82函数的幂级数展开教学目的：让学生掌握函数展为幂级数的方法。教学重点：泰勒级数和初等函数的幂级数展开式及间接方法求非初等函数的幂级数展开式。教学难点：用间接方法求非初等函数的幂级数展开式教学方法：讲授法
教学目的：让学生掌握函数展为幂级数 的方法 ． 教学重点：泰勒级数和初等函数的幂级 数展开式及间接方法求非初等函数的幂 级数展开式． 教学难点：用间接方法求非初等函数的 幂级数展开式． 教学方法：讲授法． §2函数的幂级数展开
一、泰勒级数8Z(-1)"-1 x"= ln(1+x) (-1<x≤1)上节例题nn=18存在幂级数在其收敛f(x)=Za,(x-xo)"域内以f(x)为和函数n=0问题：1.如果能展开,αn是什么？2.展开式是否唯一?3.在什么条件下才能展开成幕级数？
一、泰勒级数 上节例题 ( 1) ln(1 ) ( 1 1) 1 1 − = + − = − x x n x n n n n n f (x) an (x x ) 0 0 = − = 存在幂级数在其收敛 域内以f(x)为和函数 问题: 1.如果能展开, an 是什么? 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?
定理 1 如果函数f(x)在U(x,)内具有任意阶导数，且在U(x)内能展开成(x-xo)的幂级数即 f(x)=Za,(x-xo)"n=01则其系数 an=(n = 0,1,2, ...)-且展开式是唯一的证明·Ea,(x-xo)"在u(x,)内收敛于f(x),即n=0f(x)=ao +ai(x-xo)+...+an(x-xo)" +
证明 ( 0 ) 在 ( 0 )内收敛于 ( ),即 0 a x x u x f x n n n − = f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) ++ an (x − x0 ) n + 定 理 1 如果函数 f (x)在 ( ) U x0 内具有任意阶导 数, 且在 ( ) U x0 内能展开成( ) x − x0 的幂级数, 即 n n n f (x) a (x x ) 0 0 = − = 则其系数 ( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n = n a n n 且展开式是唯一的
逐项求导任意次，得f'(x)=a, + 2a,(x-xo)+...+ na,(x-x,)n"-1 +..f(n)(x) =n!an +(n+1)n...3.2an+i(x -xo)+...令x=xo，即得f(n)(xo)）泰勒系数(n = 0,1,2,..)an =n泰勒系数是唯一的，：f(x)的展开式是唯一的
f (n) (x) = n!an + (n + 1)n3 2an+1 (x − x0 ) + 令 x = x0 , 即得( ) ( 0,1,2, ) ! 1 0 = f ( ) x n = n a n n 泰勒系数是唯一的, f (x)的展开式是唯一的. f (x) = a1 + 2a2 (x − x0 ) ++ nan (x − x0 ) n−1 + 逐项求导任意次,得 泰勒系数
定义如果f(x)在点x,处任意阶可导,则幂级数:(xo)(x-x)"称为f(x)在点x,的泰勒级数n!n=08(0)Wx"称为f(x)在点x=0 的麦克劳林级数n!n=0(xo)Zf(x)?(x-xo)问题n!n=0泰勒级数在收敛区间是否收敛于(x)？不一定
如果 f (x)在点 0 x 处任意阶可导,则幂级数 n n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 0 ( ) − = 称为f (x) 在点x0的泰勒级数. n n n x n f =0 ( ) ! (0) 称为 f ( x)在点x0 = 0的麦克劳林级数. 问题 n n n x x n f x f x ( ) ! ( ) ( ) ? 0 0 0 ( ) − = = = 定义 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? 不一定
rx#0例如 f(x)=3e0,x=0在x=0点任意可导,且 f(n)(0)=0 (n=0,1,2,…)8: f(x)的麦氏级数为0·x"n=0该级数在(-o0,+)内和函数s(x)= 0. 可见除s =0外,f(x)的麦氏级数处处不收敛于f(x)
= = − 0, 0 , 0 ( ) 2 1 x e x f x x 例如 (0) 0 ( 0,1,2, ) 且 f (n) = n = = 0 ( ) 0 n n f x 的麦氏级数为 x 该级数在(−,+)内和函数s(x) 0. 可见 除s = 0外, f (x)的麦氏级数处处不收敛于 f (x). 在x=0点任意可导
定理 2 f(x)在点x,的泰勒级数,在Us(x,)内收敛于f(x)一在U。(x,)内lim R,(x)=0.n→证明必要性设f(x)能展开为泰勒级数2f(i)(x)("f(x)-/x-x,) + R,(x)i!i=0:. R,(x) = f(x)- Sn+1(x), : limsn+i(x)= f(x)n→0:. lim R,(x) = lim[f(x) - Sn+1(x)]= 0;n-→>n-→80
定 理 2 f (x)在 点x0的泰勒级数,在 ( ) U x0 内 收 敛 于 f (x)在 ( ) U x0 内lim ( ) = 0 → Rn x n . 证明 必要性 ( ) ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) x x R x i f x f x n i n i i = − + = ( ) ( ) ( ), Rn x = f x − sn+1 x 设f (x)能展开为泰勒级数, lim ( ) ( ) sn 1 x f x n + = → = → lim R (x) n n lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + → − = 0;
充分性: f(x)-sn+i(x) = R,(x),.. lim[f(x)- Sn+i(x)]= lim R, (x) = 0,n->00n→0即 lim Sn+1(x) = f(x),n→8:: f(x)的泰勒级数收敛于f(x)定理 3 设f(x)在U(x)上有定义,3M >0, 对VxE(x,-R, x,+R), 恒有 f(n)(x)≤M(n =0,1,2,),则f(x)在(x-R,x + R)内可展开成点x.的泰勒级数
充分性 ( ) ( ) ( ), f x − sn+1 x = Rn x lim[ ( ) ( )] f x sn 1 x n + → − lim R (x) n n→ = = 0, lim ( ) ( ), sn 1 x f x n + = → 即 f (x)的泰勒级数收敛于 f (x). 定 理 3 设 f (x)在 ( ) U x0 上有定义,M 0,对 ( , ) x x0 − R x0 + R ,恒有 f x M n ( ) ( ) (n = 0,1,2,),则 f (x)在( , ) x0 − R x0 + R 内可展 开成点x0的泰勒级数
证明n+1S+?-xo: R,(x)≤M(n + 1)!(n + 1)!n+1xe(Xo -R,X +R)8x-xo.2在(-0,+)收敛,(n + 1)!n=0n+1x-xo= 0, 故 lim R,(x)= 0,:. lim(n + 1)!n→>8n-→oxe(xo -R,xo + R)：可展成点x,的泰勒级数
证明 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x , ( 1)! 1 0 + − + n x x M n ( , ) x x0 − R x0 + R ( , ) , ( 1)! 0 1 0 在 − + 收敛 + − = + n n n x x 0, ( 1)! lim 1 0 = + − + → n x x n n lim ( ) = 0, → Rn x n 故 . 可展成点x0的泰勒级数 ( , ) x x0 − R x0 + R
二、函数展开成幂级数1.直接法（泰勒级数法）步骤: (I)求a, =f("(x)n!(2)讨论 lim R, = 0或f(n(x)≤ M,n-→8则级数在收敛区间内收敛于f(x)下面看几个初等函数的幕级数展开式
二、函数展开成幂级数 1.直接法(泰勒级数法) 步骤: ; ! ( ) (1) 0 ( ) n f x a n 求 n = (2) lim 0 ( ) , Rn f (n) x M n = → 讨论 或 则级数在收敛区间内收敛于 f (x). 下面看几个初等函数的幂级数展开式