上可积, 则其积分值是 在 上取值的函数,表为

类似地称J(y)=f" f(x, y) dx为含参变量y的积分。I（y）是一个由含参变量的积分所确定的函数，下面我们研究这种函数的连续性，可微性与可积性

( ) ( , ) b a J y f x y dx =  类似地称 为含参变量 y 的积分。 是一个由含参变量的积分所确定的函数，下面我 们研究这种函数的连续性，可微性与可积性。 I( y)

2.含参量正常积分的性质训连续性：若二元函数f(x,y)在矩形域R(α≤x≤b,c≤y≤d)上连续则函数 I(x)=[f(x,y)dy 在[a,b]上连续证 设x e[a,b],对充分小的△x,有x+ Ax E[a,b],于是I(x +△x) - I(x) = [f(x +Ax, y) - f(x, y)ldy由于f(x,y)在R上连续从而一致连续知V>0,38 >0, V(x,y),(x2,2)E R,当xi -x2<8, yi -y2<8有f(x,y)-f(x2,y2) <

若二元函数 ) 在矩形域 上连续, f (x, y R(a  x  b,c  y  d) 则函数  = d c I(x) f (x, y)dy 在 [a,b] 上连续 设x[a,b],对充分小的x,有x +x[a,b],于是 I(x x) -I(x) [ f (x x, y) f (x, y)]dy. d c +  = +  − 由于f (x, y)在R上连续从而一致连续知   0,  0,(x1 , y1 ),(x2 , y2 )R,当 , , x1 − x2   y1 − y2   ( , ) ( , ) . 1 1 2 2 有 f x y − f x y   2. 含参量正常积分的性质 证 (i)、 连续性:

故当△x<时有I(x +△x) - I(x) ≤f(x+Ax,y)-f(x,y)dysdx = (d -c)从而I(x)在[a,b]上连续同理可证:若f(x,)在矩形域R上连续，则含参量y的积分J(y) =f(x,y)dx在[c,d]上连续由连续性，若f(x,y)在矩形域R上连续，则VxElabl都有limf(x.y)dy=limf(x,y)dy即定义在矩形域上连续，其极限运算与积分运算的顺序是可交换的

故当x 时有 I(x x) -I(x) f (x x, y) f (x, y)dy. d c +   +  − dx (d c). d c  = −    从而I(x)在[a,b]上连续. 同理可证:若f (x, y)在矩形域R上连续， 则含参量y的积分  = b a J(y) f (x, y)dx在[c,d]上连续. 注: 由连续性， 若f (x, y)在矩形域R上连续， 则x0 [a,b],都有 →   → = d c x x d x x c lim f (x, y)dy lim f (x, y)dy 0 0 即定义在矩形域上连续， 其极限运算与积分运算的顺序是可交换的

(i)可微性：a若函数 f(x,y)与其偏导数都在矩形域f(x,y)18R(ax<b.cy≤d)上连续,则I(x) = / f(x,y)dy 右在[a,b]上可微，且-Ox证设x E[a,b],对充分小的△x,有x+△x E[a,b],则I(x +△x) -I(x) - rd f(x+Ax,y)- f(x,y)福AxAx由Lagrange中值定理及f.(x,y)在有界闭域R上连续知

(ii)、 可微性: 若函数 f (x, y) 与其偏导数 f (x, y) 都在矩形域 x  R (a  x  b,c  y  d) 上连续,则  = d c I(x) f (x, y)dy 在 [a,b] 上可微, 且     = d c d c f x y dy x f x y dy d d ( , ) ( , ) x 证: 设x[a,b],对充分小的x,有x +x[a,b],则 . ( , ) ( , ) x I(x x) -I(x) dy x d f x x y f x y c  +  − =  +  由Lagrange中值定理及f x (x, y)在有界闭域R上连续知

V>0,3S>0,只要△<,就有f(x+Ar,y)-f(x,y) - f.(x, )Ax=f,(x+x y)-f,( y)<, 其中e(0,1),因此f(x+x,y)-f(x,y)f (x,y)dy<s(d -c)Ax兴门f(x,y)dy=f(x,y)dy即Vx E[a,b],有注：由可微性，若f(x)与f(x)在矩形域R上连续，则导数Ox运算与积分运算可交换顺序

         0, 0, , 只要 就有 x ( , ) ( , ) ( , ) f x y x f x x y f x y − x  +  − f (x x, y)-f (x, y) , x x = +   其中 (0,1).因此 ( , ) ( ). ( , ) ( , ) ( , ) f x y dy d c x f x x y f x y f x y dy x I d c x d c x −  −  +  − −       即x[a,b],有     = d c d c f x y dy x f x y dy d d ( , ) ( , ) x 注: 由可微性 若 与 f x y 在矩形域R上连续， 则导数 x ， f (x, y) ( , )   运算与积分运算可交换顺序

下面考虑J(y)的可积性设f(x,y)在矩形[a,b;c,d]上连续，那末由定理19.1，函数I(x)=[" f(x,y) dy J(y)=J,f(x,y) dx分别在 [a,b] 及[c,d]上连续。因此 I(x)在 [a,b]上可积J(y)在[c,d] 上可积。记为["1(x) dx=I'(C°f(x,y) dy) dx=J" dx J"f(x,y) dy°J(y) dy=I'(L'f(x,y) dx) dy=J° dy J,f(x,y) dx要研究这两个积分是否相等？

下面考虑 J y( ) 的可积性。 设 f (x, y) 在矩形 [a,b; c, d] 上连续，那末由定理 19.1，函数 ( ) ( , ) b a J y f x y dx =  ( ) ( , ) d c I x f x y dy =  分别在 [a, b] 及 [c, d ] 上连续。因此 I x( ) 在 [a, b] 上可积， J y( ) 在 [c, d ] 上可积。记为 ( ) ( ) ( , ) ( , ) b b d b d a a c a c I x dx f x y dy dx dx f x y dy = =      ( ) ( ) ( , ) ( , ) d d b d b c c a c a J y dy f x y dx dy dy f x y dx = =      要研究这两个积分是否相等？